Rolle's Theorem MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Rolle's Theorem - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Mar 21, 2025
Latest Rolle's Theorem MCQ Objective Questions
Rolle's Theorem Question 1:
যদি f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে, তাহলে \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 1 Detailed Solution
গণনা:
প্রদত্ত, f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে।
∴ [3, 4] ব্যবধানে, f(3) = f(4)
[6, 8] ব্যবধানে, f(6) = f(8)
∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\)
= \(\int_3^4 f'(x) \ dx\) + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + \(\int_6^8 f'(x) \ dx\)
= [f(4) - f(3)] + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + [f(8) - f(6)]
= 0 + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + 0
= \(\int_4^6 f'(x) \ dx\)
∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) এর সমান।
সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1.
Rolle's Theorem Question 2:
যদি f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে, তাহলে \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 2 Detailed Solution
গণনা:
প্রদত্ত, f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে।
∴ [3, 4] ব্যবধানে, f(3) = f(4)
[6, 8] ব্যবধানে, f(6) = f(8)
∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\)
= \(\int_3^4 f'(x) \ dx\) + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + \(\int_6^8 f'(x) \ dx\)
= [f(4) - f(3)] + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + [f(8) - f(6)]
= 0 + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + 0
= \(\int_4^6 f'(x) \ dx\)
∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) এর সমান।
সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1.
Rolle's Theorem Question 3:
[π, 3π]-এ f(x) = \(\rm cos \dfrac{x}{2}\) ফাংশনের জন্য রোলের উপপাদ্যে 'c'-এর মান কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 3 Detailed Solution
ধারণা:
রোলের উপপাদ্য :
রোলের উপপাদ্য বলে যে যদি একটি ফাংশন f(x) বন্ধ ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন থাকে [a, b] এবং খোলা ব্যবধানে (a, b) পার্থক্যযোগ্য হয়,
f(a) = f(b), তারপর, কিছু c ∈ [a, b] এর জন্য
f′(c) = 0
গণনা:
প্রদত্ত ফাংশনটি হল f(x) = \(\rm \cos \dfrac{x}{2}\) [π, 3π]-এ।
f(π) = \(\rm \cos \dfrac{\pi}{2}\) = 0 এবং f(3π) = \(\rm \cos \dfrac{3\pi}{2}\) = 0 .
যেহেতু, f(π) = f(3π), সেখানে অবশ্যই একটি c ∈ [π, 3π] থাকতে হবে যাতে f'(c) = 0
f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}\left (\cos \dfrac{x}{2} \right )=-\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {x}{2} \right )\)
⇒ f'(c) = \(\rm -\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {c}{2} \right )\) = 0
⇒ \(\rm \sin \dfrac {c}{2}\) = 0
⇒ \(\rm \dfrac {c}{2}\) = nπ
⇒ c = 2nπ, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।
আমরা c ∈ [π, 3π] চাই, তাই c = 2π
Top Rolle's Theorem MCQ Objective Questions
[π, 3π]-এ f(x) = \(\rm cos \dfrac{x}{2}\) ফাংশনের জন্য রোলের উপপাদ্যে 'c'-এর মান কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
রোলের উপপাদ্য :
রোলের উপপাদ্য বলে যে যদি একটি ফাংশন f(x) বন্ধ ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন থাকে [a, b] এবং খোলা ব্যবধানে (a, b) পার্থক্যযোগ্য হয়,
f(a) = f(b), তারপর, কিছু c ∈ [a, b] এর জন্য
f′(c) = 0
গণনা:
প্রদত্ত ফাংশনটি হল f(x) = \(\rm \cos \dfrac{x}{2}\) [π, 3π]-এ।
f(π) = \(\rm \cos \dfrac{\pi}{2}\) = 0 এবং f(3π) = \(\rm \cos \dfrac{3\pi}{2}\) = 0 .
যেহেতু, f(π) = f(3π), সেখানে অবশ্যই একটি c ∈ [π, 3π] থাকতে হবে যাতে f'(c) = 0
f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}\left (\cos \dfrac{x}{2} \right )=-\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {x}{2} \right )\)
⇒ f'(c) = \(\rm -\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {c}{2} \right )\) = 0
⇒ \(\rm \sin \dfrac {c}{2}\) = 0
⇒ \(\rm \dfrac {c}{2}\) = nπ
⇒ c = 2nπ, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।
আমরা c ∈ [π, 3π] চাই, তাই c = 2π
Rolle's Theorem Question 5:
[π, 3π]-এ f(x) = \(\rm cos \dfrac{x}{2}\) ফাংশনের জন্য রোলের উপপাদ্যে 'c'-এর মান কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 5 Detailed Solution
ধারণা:
রোলের উপপাদ্য :
রোলের উপপাদ্য বলে যে যদি একটি ফাংশন f(x) বন্ধ ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন থাকে [a, b] এবং খোলা ব্যবধানে (a, b) পার্থক্যযোগ্য হয়,
f(a) = f(b), তারপর, কিছু c ∈ [a, b] এর জন্য
f′(c) = 0
গণনা:
প্রদত্ত ফাংশনটি হল f(x) = \(\rm \cos \dfrac{x}{2}\) [π, 3π]-এ।
f(π) = \(\rm \cos \dfrac{\pi}{2}\) = 0 এবং f(3π) = \(\rm \cos \dfrac{3\pi}{2}\) = 0 .
যেহেতু, f(π) = f(3π), সেখানে অবশ্যই একটি c ∈ [π, 3π] থাকতে হবে যাতে f'(c) = 0
f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}\left (\cos \dfrac{x}{2} \right )=-\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {x}{2} \right )\)
⇒ f'(c) = \(\rm -\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {c}{2} \right )\) = 0
⇒ \(\rm \sin \dfrac {c}{2}\) = 0
⇒ \(\rm \dfrac {c}{2}\) = nπ
⇒ c = 2nπ, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।
আমরা c ∈ [π, 3π] চাই, তাই c = 2π
Rolle's Theorem Question 6:
যদি f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে, তাহলে \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 6 Detailed Solution
গণনা:
প্রদত্ত, f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে।
∴ [3, 4] ব্যবধানে, f(3) = f(4)
[6, 8] ব্যবধানে, f(6) = f(8)
∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\)
= \(\int_3^4 f'(x) \ dx\) + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + \(\int_6^8 f'(x) \ dx\)
= [f(4) - f(3)] + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + [f(8) - f(6)]
= 0 + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + 0
= \(\int_4^6 f'(x) \ dx\)
∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) এর সমান।
সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1.
Rolle's Theorem Question 7:
যদি f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে, তাহলে \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Rolle's Theorem Question 7 Detailed Solution
গণনা:
প্রদত্ত, f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে।
∴ [3, 4] ব্যবধানে, f(3) = f(4)
[6, 8] ব্যবধানে, f(6) = f(8)
∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\)
= \(\int_3^4 f'(x) \ dx\) + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + \(\int_6^8 f'(x) \ dx\)
= [f(4) - f(3)] + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + [f(8) - f(6)]
= 0 + \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) + 0
= \(\int_4^6 f'(x) \ dx\)
∴ \(\int_3^8f'(x) \ dx\) এর মান \(\int_4^6 f'(x) \ dx\) এর সমান।
সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1.