Distance of a point from a Line MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distance of a point from a Line - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है: L₁ :

L₂ :

माना रेखा L, A(7, -2, 11) से गुजरती है और L₂ के समानांतर है।

⇒ L :

B रेखा L पर स्थित है।

बिंदु B, पर स्थित है।

⇒

⇒ -3λ - 6 = 0

⇒ λ = -2

B ⇒ (3, 4, -1)

अतः विकल्प 2 सही है।

गणना

⇒

चूँकि Q रेखा L पर स्थित है। 

इसलिए,

⇒ 7λ + 22 = 21λ + 36

⇒ λ = -1

∴ बिंदु

⇒ (PQ)² = 66

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

गणना

मान लीजिए कि समांतर रेखा है

इसलिए इनका प्रतिच्छेद बिंदु है

(λ + 1, 2λ + 4, 3λ) = (2t + 2, 3t + 6, 4t + 3)

⇒ λ = 2t + 1

⇒ 2λ + 4 = 3t + 6 ⇒ t = 0

इसलिए, प्रतिच्छेद बिंदु (2, 6, 3) है। 

इसलिए, दूरी =

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना:

(2λ + 1, – λ – 2, 2 λ – 3)

∵

⇒ (2λ – 1)2 + (–λ + 8)(–1) + (2λ – 4)2 = 0 

⇒ 4λ – 2 + λ – 8 + 4λ – 8 = 0

⇒ 9λ – 18 = 0 ⇒ λ = 2

∴ A(5, –4, 1)

∴

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना

दिया गया है:

बिंदु:

रेखा बिंदुओं और से होकर गुजरती है।

रेखा AB का दिशा सदिश:

सदिश AP:

सदिश गुणनफल :

⇒

⇒

का परिमाण:

⇒

का परिमाण:

⇒

लंबवत दूरी (d):

⇒

∴ लंबवत दूरी है।

इसलिए विकल्प 3 सही है

संकल्पना:

दो लंबवत रेखाओं का अदिश गुणनफल शून्य होता है।

दो बिंदुओं (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है, 

गणना:

मान लीजिए M बिंदु P(2, 3, 4) से खींचे गए लंब का पाद है।

माना, 

x = k, y  = 0, z = 0

इसलिए M = (k, 0, 0)

अब PM के दिक् अनुपात = (2 - k, 3 - 0, 4 - 0) = (2- k, 3, 4) और दी गई रेखा के दिक् अनुपात 1, 0, 0 हैं। 

PM दी गई रेखा के लंबवत है इसलिए,

(2 - k) (1) + 3(0) + 4 (0) = 0

∴ k = 2

M = (2, 0, 0)

लंबवत दूरी PM =

अत: विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

रेखा ax + by + c = 0 से बिंदु (x₁, y₁) की दूरी

D = 

गणना:

दी गयी रेखा 3y = 4x + 5 है। 

⇒ 4x - 3y + 5 = 0

(x1, y1) = (2, 1)

∴ D = 

⇒ D = 

⇒ D =  = 2

संकल्पना:

यदि दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होती हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 होता है। 

अलग-अलग बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली एक रेखा का ढलान  है। 

गणना:

बिंदु (0, k) और (3, 1) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान 

3x - 4y - 5 = 0 

⇒4y = 3x - 5

⇒ y =  

इसलिए, रेखा 3x - 4y - 5 = 0 का ढलान 3/4 है। 

अब चूँकि रेखा OP और 3x - 4y - 5 = 0 एक-दूसरे के लंबवत हैं। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा :

P (x1, y1) से रेखा ax + by + c = 0 तक लंबवत दूरी d इसके द्वारा दी जाती है,

गणना :

यहां हमें बिंदु (4, 1) से रेखा 3x - 4y + 12 = 0 की दूरी ज्ञात करनी होगी

माना कि P = (4, 1)

⇒ x1 = 4 और y1 = 1

यहाँ, a = 3 और b = - 4

अब समीकरण 3x - 4y + 12 = 0 में x1 = 4 और y1 = 1 को प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है

⇒ |3⋅ x1 - 4 ⋅ y1 + 12| = |12 - 4 + 12| = 20

⇒

जैसा कि हम जानते हैं कि P (x1, y1) से रेखा ax + by + c = 0 तक लंबवत दूरी d इसके द्वारा दी जाती है,

⇒

संकल्पना:

एक रेखा से बिंदु की लंबवत दूरी:

माना कि एक रेखा Ax + By + C = 0 और एक बिंदु लेते हैं जिसके निर्देशांक (x₁, y₁) है। 

गणना:

