Application of Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है: \(f(0) = 0 \) & \(f'(1) = 0\) और \(f(1) = \frac{1}{2}\)

\(\therefore f(x) = \frac{2x - x^2}{2}\)

\(f^{-1}(x)\) \(y = x\) पर \(f(x)\) का प्रतिबिंब है। 

साथ ही, \(2x + 2y = 3\) \(A(1, \frac{1}{2})\) और \(B(\frac{1}{2}, 1)\) से होकर गुजरता है। 

इस प्रकार परिबद्ध क्षेत्र \(A\)

\(= AreaOAB = 2[Area OCM + Area CMNA - Area ONA]\)

\(A = 2[\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{2} (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) \times \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \int_0^1 (2x - x^2) , dx]\)

\(\Rightarrow A = 2[\frac{9}{32} + \frac{5}{32} - [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^1]\)

\(\Rightarrow A = 2[\frac{14}{32} -(1 - \frac{1}{3})] \)
\(​\Rightarrow A = \frac{28}{32} - \frac{2}{3} = \frac{7}{8} - \frac{2}{3} \) \(\Rightarrow A = \frac{21 - 16}{24} = \frac{5}{24} \)

⇒  48A = 10

गणना:

दिया गया है,

वक्र का समीकरण y = 4x है, और रेखा x = 4 वक्र को बिंदु (4, 16) पर प्रतिच्छेद करती है। हमें वक्र, x-अक्ष और रेखा x = 4 से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।

ध्यान का क्षेत्र एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार x-अक्ष के साथ x = 0 से x = 4 तक है और ऊँचाई 16 इकाई है, जो बिंदु (4, 16) के संगत है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

\( \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \)

आधार (4 इकाई) और ऊँचाई (16 इकाई) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( \text{Area} = \frac{1}{2} \times 4 \times 16 = 32 \, \text{square units} \)

∴ क्षेत्रफल 32 वर्ग इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

(x, f(x)) पर वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा का ढाल प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए 4 है, और वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है।

स्पर्श रेखा का ढाल फलन का अवकलज है, इसलिए हमारे पास है:

\( f'(x) = 4 \)

x के सापेक्ष f'(x) = 4 का समाकलन करने पर:

\( f(x) = 4x + C \)

वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है, इसलिए जब x = 0, y = 0 है। इन मानों को समीकरण f(x) = 4x + C में प्रतिस्थापित करने पर:

\( 0 = 4(0) + C \quad \Rightarrow \quad C = 0 \)

इसलिए, वक्र का समीकरण है:

\( f(x) = 4x \)

यह मूलबिंदु से होकर गुजरने वाली, 4 के ढाल वाली एक सरल रेखा का समीकरण है।

∴ वक्र एक सरल रेखा है जिसका ढाल 4 है और जो मूलबिंदु से होकर गुजरती है।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

• इस प्रश्न में असमिकाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना शामिल है।
• असमिकाएँ y = 1/x, 5x − 4y − 1 = 0, 4x + 4y − 17 = 0 और x-अक्ष द्वारा परिबद्ध एक क्षेत्र बनाती हैं।
• क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम:
  • दी गई वक्रों और रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
  • क्षेत्र को सरल क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: त्रिभुज और समाकल।
  • वक्र y = 1/x के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समाकलन का उपयोग करते हैं।
• 1/x का समाकलन: x के सापेक्ष 1/x का समाकलन log_ex है।
• अंतिम क्षेत्रफल परिकलित त्रिभुजाकार क्षेत्रों और निश्चित समाकलों का एक संयोजन होगा।

परिकलन:

दिया गया है,

x > 0, y > 1/x, 5x − 4y − 1 > 0, 4x + 4y − 17 < 0

प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार परिकलित किए जाते हैं:

⇒ 5x − 4y − 1 = 0 और y = 1/x (1, 1) पर मिलते हैं

⇒ 5x − 4y − 1 = 0 और 4x + 4y − 17 = 0 (2, 1.25) पर मिलते हैं

⇒ 4x + 4y − 17 = 0 और y = 1/x (4, 0.25) पर मिलते हैं

क्षेत्र को विभाजित करें:

शीर्षों (1,1), (2,1.25), (4,0.25) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

x = 1 और x = 4 के बीच y = 1/x के नीचे का क्षेत्र

क्षेत्रफल = (1/2) x (आधार 1.5) x (ऊँचाई 4/3)

