প্রাথমিক সমস্যা MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Basic Problems - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

△ABC-তে, DE || AC

BD = 8 সেমি, AD = 7 সেমি

ব্যবহৃত সূত্র:

মৌলিক সমানুপাতিকতা উপপাদ্য (থেলেসের উপপাদ্য) দ্বারা:

যদি DE || AC হয়, তাহলে

দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তাদের সংশ্লিষ্ট বাহুর বর্গের সমানুপাতিক।

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = (BD / AB)²

গণনা:

AB = AD + BD = 7 + 8 = 15 সেমি

△BDE এবং △ABC-এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত = (8/15)² = 64/225

ট্র্যাপিজিয়াম ADEC-এর ক্ষেত্রফল = △ABC-এর ক্ষেত্রফল - △BDE-এর ক্ষেত্রফল

প্রয়োজনীয় অনুপাত:

ক্ষেত্রফল(△BDE) : ক্ষেত্রফল(ADEC)

= 64 : (225 - 64)

= 64 : 161

∴ △BDE এবং ট্র্যাপিজিয়াম ADEC-এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত 64 : 161।

প্রদত্ত:

ত্রিভুজ ABC তে, AB = AC

BC কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হয়েছে যে CD = AB এবং ∠ADC = 30°

অনুসৃত সূত্র:

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ভূমির কোণগুলি সমান হয়।

যেকোনো ত্রিভুজের কোণের যোগফল = 180°

গণনা:

যেহেতু AB = AC এবং CD = AB

সুতরাং, AB = AC = CD

Δ ACD তে,

AC = CD

অতএব, ∠ ADC = ∠ DAC = 30° 

এবং, ∠ ACD = 180 - (∠ ADC + ∠ DAC)

⇒ ∠ ACD = 180 - (30 + 30) = 180 - 60 = 120°

এখন, 

∠ ACB = 180 - ∠ ACD = 180 - 120 = 60°

যেহেতু AB = BC,

∠ ABC = ∠ ACB = 60°

যেহেতু একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ 60°, তাই তৃতীয় কোণটিও 60° হবে (যেহেতু একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180°)

সুতরাং, ত্রিভুজ ABC এর কোণগুলি 60°, 60°, এবং 60°

প্রদত্ত:

∆PQR-এ, PR = 10 সেমি

ST∥QR

PS = 6 সেমি

QS = 14 সেমি

অনুসৃত সূত্র:

সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান হয়।

গণনা:

যেহেতু ST∥QR, তাই ∆PST ∼ ∆PQR

\( \frac{PS}{PQ} = \frac{PT}{PR} \)

ধরি PT = x সেমি

PQ = PS + QS

PQ = 6 + 14

PQ = 20 সেমি

সদৃশতার অনুপাত ব্যবহার করে:

\( \frac{6}{20} = \frac{x}{10} \)

⇒ 6 x 10 = 20 x x

⇒ 60 = 20x

⇒ x = \(\frac{60}{20}\)

⇒ x = 3 সেমি

PT-এর দৈর্ঘ্য 3 সেমি। 

প্রদত্ত:

সমকোণী ত্রিভুজ ΔABC তে,

AB = c, BC = a, CA = b

'p' হল C থেকে AB এর উপর লম্ব।

অনুসৃত সূত্র:

একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য, সমকোণ থেকে লম্ব এবং বাহুগুলির মধ্যে সম্পর্ক হল:

p × c = a × b

গণনা:

লম্ব এবং অতিভুজের গুণফল অন্য দুটি বাহুর গুণফলের সমান:

p × c = a × b

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1: pc = ab

প্রদত্ত:

অসম কোণ সমান কোণের সমষ্টির পাঁচ গুণ

অনুসৃত ধারণা:

ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180°

গণনা:

