একটি সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করুন যা মূলবিন্দু থেকে 1/3 একক দূরত্বে অবস্থিত এবং \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) হল মূলবিন্দু থেকে সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর?

ধারণা:

একটি সমতলের ভেক্টর সমীকরণ যার মূলবিন্দু থেকে লম্ব দূরত্ব d এবং \(\hat n\) হল মূলবিন্দুর মাধ্যমে সমতলের একক অভিলম্ব ভেক্টর, যা \(\vec{r}.\hat{n}=d\) দ্বারা প্রদত্ত।

গণনা:

ধরা যাক, \(\vec{n}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) মূলবিন্দু থেকে প্রয়োজনীয় সমতলের অভিলম্ব এবং এটি মূলবিন্দু থেকে 1/3 একক দূরত্বে রয়েছে।

⇒ \(|\vec n|=|\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}| =\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3\)।

সুতরাং, একক অভিলম্ব ভেক্টর \(\hat{n}=\frac{1}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k}\)

যেমনটি আমরা জানি যে, একটি সমতলের সমীকরণ যার মূলবিন্দু থেকে লম্ব দূরত্ব d এবং \(\hat n\) হল মূলবিন্দুর মাধ্যমে সমতলের একক অভিলম্ব ভেক্টর, যা \(\vec{r}.\hat{n}=d\) দ্বারা প্রদত্ত।

এখানে, d = 1/3, \(\hat{n}=\frac{1}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k}\) এবং ধরা যাক \(\vec r = x\hat i + y\hat j + z \hat k\)

⇒ \(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=\frac{1}{3}\)

⇒ x + 2y + 2z = 1

সুতরাং, প্রয়োজনীয় সমতলের সমীকরণ হল x + 2y + 2z = 1

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।