मान लीजिए X₁....X₁₀ एक वितरण से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन

\(\rm f(x|θ)=\left\{\begin{matrix}θ x^{θ-1}, & if \:0<x<1\\\ 0, & otherwise,\end{matrix}\right.\) है।

जहाँ θ > 0 एक अज्ञात प्राचल है। θ का पूर्व बंटन दिया गया है

\(\rm \pi (θ)=\left\{\begin{matrix}θ e^{-θ}, & if\ θ>0\\\ 0, & otherwise,\end{matrix}\right.\)

वर्ग त्रुटि हानि के अंतर्गत θ का बेज़ आकलक है

पूर्व बंटन: बेज़ आकलन में, पूर्व बंटन किसी भी डेटा को देखने से पहले प्राचल \(\theta\) के बारे में हमारे विश्वासों का प्रतिनिधित्व करता है। इस समस्या में, \(\theta\) का पूर्व बंटन दिया गया है

\(\pi(\theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta}, & \text{if } \theta > 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\)

संभाविता फलन:

संभाविता फलन प्राचल \(\theta\) दिए गए डेटा को देखने की प्रायिकता को व्यक्त करता है।

इस समस्या के लिए, प्रेक्षणों \(X_1, X_2, \dots, X_n\) का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) \(\theta\) दिया गया है:

\(f(x|\theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & \text{if } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\)

एक यादृच्छिक प्रतिदर्श \(X_1, X_2, \dots, X_n\) के लिए, संभाविता फलन व्यक्तिगत घनत्वों का गुणनफल है

\(L(\theta | X_1, X_2, \dots, X_n) = \prod_{i=1}^{n} \theta X_i^{\theta-1}\)

यह \(L(\theta | X_1, X_2, \dots, X_n) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} X_i^{\theta-1}\) को सरल करता है

व्याख्या:

वर्ग त्रुटि हानि के अंतर्गत \(\theta\) का बेयस आकलक ज्ञात करने की समस्या को हल करने के लिए,

चलिए इसे चरण दर चरण तोड़ते हैं। यादृच्छिक प्रतिदर्श \(X_1, X_2, \dots, X_{10}\) एक

बंटन से आता है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है:

\(f(x|\theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta - 1}, & \text{if } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\), जहाँ \(\theta > 0\) एक अज्ञात प्राचल है।

\(\theta\) का पूर्व बंटन दिया गया है

\(\pi(\theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta}, & \text{if } \theta > 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\)

दिए गए pdf से एक प्रतिदर्श \(X_1, X_2, \dots, X_n\) के लिए संभाविता फलन है

\(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i|\theta)\)

दिए गए pdf \(f(x|\theta)\) को प्रतिस्थापित करने पर:

\(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \theta x_i^{\theta - 1} \)

\(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta - 1}\)

इसे फिर से लिखा जा सकता है

\(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta} \prod_{i=1}^{n} x_i^{-1}\)

⇒ \(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta} \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}\)

संभाविता फलन का लघुगणक लेने पर,

\(\log L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = n \log \theta + \theta \sum_{i=1}^{n} \log x_i - \sum_{i=1}^{n} \log x_i\)

उत्तर बंटन संभाविता और पूर्व बंटन के गुणनफल के समानुपाती है।

इसलिए, हम संभाविता फलन को पूर्व बंटन से गुणा करते हैं:

\(\pi(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) \propto L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) \times \pi(\theta)\)

पूर्व बंटन \(\pi(\theta) = \theta e^{-\theta}\) है, इसलिए

\(\pi(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) \propto \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta} \theta e^{-\theta}\)

इसका लघुगणक \(\log \pi(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = (n+1) \log \theta + \theta \sum_{i=1}^{n} \log x_i - \theta\) लेने पर,

वर्ग त्रुटि हानि के अंतर्गत बेज़ आकलक उत्तर बंटन का माध्य (प्रत्याशा) है। अर्थात्

\(\hat{\theta} = E[\theta | X_1, X_2, \dots, X_n] \)

उत्तर बंटन से, जो एक गामा बंटन है, \(\theta\) की प्रत्याशा द्वारा दी गई है

\(\hat{\theta} = \frac{n+1}{\sum_{i=1}^{n} \log x_i}\)

इस समस्या के लिए, n = 10, इसलिए

\(\hat{\theta} = \frac{11}{\sum_{i=1}^{10} \log x_i}\)

इस प्रकार, विकल्प 2) सही है।