एक बल \(\vec{F}=\boldsymbol{\alpha}^{\hat{i}}+3 \hat{j}+6 \hat{k}\) बिंदु \(\vec{r}=2 \hat{i}-6 \hat{j}-12 \hat{k}\) पर कार्य कर रहा है। जिसके लिए मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग संरक्षित है, α का वह मान है:

अवधारणा:

मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग (L) स्थिति सदिश (r) और रेखीय संवेग (p) के सदिश गुणन द्वारा दिया जाता है। किसी कण पर कार्य करने वाले बल F के लिए, कोणीय संवेग के समय परिवर्तन की दर निम्न द्वारा दी जाती है:

dL/dt = r x F

कोणीय संवेग के संरक्षित होने के लिए, समय अवकलज शून्य होना चाहिए:

r x F = 0

यदि उपरोक्त शर्त संतुष्ट होती है, तो मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग संरक्षित होता है।

गणना:

दिया गया बल F = αi + 3j और स्थिति सदिश r = 2i - 6j - 12k है।

r और F का सदिश गुणन है:

r x F = (2i - 6j - 12k) x (αi + 3j + 6k)

सदिश गुणन के गुणधर्मों का उपयोग करके और प्रत्येक घटक की गणना करने पर:

r × F = (2 × 3 - (-6) × α)i + ((-6) × α - 2 × 3)j + ((2 × 3) - (-6) × α)k

r × F = (6 + 6α)i + (-6α - 6)j + (6 + 6α)k

कोणीय संवेग के संरक्षित होने के लिए, r x F = 0, जो समीकरणों का निम्नलिखित निकाय देता है:

6 + 6α = 0,

-6α - 6 = 0,

6 + 6α = 0.

इन समीकरणों को हल करने पर, हम α = -1 पाते हैं।

∴ सही उत्तर विकल्प 4: α = -1 है।