ধরা যাক, দুইটি সমান কোণ x হবে।

অসম কোণ = 5(x + x) = 10x

⇒ 10x + x + x = 180

⇒ 12x = 180

x = 15

প্রতিটি সমান কোণ হল 15°

AB = 8 সেমি, ∠Aকে অভ্যন্তরীণভাবে দ্বিখণ্ডিত করে D বিন্দুতে  BC কে ছেদ করা হয়,

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

∴ AC = 10 সেমি

প্রদত্ত, 

ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সেমি এবং 8 সেমি এবং এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য x  সেমি

আমরা জানি যে,

ত্রিভুজের দুটি বাহুর যোগফল সবসময় ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর তুলনায় অধিক  হয়।

∴ ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি > ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু। 

⇒ 3 + 8 > তৃতীয় বাহু

⇒ 11 > x

এছাড়াও,

আর একটি ক্ষেত্রে,

⇒ x + 3 > 8

⇒ x > 8 - 3

⇒ x > 5

∴ 5 < x < 11

প্রদত্ত :

ত্রিভুজের তিনটি বাহু হ'ল (k – 4), k এবং (k + 4)।

সূত্র:

যেহেতু আমরা জানি,

পাইথাগোরাস উপপাদ্য

(অতিভুজ) ² = (লম্ব) ² + (ভূমি) ²

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী

(k + 4)2 = (k – 4)2 + k2

⇒ k2 + 16 + 8k = k2 + 16 – 8k + k2

⇒ k2 = 16k

⇒ k = 16

ধারণা:

অনুরূপ ত্রিভুজ:

অনুরূপ ত্রিভুজ হল ত্রিভুজ যাদের আকৃতি একই, তবে তাদের আকার ভিন্ন হতে পারে।

বৈশিষ্ট্য:

• উভয়ের আকৃতি একই কিন্তু আকার ভিন্ন হতে পারে
• সংশ্লিষ্ট কোণগুলির প্রতিটি জোড়া সমান
• সংশ্লিষ্ট পক্ষের অনুপাত একই

গণনা:

ΔADE এবং ΔABC-তে

∠A সাধারণ

∠D = ∠B এবং ∠E = ∠C

∴ ΔADE ∼ ΔABC

অনুরূপ ত্রিভুজ বৈশিষ্ট অনুযায়ী

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

\(\begin{array}{l} \frac{4}{{4 + 3}} = \frac{{DE}}{{BC}}\\ \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{4}{7} \end{array}\)

একইভাবে ΔDOE এবং ΔBOC-তে

∠DEO = ∠OBC (সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান)

∠DOE = ∠BOC (উল্লম্বভাবে বিপরীত কোণ)

∴ ΔDEO ∼ ΔOBC

\(\begin{array}{l} \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{OC}}\\ \frac{{DO}}{{OC}} = \frac{4}{7} \end{array}\)

সুতরাং, \(\frac{{DO}}{{DC}} = \frac{4}{{4 + 7}} = \frac{4}{{11}}\)

প্রদত্ত :

ত্রিভুজের তিনটি বাহু হ'ল যথাক্রমে 8 সেমি, 6 এবং 5 সেমি। 

ধারণা:

P2 + B2 = H2 (সমকোণী ত্রিভুজের জন্য)

P2 + B2 > H2 (সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের জন্য)

P2 + B2 < H2 (স্থূলকোণী ত্রিভুজের জন্য)

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী

82 > 62 + 52

⇒ 64 > 36 + 25

⇒ 64 > 61

অতএব, ত্রিভুজটি হ'ল স্থূলকোণী ত্রিভুজ। 

P2 + B2 = H2 (সমকোণী ত্রিভুজের জন্য)

P2 + B2 > H2 (সূক্ষকোণী  ত্রিভুজের জন্য)

P2 + B2 < H2 (স্থূলকোণী ত্রিভুজ জন্য)

