जीवाओं पर प्रमेय MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Theorem on Chords - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

उनके क्षेत्रफलों का योगफल =  74 π वर्ग सेमी

उनके केंद्रों के बीच की दूरी = 12 सेमी 

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

गणना:

माना कि वृत्त 1 की त्रिज्या = x

इसलिए, वृत्त 2 की त्रिज्या = 12 - x

वृत्त 1 का क्षेत्रफल = π(x)²

वृत्त 2 का क्षेत्रफल = π(12 - x)²

प्रश्नानुसार ⇒ π(x)² + π(12 - x)² = 74π

⇒ x² + 144 - 24x + x² = 74 

⇒ 2x² - 24x + 70 = 0

⇒ x² - 12x + 35 = 0

⇒ (x - 7)(x - 5) = 0

⇒ x = 7 ⇒ x = 5 

∴ छोटे वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। 

दिया गया है:

C एक वृत्त का केंद्र है जिसकी त्रिज्या = 20 सेमी है।

AB एक जीवा है जिसकी लंबाई = 32 सेमी है।

CE = 13 सेमी, E, AB पर एक बिंदु है।

हमें AE × EB ज्ञात करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

किसी वृत्त में, किसी भी जीवा AB तथा AB पर स्थित बिंदु E के लिए:

AE × EB = (त्रिज्या² - केंद्र से जीवा की दूरी²)

गणना:

त्रिज्या = 20 सेमी, इसलिए त्रिज्या² = 20² = 400

केंद्र से जीवा की दूरी (CE) = 13 सेमी, इसलिए CE² = 13² = 169

⇒ AE × EB = त्रिज्या² - CE²

⇒ AE × EB = 400 - 169

⇒ AE × EB = 231

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

PQ एक वृत्त के लघु वृत्तखंड में एक जीवा है।

R, लघु चाप PQ पर एक बिंदु है।

बिंदु P और Q पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु T पर मिलती हैं।

∠PRQ = 102°

प्रयुक्त सूत्र:

केंद्र पर किसी चाप द्वारा बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसके द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली जीवा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण, एकांतर खंड में कोण के बराबर होता है (स्पर्श रेखा-जीवा प्रमेय)।

एक चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है।

गणना:

मान लीजिए कि O वृत्त का केंद्र है।

P, R, Q और दीर्घ चाप PQ पर किसी अन्य बिंदु S द्वारा निर्मित चक्रीय चतुर्भुज पर विचार करें।

दीर्घ खंड में किसी भी बिंदु पर जीवा PQ द्वारा बनाया गया कोण, ∠PRQ का संपूरक होगा।

परिधि पर दीर्घ चाप PQ द्वारा बनाया गया कोण ∠PRQ = 102° है।

परिधि पर लघु चाप PQ द्वारा (दीर्घ खंड पर) बनाया गया कोण 180° - 102° = 78° होगा।

∠PSQ = 180° - ∠PRQ (क्योंकि यदि S दीर्घ चाप पर है तो PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है)।

इसलिए, ∠PSQ = 180° - 102° = 78°

केंद्र O पर लघु चाप PQ द्वारा बनाया गया कोण, अर्थात् ∠POQ, परिधि पर दीर्घ खंड में इसके द्वारा बनाए गए कोण (∠PSQ) का दोगुना है।

⇒ ∠POQ = 2 × ∠PSQ

⇒ ∠POQ = 2 × 78°

⇒ ∠POQ = 156°

अब, चतुर्भुज TPOQ पर विचार करें। TP और TQ क्रमशः P और Q पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।

चतुर्भुज TPOQ में कोणों का योग 360° है।

⇒ ∠PTQ + ∠TPO + ∠POQ + ∠TQO = 360°

⇒ ∠PTQ + 90° + 156° + 90° = 360°

⇒ ∠PTQ + 336° = 360°

⇒ ∠PTQ = 360° - 336°

⇒ ∠PTQ = 24°

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

AT = 6 सेमी, AB = 10 सेमी तथा TB = ?

∵ TB ┴ AT

समकोण △ATB में

पाइथागोरस प्रमेय के द्वारा

(AB)² = (AT)² + (TB)²

⇒ (10)² = 6² + (TB)²

⇒ TB = 8

वृत्त की त्रिज्या (r) TB है = 8 सेमी

हमें ज्ञात है कि व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है

इसलिए, d = 2r = 2 × 8 = 16

अवधारणा:

चूंकि हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा समान जीवा को लंबवत रूप से प्रतिछेदित करती है।

गणना:

पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 15/2 और दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 13/2

उभयनिष्ट जीवा की लंबाई = AB = 12 सेमी

माना कि c = उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई/2 = 12/2 = 6

केंद्रों के बीच की दूरी को प्राप्त करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं

⇒ √((r1)² - c²) + √((r2)² – c²)

⇒ √{(7.5)² - 6²} + √{(6.5)² – 6²}

⇒ √20.25 + √6.25

⇒ 4.5 + 2.5 = 7 सेमी

दिया गया है:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

प्रयुक्त सूत्र:

यदि दो जीवाएं AB और CD एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिछेदित करतीं हैं।

तो, AX × XB = CX × XD

गणना:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

अतः, k का मान 4 हैI

दिया गया है:

∠BAC = 60°

प्रयुक्त अवधारणा:

एक वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर उसके द्वारा बनाए गए किसी भी बिंदु पर कोण का दोगुना होता है।

गणना:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 

दिया गया है:

∠ABO = 40°

अवधारणा:

एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, वृत्त के अन्य भागों पर इसके द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है। नीचे दी गई आकृति में, AOB = 2∠ACB है। 

गणना:

आकृति में ∠ABO = ∠BAO (त्रिज्या से बनने वाले कोण बराबर होते हैं)

Δ AOB में, ∠ABO + ∠BAO + ∠BOA = 180°

⇒ ∠BOA = 180° - (40 + 40) = 100°

⇒ ∠BOA (बाह्य) = 360° - 100° = 260°.

