निम्न समीकरण
\(x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0\)
का सामान्य हल है

व्याख्या:

दिया गया है: \(x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=0\) अर्थात xp + yq = 0

Pp + Qq = R से तुलना करने पर, हमारे पास है-

P = x, Q = y और R = 0

इसलिए, लग्रांज सहायक समीकरण द्वारा

\(\frac{d x}{p}=\frac{d y}{Q}=\frac{d z}{R}\)

\(\Rightarrow \frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}=\frac{d z}{0}\)

अब dz = 0

⇒ z = c₁

पहले और दूसरे पद का उपयोग करके

\(\frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}\)

समाकलन करने पर,

log |x| = log |y| + log c₂

\(\Rightarrow \log \left(\frac{|x|}{|y|}\right)=\log c_2\)

\(\Rightarrow c_2=\frac{|x|}{|y|}\)

इसलिए, सामान्य हल है -

c₁ ϕ(c₂) या c₂ = ϕ(c₁) या ϕ(c₁ c₂) = 0

⇒ z = ϕ \(\left(\frac{|x|}{|y|}\right)\)

⇒ विकल्प (1) सही है