যেখানে P , B এবং H হ'ল যে কোনও ত্রিভুজের তিনটি বাহু , H সবচেয়ে বড় বাহু ।

সুতরাং, প্রতিটি ধরণের ত্রিভুজের জন্য প্রদত্ত মানগুলি প্রয়োগ করার সময় আমাদের অবশ্যই ভুল মান ভুল জায়গায় না বসে সেইদিকে সতর্ক হওয়া উচিত।

প্রদত্ত:

একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু = 12.8 মি এবং 9.6 মি

অনুসৃত সূত্র:

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা

গণনা:

ধরা যাক 12.8 মিটার বাহুর সংশ্লিষ্ট উচ্চতা = h 

1/2 × 9.6 × 12 = 1/2 × 12.8 × h

⇒ (9.6 × 12)/12.8 = h

⇒ h = 9 মি

∴ তাহলে 12.8 মিটারের সাথে এর সংশ্লিষ্ট উচ্চতা (মিটারে) = 9 মিটার

গণনা:

নিম্নাংকিত চিত্রটি বিবেচনা করুন:

MN || EF

⇒ ∆DMN ∆DEF -এর অনুরূপ

⇒ DM/DE= DN/DF = MN/EF

প্রদত্ত,

MN/EF = 2 ∶ 5 এবং DE = 60

⇒ 2/5 = DM/60

⇒ DM = 2 × 12 = 24 সেমি

∴ ME = DE + DM = 60 - 24 = 36 সেমি

∴ বিকল্প 4 হল সঠিক উত্তর।​

প্রদত্ত:

একটি ত্রিভুজের পক্ষের অনুপাত = 5: 4: 3

ত্রিভুজের ঘের = 84 সেমি

সূত্র ব্যবহৃত:

ত্রিভুজের পরিধি = পক্ষের সমষ্টি

গণনা:

ত্রিভুজের দিকগুলি 5x, 4x এবং 3x হওয়া উচিত যাতে তারা 5: 4: 3 অনুপাতের মধ্যে থাকে।

X 5x + 4x + 3x = 84

X 12x = 84

⇒ x = 7 সেমি

সুতরাং, ত্রিভুজগুলির পক্ষগুলি 35, 28 এবং 21 মিটার।

Side বৃহত্তম পক্ষের দৈর্ঘ্য 35 মি।

প্রদত্ত:

a বাহুর দৈর্ঘ্য = 13 ইঞ্চি

b বাহুর দৈর্ঘ্য = 15 ইঞ্চি

c বাহুর দৈর্ঘ্য = 14 ইঞ্চি

অনুসৃত সূত্র :

হেরনের সূত্র: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(√(s(s-a)(s-b)(s-c))\), যেখানে s হল ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা।

সমাধান:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে আমরা হেরনের সূত্র ব্যবহার করতে পারি।

প্রথমত, আমাদের ত্রিভুজের  অর্ধ-পরিসীমাটি গণনা করতে হবে:

s = (a + b + c)/2

⇒ (13 + 15 + 14)/2

⇒ 21

এরপরে, আমরা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে হেরনের সূত্র ব্যবহার করতে পারি:

ক্ষেত্রফল = \(√(s(s-a)(s-b)(s-c))\)

⇒ \(√(21(21-13)(21-15)(21-14))\)

⇒ √(21(8)(6)(7))

⇒ √(24 x 32 x 72)

⇒ 84

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 84 বর্গ ইঞ্চি।

এখানে, ΔPRM এবং ΔMRN হল সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

এছাড়াও, ΔRPN-এ

⇒ ∠RPM + ∠RNP = 102° ....(i) [বাহ্যিক কোণের বৈশিষ্ট্য়]

⇒ ∠MRN = ∠MNR

⇒ ∠MRN + ∠MNR = ∠RMP …(ii) [বাহ্যিক কোণের বৈশিষ্ট্য়]

⇒ 2∠RNP = ∠RMP = ∠RPM

(i) এবং (ii) দ্বারা পাই,

⇒ 3/2(∠RPM) = 102°

⇒ ∠RPM = 68°

∴ সঠিক উত্তর বিকল্প 2)