∠ACB =  ∠BOA (बाह्य) (चूँकि चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, चाप द्वारा परिधि पर अन्य बिंदुओं पर बनने वाले कोण की तुलना में दोगुना होता है)।

∴ ∠ACB =  × 260° = 130°

∴ ∠ACB द्वारा बनाया गया कोण 130° है। 

निम्नलिखित आकृति से,

.∠AOB = 110° and ∠AOC = 130°

जैसा कि हम जानते हैं,

∠AOB + ∠AOC + ∠BOC = 360°

∠BOC = 360° - 110° - 130° = 120°

∠BAC = ∠BOC/2

∴ ∠BAC = 120°/2 = 60°

दिया गया है:

∠APB = 122°

प्रयुक्त अवधारणा:

एक चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग 180° होता है

किसी वृत्त के चाप द्वारा उसके केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त की शेष परिधि के किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।

गणना:

दी गई आकृति में,

APBT एक चक्रीय चतुर्भुज है।

∠ATB + ∠APB = 180° [सम्मुख कोणों का योग 180° होता है]

⇒ x° + 122° = 180° 

⇒ x = (180° – 122°)

⇒ x = 58° 

∠ATB = 58° 

और हम जानते हैं कि एक वृत्त के एक चाप द्वारा उसके केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त की शेष परिधि के किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।

⇒ ∠AOB = 2 × ∠ATB

⇒ ∠AOB = 2 × 58° 

⇒ ∠AOB = 116° 

अब,

OA = OB [वृत्त की त्रिज्या]

तो,

∠OAB + ∠AOB + ∠OBA = 180° 

⇒ θ + 116° + θ = 180° 

⇒ 2θ + 116° = 180° 

⇒ 2θ = (180° – 116°)

⇒ 2θ = 64° 

⇒ θ = 32° 

इसलिए,

∠OAB = θ = 32° 

∴ ∠OAB का अभीष्ट मान 32° है।

Shortcut Trick 

ऊपर दिए गए आरेख से हमारे पास है

⇒ θ = P - 90°

⇒ θ = 122° - 90° = 32°

∴ सही उत्तर 32° है।

RP = RQ + PQ = 14.4 + 11.2 = 25.6

जैसा कि हम जानते हैं,

RP × RQ = RT × RS

⇒ 25.6 × 14.4 = RT × 12.8

⇒ RT = 28.8 सेमी

अब, TS = RT – RS = 28.8 – 12.8 = 16 सेमी

दिया गया है:

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 12 सेमी और 5 सेमी हैं। उनके केंद्रों के बीच की दूरी 25 सेमी है।

प्रयुक्त सूत्र:

दो वृत्तों की प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई =  (D = उनके केंद्रों के बीच की दूरी, r₁ = बड़े वृत्त की त्रिज्या, और r₂ = छोटे वृत्त की त्रिज्या 

गणना:

माना केंद्र P और Q पर हैं।

QN = बड़े वृत्त की त्रिज्या = 12 सेमी

PM = छोटे वृत्त की त्रिज्या = 5 सेमी

माना कि MN प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है।

सूत्र के अनुसार,

MN की लंबाई

⇒ 

⇒ 

⇒ 24 सेमी 

∴ प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई 24 सेमी है। 

दिया गया है:

जीवा = 21 सेमी 

व्यास = 25 सेमी 

अवधारणा:

केन्द्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को दो बराबर भागों में समद्विभाजित करता है। 

पाइथागोरस प्रमेय:

OA2 = OD2 + AD2

गणना:

माना AB, 21 सेमी लम्बाई की एक जीवा है। 

⇒ OD लंबवत दूरी है। 

⇒ AO वृत्त की त्रिज्या है। 

OA2 = OD2 + AD2

⇒ (25/2)2 = OD2 + (21/2)2

⇒ 625/4 = OD2 + 441/4 

⇒ OD2 = 625/4 - 441/4 = 184/4 = 46 

∴ OD = √46 

दिया गया है:

त्रिज्या = 10 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

समानता की अवधारणा

AAA समानता → यदि एक त्रिभुज के तीनों कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों के समान हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

गणना:

दी गयी आकृति में,

ΔDAO ∼ ΔAPO [∵ ∠OAP = ∠ODA = 90° और ∠AOD दो त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है]

इसलिए,

AD/AP = DO/AO

⇒ 6/AP = 8/10 [6, 8, 10 पाइथागोरस त्रियक]

⇒ AP = 60/8

⇒ AP = 7.5 सेमी

∴ स्पर्शरेखा AP की लंबाई 7.5 सेमी है। 

∠QRP = 28°

जैसा कि हम जानते हैं,

∠ORP = 90° [स्पर्शरेखा के बिंदु R पर]

⇒ ∠ORQ = ∠ORP – ∠QRP = 90° – 28° = 62°

⇒ ∠OQR = ∠ORQ = 62° [OQ = OR = त्रिज्या]

जैसा कि हम जानते हैं,

∠OQR = ∠ QRP + ∠QPR

⇒ 62 = 28 + ∠QPR

⇒ ∠QPR = 62 – 28 = 34

⇒ ∠SPR = ∠QPR = 34