f(x) = \(\rm x+\frac1x\), c ∈ [1, 3] ప్రమేయం కోసం, సగటు విలువ సిద్ధాంతానికి c విలువ:

Question

Question

Answer 1

కాన్సెప్ట్:

లాగ్రాంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం:
ఒక ప్రమేయం f బంధిత అంతరంలో నిర్వచించబడితే [a, b] సంతృప్తికరంగా ఉంటుంది:

అప్పుడు f విలువ x = c ఉంది(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

సాధన:

ఇచ్చిన ప్రమేయం f(x) = విరామం [1, 3]లో భేదం మరియు నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

f'(x) =

సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, c ∈ [1, 3] ఉంది, అలాంటిది:

f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\left(3+\frac13\right)-\left(1+\frac11\right)}{2}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\frac43}{2}=\frac23\)

⇒ \(\rm \frac1{c^2}=1-\frac23=\frac13\)

⇒ c = √3.