दिया गया है: रेखा का समीकरण 3x + 4y = 7 है और बिंदु (3, 2) है। 

हम जानते हैं कि एक रेखा की दूरी को  द्वारा ज्ञात किया गया है,

इसलिए, रेखा 3x + 4y - 7 = 0 से एक बिंदु (3, 2) की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

= 10/5

= 2 इकाई 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

(x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाले रेखा का समीकरण (y - y₁) = (x - x₁) है। 

एक रेखा ax + by + c = 0 से बिंदु (x₁, y₁)  की दूरी D =  है। 

गणना:

रेखा का समीकरण निम्न है

-7y - 35 = 2x - 6

2x + 7y + 29 = 0

बिंदु (5, 2) की दूरी निम्न है

D = 

D = 

D =  = 

अवधारणा:

• बिंदु P(a, b) से गुजरने वाली और x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ θ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण है: y - b = tan θ (x - a)
• बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d =  द्वारा दी जाती है। 

गणना:

दी गई रेखा का समीकरण है:      4x - y = 0            ...(1)

बिंदु P(4, 1)

x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 135^o का कोण बनाने वाली रेखा की प्रवणता tan 135^o है। 

m = tan 135° 

= tan (180^o - 45^o)

= - tan 45^o  [tan (180^o - θ ) = - tan θ ] 

= - 1

⇒ m = - 1

धनात्मक x-अक्ष के अनुदिश 135° का कोण बनाने वाले बिंदु P(4, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:

y - 1 =  -1(x - 4)

⇒ y - 1 = -x + 4

⇒ y + x = 5             ...(2)

समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ने पर,

⇒ 5x = 5

⇒ x = 1 और y = 4

∴ बिंदु (a, b) (1, 4) है 

हमें बिंदुओं (1, 4) और P(4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।

दूरी सूत्र के अनुसार बिंदुओं (1, 4) और (4, 1) के बीच की दूरी है। 

d = 

d = 

⇒ d = 3√2 इकाई

अभीष्ट दूरी 3√2 इकाई है।

संकल्पना:

रेखा ax + by + c = 0 के लिए बिंदु P (x₁, y₁) से लंबवत दूरी d को द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

यहाँ, हमें बिंदु (-3,2) से रेखा 3x + 4y = 7 की दूरी ज्ञात करनी है। 

माना कि P = (-3, 2) है। 

⇒ x₁ = - 3 और y₁ = 2

यहाँ, a = 3 और b = 4

अब समीकरण x + 4y - 7 = 0 में x1 = - 3 और y1 = 2 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ |3⋅ x₁ + 4 ⋅ y₁ - 7| = |- 9 + 8 - 7| = 8

⇒ 

चूँकि हम जानते हैं कि, रेखा ax + by + c = 0 के लिए बिंदु P (x1, y1) से लंबवत दूरी d को द्वारा ज्ञात किया गया है।

⇒ 

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

अवधारणा :

P (x1, y1) से रेखा ax + by + c = 0 तक लंबवत दूरी d इसके द्वारा दी जाती है, 

गणना :

दिया गया: रेखा 3x - 4y + k = 0 पर बिंदु (4, 1) से लम्ब की लम्बाई 2 इकाइयाँ है।

माना कि P = (4, 1)

यहाँ x₁ = 4, y₁ = 1, a = 3, b = - 4 और d = 2

अब समीकरण 3x - 4y + k = 0 में x1 = 4 और y1 = 1 को प्रतिस्थापित करें

⇒ |3⋅ x1 - 4 ⋅ y1 + k| = |12 - 4 + k| = |8 + k|

⇒

जैसा कि हम जानते हैं कि, P (x1, y1) से रेखा ax + by + c = 0 तक लंबवत दूरी d इसके द्वारा दी जाती है,

⇒

⇒ |8 + k| = 10

⇒ k = 2 या - 18

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

अवधारणा :

P (x1, y1) से रेखा ax + by + c = 0 तक लंबवत दूरी d इसके द्वारा दी जाती है,

गणना :

यहाँ हमें बिंदु (- 1, 1) से रेखा 12(x + 6) = 5(y -2) की दूरी ज्ञात करनी होगी

रेखा के दिए गए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है: 12x - 5y + 82 = 0

माना कि P = (-1, 1)

⇒ x1 = - 1 और y1 = 1

यहाँ, a = 12 और b = - 5

अब समीकरण 12x - 5y + 82 = 0 में x1 = - 1 और y1 = 1 को प्रतिस्थापित करें, हम प्राप्त करते हैं

⇒ |12⋅ x1 - 5 ⋅ y1 + 82| = |- 12 - 5 + 82| = 65

⇒

जैसा कि हम जानते हैं कि, P (x1, y1) से रेखा ax + by + c = 0 तक लंबवत दूरी d इसके द्वारा दी जाती है,

⇒

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।