यदि \(f(x)=x(\sqrt x-\sqrt {x+1}),\)है, तब:

अवधारणा:

यदि f(x) एक बिंदु x = a पर अवकलनीय होता है तो f(x) भी x = a पर सतत होता है और उस बिंदु पर बाईं ओर की सीमा, उस बिंदु पर दाईं ओर की सीमा के बराबर होती है। और बाईं ओर की सीमा, दाईं ओर की सीमा के बराबर नहीं होती है, तब फलन असंतत होता है और इसलिए उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं होता है। 

गणना:

चरण 1: x = 0 पर f(x) की सातत्यता

दिया गया फलन है:

\(f(x)=x(\sqrt x-\sqrt {x+1}),\)

यह जाँचने के लिए कि क्या फलन x = 0 पर सतत है, हम पहले x = 0 पर इसका मान जाँचते हैं और फिर सीमा की गणना करते हैं:

f(0) का मूल्यांकन करने पर:

हम फलन में x = 0 प्रतिस्थापित करते हैं:

f(0) = 0 × (√0 - √(0 + 1)) = 0 × (0 - 1) = 0

इस प्रकार, f(0) = 0

x → 0 पर f(x) की सीमा:

अब, x → 0 के रूप में f(x) की सीमा की गणना करते हैं:

limx → 0 f(x) = limx → 0 x × (√x - √(x + 1)) = 0

चूँकि फलन x = 0 पर सतत है, इसलिए सीमा उस बिंदु पर फलन के मान के बराबर होती है।

इस प्रकार, f(x) x = 0 पर सतत है।

चरण 2: x = 0 पर f(x) की अवकलनीयता

अब, हम x = 0 पर f(x) की अवकलनीयता की जाँच करते हैं।

हम \(f(x)=x(\sqrt x-\sqrt {x+1}),\) का अवकलन करते हैं।

f(x) का व्युत्पन्न:

हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करते हैं:

f'(x) = (√x - √(x + 1)) + x × (1 / (2√x) - 1 / (2√(x + 1)))

f'(0) का मूल्यांकन करते हैं:

व्युत्पन्न में x = 0 प्रतिस्थापित करते हैं:

f'(0) = (√0 - √(0 + 1)) + 0 × (1 / (2√0) - 1 / (2√(0 + 1)))

f'(0) = (0 - 1) + 0 = -1

अतः फलन f(x) x = 0 पर सतत है तथा x = 0 पर अवकलनीय है।