मान लीजिए f: R → R, f(x) = ex के रूप में परिभाषित एक फलन है; प्रत्येक x ϵ R के लिए R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?

संकल्पना:

डोमेन: एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के संभव मानों का पूर्ण समुच्चय है। या डोमेन सभी संभव x - मानों का समुच्चय है जो फलन को "कार्य" करने में सक्षम बनाएगा। 

सीमा: एक फलन की सीमा उन सभी संभव मानों का समुच्चय है जिसे यह उत्पादित कर सकता है। 

सह-डोमेन: एक फलन के गंतव्य का सह-डोमेन या समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें फलन के सभी आउटपुट कम होने के लिए बाधित होते हैं। 

एकैकी फलन: एकैकी फलन या एकैकी प्रतिचित्रण यह बताता है कि एक समुच्चय का प्रत्येक तत्व अर्थात् समुच्चय (A) दूसरे समुच्चय अर्थात् समुच्चय (B) के विशिष्ट तत्व के साथ प्रतिचित्रित होता है, जहाँ A और B दो अलग-अलग समुच्चय हैं। यदि f(x) एकैकी फलन है, और यदि f(x₁) = f(x₂) है, तो x₁ = x₂ है। 

आच्छादक फलन को दो समुच्चय, समुच्चय A और समुच्चय B को लेकर वर्णित किया जा सकता है, जिसमें तत्व शामिल होते हैं। यदि B के प्रत्येक तत्व के लिए A के साथ मेल खाने वाले कम से कम एक या एक से अधिक तत्व होते हैं, तो फलन को आच्छादक फलन या आच्छादी फलन कहा जाता है। 

आच्छादक फलन के लिए: f(x) की सीमा = f(x) का सह-डोमेन 

गणना:

f: R → R, f(x) = e^x  द्वारा दिया गया है। 

एकैक:

माना कि x₁​ और x₂​ डोमेन (R) में कोई भी दो तत्व हैं, जिससे f(x₁) = f(x₂​) है। 

f(x₁​):

⇒ f(x₁​) = \({{\rm{e}}^{{{\rm{x}}_1}}}\)

f(x₂​):

⇒ f(x₂​) = ​\({{\rm{e}}^{{{\rm{x}}_2}}}\)

अब, f(x₁​) = f(x₂​)

⇒ ​\({{\rm{e}}^{{{\rm{x}}_1}}} = {{\rm{e}}^{{{\rm{x}}_2}}}\)

⇒ x₁ = x₂

∴ f एकैकी फलन है।

आच्छादक:

हम जानते हैं कि e^x की सीमा (0, ∞) = R⁺ है। 

⇒ सह-डोमेन = R

दोनों समान नहीं हैं। 

∴ f आच्छादक फलन नहीं है। 

अतः विकल्प (1) सही है।