Angle between a line and plane MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Angle between a line and plane - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

दिक् सदिश वाली रेखा और अभिलंब सदिश वाले समतल के बीच का कोण θ, निम्न द्वारा दिया जाता है:

गणना:

दिया गया है:

रेखा का समीकरण है।

समतल का समीकरण है।

रेखा का दिक् सदिश \) है।

समतल का अभिलंब सदिश \) है।

⇒

अतः विकल्प 3 सही है।

गणना

दी गई रेखा का समीकरण है:

समतल का समीकरण है:

अतः विकल्प 3 सही है। 

संकल्पना:

यदि एक रेखा का समीकरण  है और समतल का समीकरण  है। 

तब रेखा और समतल के बीच का कोण निम्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

,

जहाँ  रेखा और समतल के अभिलंब के दिक् अनुपात हैं। 

गणना​:

दिया गया है:

रेखा का दिक् अनुपात = (1, 2, 2)

समतल का समीकरण 2x - y + √λ z + ​​4 = 0 है। 

समतल के अभिलंब का दिक् अनुपात = (2, -1, √λ)

sin 

अब,

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,

संकल्पना:

यदि θ रेखा  और तल a₂ x + b₂ y + c₂ z + d = 0 के बीच का कोण है, तो

  है। 

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण  है और तल का समीकरण 3x + 4y + z + 5 = 0 है। 

चूँकि हम जानते हैं कि रेखा  और तल a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 के बीच का कोण निम्न दिया गया है:

यहाँ, a1 = 3, b1 = - 1, c1 = 2, a2 = 3, b2 = 4 और c2 = 1.

⇒ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 9 - 4 + 2 = 7

संकल्पना:

यदि θ रेखा  और तल  के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: 

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण  और तल का समीकरण 

यहाँ, हमें दी गयी रेखा और तल के बीच का कोण ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि θ रेखा  और तल  के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: 

यहाँ,  और 

⇒ , 

  में उपरोक्त दिए गए मानों को रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

संकल्पना:

यदि एक रेखा का समीकरण  है और समतल का समीकरण  है। 

तब रेखा और समतल के बीच का कोण निम्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

,

जहाँ  रेखा और समतल के अभिलंब के दिक् अनुपात हैं। 

गणना​:

दिया गया है:

रेखा का दिक् अनुपात = (1, 2, 2)

समतल का समीकरण 2x - y + √λ z + ​​4 = 0 है। 

समतल के अभिलंब का दिक् अनुपात = (2, -1, √λ)

sin 

अब,

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,

संकल्पना:

यदि रेखा का समीकरण  है और तल का समीकरण  है, तो रेखा और तल के समानांतर दिशा में कोण α निम्न है,

गणना:

X - अक्ष के साथ रेखा का समीकरण निम्न है,

तल का समीकरण 2x -3y +6z - = 0 है। 

या सदिश रूप में,    

∴   

⇒  = 

⇒ sin α =  

⇒ α = sin^-1 (  )  

⇒ α = .

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

यदि θ रेखा  और तल  के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: 

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण  और तल का समीकरण 

यहाँ, हमें दी गयी रेखा और तल के बीच का कोण ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि θ रेखा  और तल  के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: 

यहाँ,  और 

⇒ , 

  में उपरोक्त दिए गए मानों को रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

संकल्पना:

यदि दिक्-अनुपात (a, b, c) वाली एक रेखा  और दिक्-अनुपात (A, B, C) वाला समतल Ax + By + Cz + D = 0 पर स्थित है, तो रेखा और समतल के बीच न्यूनकोण θ द्वारा दर्शाया जाता है:

Sin θ = 

गणना:

हमें समतल 2x – 2y + z – 5 = 0 और रेखा ​​ प्राप्त है, 

∴ समतल के दिक्-अनुपात = (A, B, C) = (2, -2, 1)

और, रेखा के दिक्-अनुपात = (a, b, c) = (3, 4, 5)

∴ Sin θ = 

= 

= 

= 

= 

= 

= 

⇒ Sin θ = √2/10

इसलिए, दी गई रेखा और समतल के बीच के कोण की ज्या  है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

यदि θ रेखा  और तल  के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: 

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण  और तल का समीकरण 

यहाँ, हमें दी गयी रेखा और तल के बीच का कोण ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि θ रेखा  और तल  के बीच का कोण है, तो निम्न दिया गया है: 

यहाँ,  और 

⇒ , 

  में उपरोक्त दिए गए मानों को रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

अवधारणा:

यदि θ रेखा  और समतल a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 के बीच का कोण है तो 

गणना:

दिया हुआ: रेखा का समीकरण  है और समतल का समीकरण 10x + 2y - 11z - 3 = 0 है।

जैसा कि हम जानते हैं कि रेखा  और समतल a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 के बीच का कोण इसके द्वारा दिया जाता है: 

यहाँ a1 = 2, b1 = 3, c1 = 6, a2 = 10, b2 = 2 और c2 = - 11

⇒ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 20 + 6 - 66 = - 40

इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है।

संकल्पना:

यदि θ रेखा  और तल a₂ x + b₂ y + c₂ z + d = 0 के बीच का कोण है, तो

  है। 

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण  है और तल का समीकरण 3x + 4y + z + 5 = 0 है। 

चूँकि हम जानते हैं कि रेखा  और तल a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 के बीच का कोण निम्न दिया गया है:

यहाँ, a1 = 3, b1 = - 1, c1 = 2, a2 = 3, b2 = 4 और c2 = 1.

⇒ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 9 - 4 + 2 = 7

संकल्पना:

यदि एक रेखा का समीकरण है और तल का समीकरण  है। 

तो रेखा और तल के बीच के कोण को निम्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

, जहाँ रेखा और तल के लिए लंब के दिशा अनुपात हैं। 

गणना:

दिया गया है:

रेखा का दिशा अनुपात = (1, 2, 2)

तल का समीकरण 2x - y + √λ z + 4 = 0 है। 

लंब और तल का दिशा अनुपात = (2, -1, √λ)

sin 

अब, 

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

अवधारणा:

यदि रेखा का समीकरण  है  और समतल का समीकरण  है फिर समतल के समानांतर रेखा और दिशा के बीच का कोण α है, 

गणना:

Z- अक्ष के साथ रेखा का समीकरण है,

समतल का समीकरण x -3y + 5z -8 = 0 है  

या सदिश रूप में,     

∴   

⇒  = 

⇒ sin α =  

⇒ α = sin-1 ( )  

⇒ α =  

सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:

रेखा   और तल Ax + By + Cz = D के लंब के बीच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

​​

गणना:

दिया गया है, रेखा और तल 

रेखा   और तल Ax + By + Cz = D के लंब के बीच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

​

इसलिए, रेखा  और तल   के बीच का कोण निम्न है  

⇒ यहाँ a = 2, b = -1, c = 1 और A = 3, B = -4 और C = - 1 

​​

अतः रेखा  और तल  के बीच का न्यून कोण  है।