Properties of Determinants MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Properties of Determinants - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Properties of Determinants MCQ Objective Questions
Properties of Determinants Question 1:
যদি ω একের ঘনমূল হয়, তাহলে নীচের সমীকরণের একটি মূল কত? \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&\omega &{{\omega ^2}}\\ \omega &{x + {\omega ^2}}&1\\ {{\omega ^2}}&1&{x + \omega } \end{array}} \right| = 0\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
ω যদি একের ঘনমূল হয়, অর্থাৎ ω3 = 1
তাহলে 1 + ω + ω2 = 0
ω4 = ω3ω = ω [∵ ω3 =1]
গণনা:
প্রদত্ত:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&ω &{{ω ^2}}\\ ω &{x + {ω ^2}}&1\\ {{ω ^2}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)
C'1 = C1 + C2
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x+1}+{ω}+{ω^2}}&ω &{{ω ^2}}\\ {{x+1}+{ω}+{ω^2}} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{{x+1}+{ω}+{ω^2}}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {x} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{x}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\;\;\;(∵\;1+ω+ω^2=0)\)
R'2 = R2 - R1 এবং R'3 = R3 - R1
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {0} &{x + {ω ^2}-ω}&{1-ω^2}\\ {{0}}&1-ω&{x + ω -ω^2 } \end{array}} \right| = 0\)
প্রথম স্তম্ভকে প্রসারিত করে:
∴ x[(x + ω2 - ω)(x + ω - ω2) - (1 - ω)(1 - ω2)]
∴ x[x2 + ωx - ω2x + ω2x + ω3 - ω4 - ωx - ω2 + ω3 - 1 + ω2 + ω - ω3]
∴ x3 = 0 (∵ ω3 = 1 এবং ω4 = ω 3 ω ⇒ ω)
∴ x = 0
Properties of Determinants Question 2:
নির্ধারকের মান \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 2 Detailed Solution
ধারণা :
একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য:
- যদি নির্ধারকের যেকোনো সারি বা কলামের প্রতিটি এন্ট্রি 0 হয়, তাহলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
- যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A, |A| = |AT|
- যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) বিনিময় করি, তাহলে নির্ধারককে -1 দ্বারা গুণ করা হয়।
- ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য।
গণনা :
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)
C2 → C2 + C3 প্রয়োগ করুন
\( = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a + b + c}&{b + c}\\ 1&{a + b + c}&{c + a}\\ 1&{a + b + c}&{a + b} \end{array}} \right|\)
কলাম 2 থেকে (a + b + c) কমন নিলে আমরা পাই,
\(= \left( {a + b + c} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{b + c}\\ 1&1&{c + a}\\ 1&1&{a + b} \end{array}} \right|\)
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম সমান।
আমরা জানি যে, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
∴ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\) = 0
Properties of Determinants Question 3:
নিম্নলিখিত নির্ণায়কটির উৎপাদক বিশ্লেষিত রূপ হল:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 1&m&{{m^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 3 Detailed Solution
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 1&m&{{m^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
R2 → R2 - R1 প্রয়োগ করে পাই
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{{m^2} - {l^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
R3 → R3 - R1 প্রয়োগ করে পাই
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{{m^2} - {l^2}}\\ 0&{n - l}&{{n^2} - {l^2}} \end{array}} \right|\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{\left( {m - l} \right)\left( {m\; + \;l} \right)}\\ 0&{n - l}&{\left( {n - l} \right)\left( {n\; + \;l} \right)} \end{array}} \right|\)
\(\left( {m - l} \right)\left( {n - l} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&1&{\left( {m\; + \;l} \right)}\\ 0&1&{\left( {n\; + \;l} \right)} \end{array}} \right|\)
এখন, a11 থেকে বিস্তার করে পাই।
\(\left( {m - l} \right)\left( {n - l} \right).1.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{m\; + \;l}\\ 1&{n\; + \;l} \end{array}} \right]\)
= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)
= (m - l)(n - l)(n - m)
Properties of Determinants Question 4:
A যদি একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে |A| কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 4 Detailed Solution
ধারণা:
যেহেতু A লম্ব,
⇒ AAT = I
গণনা:
প্রদত্ত: AAT = I
⇒ |AAT| = |I|
⇒ |A||AT| = |I| = 1
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তরের নির্ধারক ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সমান, অর্থাৎ |AT| = |A|
⇒ |A|2 = 1
⇒ |A| = + 1
Top Properties of Determinants MCQ Objective Questions
নির্ধারকের মান \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা :
একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য:
- যদি নির্ধারকের যেকোনো সারি বা কলামের প্রতিটি এন্ট্রি 0 হয়, তাহলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
- যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A, |A| = |AT|
- যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) বিনিময় করি, তাহলে নির্ধারককে -1 দ্বারা গুণ করা হয়।
- ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য।
গণনা :
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)
C2 → C2 + C3 প্রয়োগ করুন
\( = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a + b + c}&{b + c}\\ 1&{a + b + c}&{c + a}\\ 1&{a + b + c}&{a + b} \end{array}} \right|\)
কলাম 2 থেকে (a + b + c) কমন নিলে আমরা পাই,
\(= \left( {a + b + c} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{b + c}\\ 1&1&{c + a}\\ 1&1&{a + b} \end{array}} \right|\)
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম সমান।
আমরা জানি যে, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
∴ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\) = 0
নিম্নলিখিত নির্ণায়কটির উৎপাদক বিশ্লেষিত রূপ হল:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 1&m&{{m^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDF\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 1&m&{{m^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
R2 → R2 - R1 প্রয়োগ করে পাই
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{{m^2} - {l^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
R3 → R3 - R1 প্রয়োগ করে পাই
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{{m^2} - {l^2}}\\ 0&{n - l}&{{n^2} - {l^2}} \end{array}} \right|\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{\left( {m - l} \right)\left( {m\; + \;l} \right)}\\ 0&{n - l}&{\left( {n - l} \right)\left( {n\; + \;l} \right)} \end{array}} \right|\)
\(\left( {m - l} \right)\left( {n - l} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&1&{\left( {m\; + \;l} \right)}\\ 0&1&{\left( {n\; + \;l} \right)} \end{array}} \right|\)
এখন, a11 থেকে বিস্তার করে পাই।
\(\left( {m - l} \right)\left( {n - l} \right).1.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{m\; + \;l}\\ 1&{n\; + \;l} \end{array}} \right]\)
= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)
= (m - l)(n - l)(n - m)
যদি ω একের ঘনমূল হয়, তাহলে নীচের সমীকরণের একটি মূল কত? \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&\omega &{{\omega ^2}}\\ \omega &{x + {\omega ^2}}&1\\ {{\omega ^2}}&1&{x + \omega } \end{array}} \right| = 0\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
ω যদি একের ঘনমূল হয়, অর্থাৎ ω3 = 1
তাহলে 1 + ω + ω2 = 0
ω4 = ω3ω = ω [∵ ω3 =1]
গণনা:
প্রদত্ত:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&ω &{{ω ^2}}\\ ω &{x + {ω ^2}}&1\\ {{ω ^2}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)
C'1 = C1 + C2
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x+1}+{ω}+{ω^2}}&ω &{{ω ^2}}\\ {{x+1}+{ω}+{ω^2}} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{{x+1}+{ω}+{ω^2}}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {x} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{x}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\;\;\;(∵\;1+ω+ω^2=0)\)
R'2 = R2 - R1 এবং R'3 = R3 - R1
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {0} &{x + {ω ^2}-ω}&{1-ω^2}\\ {{0}}&1-ω&{x + ω -ω^2 } \end{array}} \right| = 0\)
প্রথম স্তম্ভকে প্রসারিত করে:
∴ x[(x + ω2 - ω)(x + ω - ω2) - (1 - ω)(1 - ω2)]
∴ x[x2 + ωx - ω2x + ω2x + ω3 - ω4 - ωx - ω2 + ω3 - 1 + ω2 + ω - ω3]
∴ x3 = 0 (∵ ω3 = 1 এবং ω4 = ω 3 ω ⇒ ω)
∴ x = 0
Properties of Determinants Question 8:
নির্ধারকের মান \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 8 Detailed Solution
ধারণা :
একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য:
- যদি নির্ধারকের যেকোনো সারি বা কলামের প্রতিটি এন্ট্রি 0 হয়, তাহলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
- যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A, |A| = |AT|
- যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) বিনিময় করি, তাহলে নির্ধারককে -1 দ্বারা গুণ করা হয়।
- ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য।
গণনা :
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\)
C2 → C2 + C3 প্রয়োগ করুন
\( = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a + b + c}&{b + c}\\ 1&{a + b + c}&{c + a}\\ 1&{a + b + c}&{a + b} \end{array}} \right|\)
কলাম 2 থেকে (a + b + c) কমন নিলে আমরা পাই,
\(= \left( {a + b + c} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{b + c}\\ 1&1&{c + a}\\ 1&1&{a + b} \end{array}} \right|\)
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম সমান।
আমরা জানি যে, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
∴ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{b + c}\\ 1&b&{c + a}\\ 1&c&{a + b} \end{array}} \right|\) = 0
Properties of Determinants Question 9:
নিম্নলিখিত নির্ণায়কটির উৎপাদক বিশ্লেষিত রূপ হল:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 1&m&{{m^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 9 Detailed Solution
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 1&m&{{m^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
R2 → R2 - R1 প্রয়োগ করে পাই
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{{m^2} - {l^2}}\\ 1&n&{{n^2}} \end{array}} \right|\)
R3 → R3 - R1 প্রয়োগ করে পাই
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{{m^2} - {l^2}}\\ 0&{n - l}&{{n^2} - {l^2}} \end{array}} \right|\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&{m - l}&{\left( {m - l} \right)\left( {m\; + \;l} \right)}\\ 0&{n - l}&{\left( {n - l} \right)\left( {n\; + \;l} \right)} \end{array}} \right|\)
\(\left( {m - l} \right)\left( {n - l} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&l&{{l^2}}\\ 0&1&{\left( {m\; + \;l} \right)}\\ 0&1&{\left( {n\; + \;l} \right)} \end{array}} \right|\)
এখন, a11 থেকে বিস্তার করে পাই।
\(\left( {m - l} \right)\left( {n - l} \right).1.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{m\; + \;l}\\ 1&{n\; + \;l} \end{array}} \right]\)
= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)
= (m - l)(n - l)(n - m)
Properties of Determinants Question 10:
যদি ω একের ঘনমূল হয়, তাহলে নীচের সমীকরণের একটি মূল কত? \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&\omega &{{\omega ^2}}\\ \omega &{x + {\omega ^2}}&1\\ {{\omega ^2}}&1&{x + \omega } \end{array}} \right| = 0\)
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 10 Detailed Solution
ধারণা:
ω যদি একের ঘনমূল হয়, অর্থাৎ ω3 = 1
তাহলে 1 + ω + ω2 = 0
ω4 = ω3ω = ω [∵ ω3 =1]
গণনা:
প্রদত্ত:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&ω &{{ω ^2}}\\ ω &{x + {ω ^2}}&1\\ {{ω ^2}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)
C'1 = C1 + C2
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x+1}+{ω}+{ω^2}}&ω &{{ω ^2}}\\ {{x+1}+{ω}+{ω^2}} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{{x+1}+{ω}+{ω^2}}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {x} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{x}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\;\;\;(∵\;1+ω+ω^2=0)\)
R'2 = R2 - R1 এবং R'3 = R3 - R1
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {0} &{x + {ω ^2}-ω}&{1-ω^2}\\ {{0}}&1-ω&{x + ω -ω^2 } \end{array}} \right| = 0\)
প্রথম স্তম্ভকে প্রসারিত করে:
∴ x[(x + ω2 - ω)(x + ω - ω2) - (1 - ω)(1 - ω2)]
∴ x[x2 + ωx - ω2x + ω2x + ω3 - ω4 - ωx - ω2 + ω3 - 1 + ω2 + ω - ω3]
∴ x3 = 0 (∵ ω3 = 1 এবং ω4 = ω 3 ω ⇒ ω)
∴ x = 0
Properties of Determinants Question 11:
A যদি একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে |A| কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Determinants Question 11 Detailed Solution
ধারণা:
যেহেতু A লম্ব,
⇒ AAT = I
গণনা:
প্রদত্ত: AAT = I
⇒ |AAT| = |I|
⇒ |A||AT| = |I| = 1
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তরের নির্ধারক ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সমান, অর্থাৎ |AT| = |A|
⇒ |A|2 = 1
⇒ |A| = + 1