Special Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

सीमाएँ और प्रारंभिक फलनों का प्रसार:

• 0/0 जैसे अनिर्धारित रूपों से संबंधित सीमाओं को हल करने के लिए, sinx और e^x जैसे फलनों के श्रेणी प्रसार (मैकलॉरिन प्रसार) का उपयोग करें।
• मानक प्रसार:
  • sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ...
  • e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
• अंश और हर से x की घातों की तुलना करें और तदनुसार सरल करें।

गणना:

दिया गया है,

lim_x→0 [ x²·sin(αx) + (γ−1)·e^x2 ] / [ sin(2x) − βx ] = 3

अंश:

x²·sin(αx) = x²·(αx − (αx)³/6 + ... ) = αx³ − α³x⁵/6 + ...

(γ − 1)·e^x2 = (γ − 1)·(1 + x² + x⁴/2! + ...) = (γ − 1) + (γ − 1)x² + ...

इसलिए, अंश ≈ (γ − 1) + (γ − 1)x² + αx³ + ...

हर:

sin(2x) = 2x − (2x)³/6 + ... = 2x − 8x³/6 + ...

इसलिए, हर = 2x − βx − (8x³/6) + ... = (2 − β)x − (4/3)x³ + ...

अब सीमा को इस प्रकार लिखें:

lim_x→0 [ (γ−1) + (γ−1)x² + αx³ + ... ] / [ (2−β)x − (4/3)x³ + ... ] = 3

अब, भाग देने के बाद x⁰ पद तक प्रसार का उपयोग करें:

⇒ lim_x→0 (γ−1) / (2−β)x = 0 जब तक कि (γ−1) = 0

इसलिए, γ − 1 = 0 ⇒ γ = 1

तब अंश αx³ + ... हो जाता है

हर: (2 − β)x − (4/3)x³ + ...

⇒ lim = αx³ / [ (2 − β)x − (4/3)x³ ]

अब अंश और हर को x⁻³ से गुणा करें:

⇒ α / [ (2 − β)x⁻² − (4/3) ]

अब सीमा x → 0, x⁻² → ∞ लेने पर,

सीमा के परिमित होने के लिए, हर में x⁻² का गुणांक 0 होना चाहिए,

⇒ (2 − β) = 0

⇒ β = 2

अब हर = −(4/3),

अंश = α ⇒ α / (−4/3) = 3

⇒ α = −4

दिया गया है, γ = 1, β = 2, α = −4

β + γ − α = 2 + 1 − (−4) = 7

∴ β + γ − α = 7

व्याख्या:

हम जानते हैं कि

Γ(1/n)Γ(2/n)....Γ(1-1/n) =

n = 10 रखने पर हमें मिलता है,

Γ(0.1) Γ(0.2) Γ(0.3)....Γ(0.9) =

विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

f(x) = |x| 

f(x) = 0\\ -x & x

एक फलन f(x) x = a पर निरंतर है, यदि

एक फलन f(x) x = a पर अवकलनीय है, यदि LHD = RHD

LHD =

RHD =

गणना​:

f(x) =

At x = 1

RHL = 

∴ The right-hand limit of f(x) at x = 1 is 1.

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: सबसे बड़ा पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x के एक समाकल भाग को दर्शाता है जो x का निकटतम और सबसे छोटा पूर्णांक है। इसे x के फ्लोर के रूप में भी जाना जाता है। 

• सामान्यतौर पर यदि n ≤ x ≤ n+1 है, तो [x] = n है।  (n ∈ पूर्णांक)
• अर्थात् यदि x, [n, n+1) में है, तो x का सबसे बड़ा पूर्णांक फलन n होगा। 

उदाहरण:

x का भिन्नतामक भाग: भिन्नात्मक भाग सदैव गैर-ऋणात्मक होंगे। 

• इसे {x} द्वारा दर्शाया जाता है। 
• {x} = x - [x]

सीमा की मौजूदगी:

यदि है, तो  मौजूद है और यदि  है, तो  मौजूद है। 

गणना:

निम्न को ज्ञात करने के लिए:  का मान 

चूँकि हम जानते हैं {x} = x - [x]

RHL = 

यदि x → 0⁺ है, तो [x] = 0 है। 

RHL =         [रूप (0/0)]

L - हॉस्पिटल नियम को लागू करने पर,

RHL = 1

LHL = 

यदि x → 0^- है, तो [x] = -1 है। 

RHL ≠ LHL

अतः सीमा मौजूद नहीं है। 

अवधारणा :

आवधिक फलन:

एक फलन f को अवधि p के साथ आवधिक फलन कहा जाता है अगर f(x + p) = f(x) ∀ x।

sin x और cos x की अवधि 2π है

गणना:

कथन 1 : sin x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 1 सत्य है ।

कथन 2 : cos x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 2 सत्य है ।

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना:

1. महत्तम पूर्णांक फलन: महत्तम पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x का एक समाकल भाग इंगित करता है जो निकटतम और x से छोटा पूर्णांक है। इसे x के तल के रूप में भी जाना जाता है।

• सामान्य तौर पर, यदि  तो [x] = n     (n ∈ पूर्णांक)
• मतलब अगर x [n, n + 1) में है तो x का महत्तम पूर्णांक फलन n होगा।

उदाहरण:

2. एक फलन f(x) को उसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर होना कहा जाता है यदि  मौजूद है या इसका आलेख एकल अभंग वक्र है।

f(x) x = a पर निरंतर है

⇔ 

गणना:

f(x) = [x] के लिए:

LHL = 

LHL ≠ RHL, इसलिए f(x) x = 0 पर अनिरंतर है

g(x) = sin x के लिए

g (0) = sin (0) = 0

LHL = RHL = g (0), इसलिए g (x) x = 0 पर निरंतर है

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: सबसे बड़ा पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x के एक समाकल भाग को दर्शाता है जो x का निकटतम और सबसे छोटा पूर्णांक है। इसे x के फ्लोर के रूप में भी जाना जाता है। 

• सामान्यतौर पर यदि n ≤ x ≤ n+1 है, तो [x] = n है।  (n ∈ पूर्णांक)
• अर्थात् यदि x, [n, n+1) में है, तो x का सबसे बड़ा पूर्णांक फलन n होगा। 

उदाहरण:

x का भिन्नतामक भाग: भिन्नात्मक भाग सदैव गैर-ऋणात्मक होंगे। 

• इसे {x} द्वारा दर्शाया जाता है। 
• {x} = x - [x]

सीमा की मौजूदगी:

यदि है, तो  मौजूद है और यदि  है, तो  मौजूद है। 

गणना:

निम्न को ज्ञात करने के लिए:  का मान 

चूँकि हम जानते हैं {x} = x - [x]

RHL = 

यदि x → 0⁺ है, तो [x] = 0 है। 

RHL =         [रूप (0/0)]

L - हॉस्पिटल नियम को लागू करने पर,

RHL = 1

LHL = 

यदि x → 0^- है, तो [x] = -1 है। 

RHL ≠ LHL

अतः सीमा मौजूद नहीं है। 

संकल्पना:

f(x) = |x| 

f(x) = 0\\ -x & x

एक फलन f(x) x = a पर निरंतर है, यदि

एक फलन f(x) x = a पर अवकलनीय है, यदि LHD = RHD

LHD =

RHD =

गणना​:

f(x) =

At x = 1

RHL = 

∴ The right-hand limit of f(x) at x = 1 is 1.

अवधारणा :

आवधिक फलन:

एक फलन f को अवधि p के साथ आवधिक फलन कहा जाता है अगर f(x + p) = f(x) ∀ x।

sin x और cos x की अवधि 2π है

गणना:

कथन 1 : sin x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 1 सत्य है ।

कथन 2 : cos x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 2 सत्य है ।

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना:

1. महत्तम पूर्णांक फलन: महत्तम पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x का एक समाकल भाग इंगित करता है जो निकटतम और x से छोटा पूर्णांक है। इसे x के तल के रूप में भी जाना जाता है।

• सामान्य तौर पर, यदि  तो [x] = n     (n ∈ पूर्णांक)
• मतलब अगर x [n, n + 1) में है तो x का महत्तम पूर्णांक फलन n होगा।

उदाहरण:

2. एक फलन f(x) को उसके डोमेन में एक बिंदु x = a पर निरंतर होना कहा जाता है यदि  मौजूद है या इसका आलेख एकल अभंग वक्र है।

f(x) x = a पर निरंतर है

⇔ 

गणना:

f(x) = [x] के लिए:

LHL = 

LHL ≠ RHL, इसलिए f(x) x = 0 पर अनिरंतर है

g(x) = sin x के लिए

g (0) = sin (0) = 0

LHL = RHL = g (0), इसलिए g (x) x = 0 पर निरंतर है

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन: सबसे बड़ा पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x के एक समाकल भाग को दर्शाता है जो x का निकटतम और सबसे छोटा पूर्णांक है। इसे x के फ्लोर के रूप में भी जाना जाता है। 

• सामान्यतौर पर यदि n ≤ x ≤ n+1 है, तो [x] = n है।  (n ∈ पूर्णांक)
• अर्थात् यदि x, [n, n+1) में है, तो x का सबसे बड़ा पूर्णांक फलन n होगा। 

उदाहरण:

x का भिन्नतामक भाग: भिन्नात्मक भाग सदैव गैर-ऋणात्मक होंगे। 

• इसे {x} द्वारा दर्शाया जाता है। 
• {x} = x - [x]

सीमा की मौजूदगी:

यदि है, तो  मौजूद है और यदि  है, तो  मौजूद है। 

गणना:

निम्न को ज्ञात करने के लिए:  का मान 

चूँकि हम जानते हैं {x} = x - [x]

RHL = 

यदि x → 0⁺ है, तो [x] = 0 है। 

RHL =         [रूप (0/0)]

L - हॉस्पिटल नियम को लागू करने पर,

RHL = 1

LHL = 

यदि x → 0^- है, तो [x] = -1 है। 

RHL ≠ LHL

अतः सीमा मौजूद नहीं है। 

संकल्पना:

f(x) = |x| 

f(x) = 0\\ -x & x

एक फलन f(x) x = a पर निरंतर है, यदि

एक फलन f(x) x = a पर अवकलनीय है, यदि LHD = RHD

LHD =

RHD =

गणना​:

f(x) =

At x = 1

RHL = 

∴ The right-hand limit of f(x) at x = 1 is 1.

अवधारणा :

आवधिक फलन:

एक फलन f को अवधि p के साथ आवधिक फलन कहा जाता है अगर f(x + p) = f(x) ∀ x।

sin x और cos x की अवधि 2π है

गणना:

कथन 1 : sin x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 1 सत्य है ।

कथन 2 : cos x अवधि 2π के साथ एक आवधिक फलन है

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin x और cos x 2π के साथ एक आवधिक फलन हैं।

तो, कथन 2 सत्य है ।

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

व्याख्या:

हम जानते हैं कि

Γ(1/n)Γ(2/n)....Γ(1-1/n) =

n = 10 रखने पर हमें मिलता है,

Γ(0.1) Γ(0.2) Γ(0.3)....Γ(0.9) =

विकल्प (2) सही है।

गणना:

और शेष पद देते हैं

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।