Area MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Area - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = |AB × AC|

गणना:

दिया गया है:

शीर्ष: A(1, 1, 1), B(1, 2, 3), C(2, 3, 1)

AB = B - A = (1-1, 2-1, 3-1) = (0, 1, 2)

AC = C - A = (2-1, 3-1, 1-1) = (1, 2, 0)

AB × AC =

⇒ AB × AC =

⇒ AB × AC =

|AB × AC| =

⇒ |AB × AC| =

क्षेत्रफल = |AB × AC|

⇒ क्षेत्रफल =

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना

दिया गया है:

रेखाएँ: और

1) सरल रेखाओं के युग्म का गुणनखंडन:

⇒

⇒

⇒

⇒ और

2) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:

और का प्रतिच्छेदन:

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

⇒

और का प्रतिच्छेदन:

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

⇒

और का प्रतिच्छेदन:

⇒ , ⇒

3) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल:

⇒

⇒

⇒

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

अवधारणा:

शीर्षों (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है

गणना​:

तीसरा शीर्ष रेखा y = x + 3 पर स्थित है

माना तीसरा शीर्ष (k, k + 3) है

⇒ शीर्षों (2, 1), (3, -2), (k, k + 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ k = 14/4 = 7/2

⇒ तीसरा शीर्ष = (k, k + 3) = 

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

गणना

Δ का क्षेत्रफल

⇒ क्षेत्रफल(Δ) = |xy| = |x(-2x² + 54)|

अधिकतम के लिए

⇒

त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल

⇒ क्षेत्रफल = 3(-2 × 9 + 54) = 108

इसलिए विकल्प (4) सही है।

अवधारणा :

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल = 

गणना:

दिया हुआ: A (4,4), B(3,- 16) और C(3,-2) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं

माना कि x1 = 4, y1 = 4, x2 = 3, y2 = - 16, x3 = 3 और y3 = - 2

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 

⇒ A = 7 वर्ग इकाइयाँ

इसलिए विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा:

शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃), वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया जाएगा:

क्षेत्रफल = 

गणना:

यहाँ, शीर्ष (3, 13), (5, -8), और (4, -2) हैं। 

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = 

 वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही उत्तर है। 

दिया गया है:

समकोण त्रिभुज का लम्ब = 8 सेमी

क्षेत्रफल = 20 वर्ग सेमी

उपयोग किया गया सूत्र:

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × लम्ब × आधार

गणना:

⇒ 20 वर्ग सेमी = (1/2) × 8 × आधार

⇒ आधार = 20/4

⇒ 5 सेमी

∴ आधार की लम्बाई 5 सेमी है।

अवधारणा:

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = × आधार × ऊंचाई

ΔABC का क्षेत्रफल =

गणना:

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = × आधार × ऊंचाई

=  × c × a sin∠CBA

=  × 10 cm × 4cm sin 30° 

= 5 × 4 ×  (sin 30° = के रूप में)

= 10 cm2

संकल्पना:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = × (एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्र)

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल, जिसकी भुजा लंबाइयाँ a, b और c हैं:

, जहां 's' त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप = s =

गणना:

दिया हुआ: एक त्रिभुज के तीन माध्यिकाओं की लंबाई 9 cm, 12 cm और 15 cm है

माना कि एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है

∴ s =

अब, एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 

जैसा कि हम जानते हैं,

त्रिभुज का क्षेत्र = × (एक भुजा के रूप में माध्यिका द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्र)

=

अवधारणा:

यदि तीन बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं तो Δ ABC का क्षेत्रफल शून्य है यानी 

गणना:

दिया हुआ: बिंदु (x, -1), (2, 1) और (4, 5) संरेखीय हैं

माना कि A = (x, - 1), B = (2, 1) और C = (4, 5)

Δ ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें

जैसा कि हम जानते हैं कि,यदि तीन बिंदु A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) संरेखीय हैं तो Δ ABC का क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया जाता है: 

यहाँ x₁ = x, y₁ = - 1, x₂ = 2, y₂ = 1, x₃ = 4 और y₃ = 5

तो Δ ABC का क्षेत्रफल = 

⇒ Δ ABC का क्षेत्रफल = 2 - 2x

∵ बिंदु A, B और C संरेखीय हैं ⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = 0

⇒ 2 - 2x = 0

⇒ x = 1

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना:

शीर्ष A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3)  वाले त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

क्षेत्रफल = 

गणना:

माना कि, त्रिभुज ABC के शीर्ष A = (1, -3) = (x₁, y₁), B = (4, -3) = (x2, y2) और C = (-9, k) = (x3, y3) हैं। 

शीर्ष A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) वाले त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

क्षेत्रफल = 

⇒ 15 = 

⇒ 30 = 

⇒ 30 = 3k + 9

⇒ k = 7

अतः यदि एक त्रिभुज के शीर्ष (1, -3), (4, -3) और (-9, k) हैं और इसका क्षेत्रफल 15 वर्ग इकाई है, तो k का मान 7 है। 

दिया गया है:

त्रिभुज की ऊँचाई (लंब) = 5 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 20 सेमी²

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × b × h

b = त्रिभुज का आधार

h = त्रिभुज की ऊँचाई

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

20 सेमी² = (1/2) × b × 5 सेमी

⇒ b = 40/5 = 8 सेमी

∴ त्रिभुज के आधार की अभीष्ट लंबाई 8 सेमी है।

अवधारणा :

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल = 

नोट: यदि बिंदु A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) संरेखीय हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

गणना:

यहाँ, हमें k के मूल्य का पता लगाना है जिसके लिए बिंदु A (- 2, 3), B (1, 2) और C (k, 0) संरेखीय हैं

माना कि x1 = - 2, y1 = 3, x2 = 1, y2 = 2, x3 = k और y3 = 0

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 

⇒ A = (k - 7)/2

∵ दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

⇒ A = (k - 7)/2 = 0

⇒ k = 7

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

प्रयुक्त सूत्र -

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई

त्रिभुज ABC में, यदि दो भुजाएँ AB और BC हैं और दो भुजाओं के बीच का कोण θ है।

∴ त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (1/2) × AB × AC × sinθ

दिया है -

AB = 14 सेमी, BC = 15 सेमी, ∠B = 30°, BC = 20 सेमी

अन्य त्रिभुज ABC में, BC = 20 cm 

हल -

⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल दोनों स्थितियों में समान है। इसलिए,

⇒ (1/2) × AB × BC × sin30° = (1/2) × BC × AD

⇒ 15 × 14 × (1/2) = 20 × AD

⇒ AD = 5.25 सेमी

∴ AD = 5.25 सेमी

संकल्पना:

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, तो Δ ABC का क्षेत्रफल = 

गणना:

दिया गया है: P(0,0), Q(2,5) और R(-3,4) त्रिभुज PQR के शीर्ष हैं। 

माना कि x1 = 0, y1 = 0, x2 = 2, y2 = 5, x3 = - 3 और y3 = 4 है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदिA (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3), Δ ABC के शीर्ष हैं, तो Δ ABC का क्षेत्रफल = 

⇒ A = 23/2

अतः विकल्प C सही उत्तर है।