⇒ 1/2 x 3/2 x 4/3 = 1

अब, दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = (1/2) x (आधार 2) x (ऊँचाई 10/4)

⇒ 1/2 x 2 x 2.5 = 2.5

अब वक्र y = 1/x के नीचे के क्षेत्रफल को घटाएँ:

∫₁⁴ (1/x) dx = log_e4

सभी क्षेत्रफलों को जोड़ें:

कुल क्षेत्रफल = 1 + 2.5 − log_e4

कुल क्षेत्रफल = 33/8 − log_e4

∴ इसलिए, दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल 33/8 − log_e4 है।

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

गणना:

2y = 5x² और y = x² + 6 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज ± 2 है।

⇒ 

⇒ α³ = 600

इसलिए, सही उत्तर 600 है। 

संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}ydx\)

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}xdy\)

गणना:

यहाँ, x² = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x² = 1

x = 1 और -1

अब, 

\( \text{Area =}\int_{-1}^{1} y d x \)

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

\( \text{Area } -1= \int_{0}^{1} y d x \)

\( \text{Area}_1 = \int_{0}^{1} x^{2} d x \)

\(= \rm\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

\((1 \times 1)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

\(Total\;Area=2\times{\frac{2}{3}} =\frac{4}{3}\) वर्ग इकाई I

अवधारणा:

\(\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {\sqrt{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)

⇒ 0 = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)

⇒ 16 - x² = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

चूँकि, वक्र y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A \(\rm =\int_{-4}^{4}\sqrt{16-x^2}\;dx\)

हम जानते हैं कि,

\(\int√{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {√{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)

= \( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- x^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac x4]_{-4}^{4 }\) 

= \( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- 4^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac 44]- \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- (-4)^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac {4}{-4})]\)

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

गणना:

संलग्न क्षेत्र

\( = 2\mathop \smallint \nolimits_0^{\pi /4} \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\)

\( = 2\left[ {\sin x + \cos x} \right]_0^{\pi /4}\)

\( = 2\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - \left( {0 + 1} \right)} \right]\)

\( = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल 

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से योग द्वारा ज्ञात कीजिए। 

• इस स्थिति में हम यह ज्ञात करते हैं कि क्षेत्रफल आयत की ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग होता है। 
• यदि हमें y = f(x) दिया गया है, तो हमें इसे x = f(y) के रूप में पुनःव्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें इसका योग नीचे से शीर्ष तक करने की आवश्यकता है।

इसलिए, \({\bf{A}} = \mathop \smallint \nolimits_{\bf{a}}^{\bf{b}} {\bf{xdy}} = \mathop \smallint \nolimits_{\bf{a}}^{\bf{b}} {\bf{f}}\left( {\bf{y}} \right){\bf{dy}}\)

गणना:

दिया गया वक्र: x = 4 - y2

⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = - (x - 4)

उपरोक्त वक्र परवलय का समीकरण है,

हम जानते हैं कि y - अक्ष पर; x = 0

⇒ y2 = 4 - x

⇒ y2 = 4 - 0 = 4

⇒ y = ± 2

⇒ (x, y) = (0, 2) या (0, -2) प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। 

वक्र के तहत क्षेत्रफल  \( = \mathop \int \nolimits_{-2}^2 {\rm{xdy}}\)

\(= \rm \int_{-2}^2 (4-y^2)dy\)

\(\rm = \left[4y- {\frac{{{{ {{\rm{y}} } }^3}}}{3}} \right]_{-2}^2\)

\(= \frac{32}{3}\) वर्ग इकाई

दिया गया है:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

संकल्पना​:

दो वक्रों y₁ और y₂ के बीच के क्षेत्रफल की संकल्पना को x = a और x = b के बीच लागू करने पर 

\(\rm A=\int_a^b(y_1-y_2)\ dx\)

गणना:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

तब 3x² = x² + 4

⇒ x² = 2

⇒ x = ± √ 2

तब क्षेत्रफल है

\(\rm A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^2+4-3x^2) \ dx\)

\(\rm A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(4-2x^2) \ dx\)

\(\rm A=[4x-2\frac{x^3}{3}]_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\)

\(\rm A=4[\sqrt2-(-\sqrt2)]-\frac{2}{3}[{\sqrt2}^3-{(-\sqrt2)}^3]\)

\(\rm A=8\sqrt2-\frac{8}{3}\sqrt2\)

\(\rm A=\frac{16\sqrt2}{3}\) वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

वृत्त का समीकरण x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है

आइए पट्टी को y-दिशा के साथ लें और इसे 0 से 'a' में समाकलित करें इससे पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल मिलेगा और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 4 से गुणा करें

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) = \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

वृत्त का क्षेत्रफल = 4 × \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A = \(\rm \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx\)

जहाँ x1 और x2 अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है। 

Imp. Note: कुल क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र और एक्स-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र के अलावा होगा।

गणना:

f(x) = y = 4x³

दिया गया अंतिम बिंदु x1 = -2, x2 = 3

वक्र का क्षेत्रफल (A) = \(\rm \left|\int_{-2}^3 4x^3dx\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|\int_{-2}^0 4x^3dx\right| + \left|\int_0^3 4x^3dx\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|4\left[x^4\over4\right]_{-2}^0\right| + \left|4\left[x^4\over4\right]_0^3\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|\left[0- 2^4\right]\right| + \left|\left[3^4 - 0\right]\right| \)

⇒ A = \(\rm \left|-16\right| + \left|81\right|\)

⇒ A = 97

Additional Information

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C 

स्पष्टीकरण:

दिए गए वक्रों के समीकरण हैं

y = x² --- (1) और y = 16 --- (2)

दोनों समीकरणों (1) और (2) को हल करके हमारे पास है:

x² = 16

x = 4, -4

∴ प्रतिच्छेदन के बिंदु (4, 16) और (-4, 16) हैं।

आकृति से हमारे पास है

\(Required~Area~=~∫_{-4}^4(16-x^2)~dx \)

समाकल गुण का उपयोग करके हमारे पास है

\(A=~2∫_{0}^4(16-x^2)~dx \)

\(= 2\left[ {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\)

\(= 2\left[ {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\)

\( = 2\left[ {64 - \frac{{64}}{3}} \right] \)

\(= 2 \times 64 \times \frac{2}{3}\;\)

\(A=\frac{256}{3}~sq.units\)

Alternate Method

एक अन्य विधि भी है जिसके द्वारा हम समस्या को हल कर सकते हैं,

क्षैतिज पट्टी पर विचार करके और समरूपता की स्थिति से हमारे पास है:

\(Area~=~2\int_0^{16}x~dy\)

\(Area~=~2\int_0^{16}\sqrt{y}~dy\)

\(Area~=~2~\times~\frac{2}{3}~\times~[y^{\frac{3}{2}}]_0^{16} \)

\(Area~=~2\times \frac{2}{3}\times [16^{\frac{3}{2}}-0]\)

क्षेत्रफल = \(\frac{256}{3}~sq.unit\)

व्याख्या:

दिए गए वक्र y = x - 1 और y² = 2x + 6 हैं। 

इन्हे हल करने पर हमें प्राप्त होगा,

y² = 2(y + 1) + 6

⇒ y² - 2y - 8 = 0

⇒ (y - 4)(y + 2) = 0

⇒ y = -2, 4

अब, हम निम्न के द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं

A = \(\int_{-2}^{4}\left [y+1-\left ( \frac{y^{2}}{2}-3 \right ) \right ]dy \)

= \(\int_{-2}^{4}\left (4+y-\frac{y^{2}}{2} \right )dy \)

= \(\left [ 4y+\frac{y^{2}}{2} -\frac{y^{3}}{6}\right ]_{-2}^{4}\)

= \(16+8-\frac{32}{3}-\left ( -8+2+\frac{4}{3} \right )\)

∴ A = 18

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल:

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को क्षैतिज रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए। 

इस स्थिति में हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जो आयत, ऊंचाई y = f(x) और चौड़ाई dx का योग है। 

हमें बाएँ से दाएँ तक योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

∴ क्षेत्रफल =  \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

यहाँ, हम वक्र y = x2, x - अक्ष और कोटि अंक x = - 1 और x = 2 द्वारा परिबाधा क्षेत्रफल को ज्ञात करना है। 

इसलिए, दिए गए वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्रफल को \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

चूँकि हम जानते हैं कि,\(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

क्षेत्रफल = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई