Bending Moment MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Bending Moment - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

l लंबाई के एक कैंटीलीवर पर विचार करें जिस पर इसके मुक्त सिरे पर एक केंद्रित भार 'w' लगता है:

∵ स्थिर सिरे पर अभिक्रिया बीम पर कुल भार के बराबर होगी, अर्थात् W।

इसलिए, स्थिर सिरे पर अपरूपण बल W (ऊपर की ओर) है और मुक्त सिरे पर, यह W (नीचे की ओर) है।

धारा के बारे में आघूर्ण लेने पर:

M = \(W~\times~x\)

अधिकतम बंकन आघूर्ण स्थिर सिरे पर होता है अर्थात M = \(W~\times~L\)

व्याख्या:

अपरूपण बल:

किसी भी अनुभाग पर अपरूपण बल सभी अनुप्रस्थ भारों का योग होता है, या तो किसी भी अनुभाग के बाईं ओर या दाईं ओर।

बंकन आघूर्ण:

किसी भी अनुभाग पर बंकन आघूर्ण अनुप्रस्थ बलों द्वारा उत्पन्न आघूर्णों का परिणामी बीजगणितीय योग होता है, या तो अनुभाग के बाईं ओर या दाईं ओर से।

बंकन आघूर्ण, अपरूपण बल और भार के बीच संबंध:

• किसी भी अनुभाग पर अपरूपण बल के परिवर्तन की दर उस अनुभाग पर भार तीव्रता के बराबर होती है।

\(\frac{{dF}}{{dx}} = \omega \Rightarrow dF = \omega dx \Rightarrow F = \smallint \omega dx\)

अर्थात, दो अनुभागों के बीच अपरूपण बल में परिवर्तन उन दो अनुभागों के बीच भार तीव्रता आरेख के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

• किसी भी अनुभाग पर बंकन आघूर्ण के परिवर्तन की दर उस अनुभाग पर अपरूपण बल के बराबर होती है।

​

\(\frac{{dM}}{{dx}} = F \Rightarrow dM = Fdx \Rightarrow M = \smallint Fdx\)

अर्थात, दो अनुभागों के बीच बंकन आघूर्ण में परिवर्तन उन दो अनुभागों के बीच अपरूपण बल आरेख के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

एक केंद्रित युग्म की उपस्थिति बंकन आघूर्ण आरेख में युग्म के चिह्न और दिशा के आधार पर अचानक वृद्धि या गिरावट की ओर ले जाती है।

संकल्पना:

L लंबाई के एक सरल सहारा वाले बीम के लिए, जिस पर एक सिरे से \( x \) दूरी पर \( W \) बिंदु भार लगाया जाता है, उस भाग पर बंकन आघूर्ण है:

\( M = R_A \cdot x \)

जहाँ बाएँ सहारे पर अभिक्रिया है:

\( R_A = \frac{W(L - x)}{L} \)

प्रतिस्थापित करने पर:

\( M = \frac{W(L - x)}{L} \times x = W \left( x - \frac{x^2}{L} \right) \)

संप्रत्यय:

एक ट्रस सदस्यों से बना एक ढाँचा है जो एक स्थिर ढाँचे को बनाने के लिए उनके सिरों पर एक साथ जुड़े हुए हैं। जोड़ों की विधि का उपयोग सदस्यों में अक्षीय बलों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

दिया गया है:

ऊर्ध्वाधर भार, \(W = 1~\text{kN}\) बिंदु U पर लगाया जाता है। ट्रस सममित है, और समर्थन प्रतिक्रियाओं की पहले गणना की जाती है।

गणना:

चरण 1: समर्थन प्रतिक्रियाएँ

समरूपता और केंद्रीय ऊर्ध्वाधर लोडिंग के कारण, P और S पर ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाएँ हैं:

\(R_P = R_S = \frac{W}{2} = \frac{1}{2} = 0.5~\text{kN}\)

चरण 2: संधि U

संधि U पर, सदस्य UR और UT झुके हुए हैं। मान लीजिए कि UR और UT में बल \(F\) है।

चूँकि ज्यामिति 0.75 मीटर ऊर्ध्वाधर और 0.5 मीटर क्षैतिज घटक दिखाती है:

\(\sin\theta = \frac{0.75}{\sqrt{0.75^2 + 0.5^2}} = \frac{0.75}{0.902} = 0.832\)

U पर ऊर्ध्वाधर संतुलन:

\(2F \cdot \sin\theta = W\)

\( \Rightarrow 2F \cdot 0.832 = 1 \)

\(\Rightarrow F = \frac{1}{2 \cdot 0.832} = 0.60~\text{kN}\)

इसलिए, \(F_{UT} = F_{UR} = 0.60~\text{kN}\) तनाव में।

चूँकि TU क्षैतिज है और ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए आवश्यक नहीं है:

\(F_{TU} = 0\)

चरण 3: संधि Q

जोड़ों की विधि से, \(PQ = \frac{W}{3} = \frac{1}{3}~\text{kN}\) में अक्षीय बल।

दिशा: संधि की ओर कार्य करता है, इसलिए यह संपीडित है।

चरण 4: संधि S

संतुलन से, \(SR = \frac{2W}{3} = \frac{2}{3}~\text{kN}\) में अक्षीय बल।

दिशा: संधि की ओर कार्य करता है, इसलिए यह संपीडित है।

अवधारणा :

A और B पर प्रतिक्रिया बल खोजें और बंकन आघूर्ण का आरेख बनाएं

\({\rm{\Sigma }}{{\rm{F}}_{\rm{x}}} = 0,\;\;{\rm{\Sigma }}{{\rm{F}}_y} = 0,\;\;{\rm{\Sigma M}}_{\left( {{\rm{about\;a\;point}}} \right)} = 0\)

गणना:

दिया हुआ है कि:

\(\sum {F_y} = 0\;\)

RA + RB = 0

\(\sum {M_A} = 0\)

M - RB × L = 0

\({R_B} = \frac{M}{L}\) और \({R_A} = - \frac{M}{L}\)

अपरूपण बल:

\({\left( {S.F} \right)_B} ={\left( {S.F} \right)_A} = - \frac{M}{L} \)

बंकन आघूर्ण:

\({\left( {B.M} \right)_{X - X}} = M - \frac{M}{L}x\) (X बाएं से लिया गया पक्ष)

दक्षिणावर्त बंकन आघूर्ण -ve, वामावर्त बंकन आघूर्ण +ve

(बंकन आघूर्ण रैखिक रूप से भिन्न होता है)

\({\left( {B.M} \right)_A} = M\)

\({\left( {B.M} \right)_B} = M - \frac{M}{L} \times L = 0\;\)

∴ बंकन आघूर्ण आरेख एक छोटा वर्ग होगा।

Important Points

• यदि बीम की पूरी विस्तृति में SFD स्थिर है तो BMD रैखिक होगा।
• यदि किसी समय कोई युग्म अभिनय कर रहा है तो BMD में अचानक उछाल आ जाएगा।

व्याख्या:

एकसमान रूप से वितरित भार वाला कैंटीलीवर बीम:

तो, कैंटिलीवर बीम में निश्चित छोर पर अधिकतम बंकन आघूर्ण होता है और इसे इसप्रकार दिया जाता है, \(M=\frac{wL^2}{2}\)

जहाँ, w = भारण की दर

गणना:

दिया हुआ:

M = 8100 N-m, L = 9 m

\(8100=\frac{w~\times~ 9^2}{2}\)

w = 200 N/m

स्पष्टीकरण:

माना कि हम एक साधारण रूप से समर्थित बीम को लेते हैं। 

w/लम्बाई का एकसमान रूप से वितरित भार (UDL) बीम पर कार्य करता है। 

नीचे की ओर भार के कारण बीम शिथिल है। 

हम यह भी जानते हैं कि जब एक साधारण रूप से समर्थित बीम UDL के अधीन है, तो वंकन आघूर्ण धनात्मक होगा। 

शिथिलता या धनात्मक वंकन आघूर्ण 

हम धनात्मक के रूप में एक अनुभाग पर वंकन आघूर्ण लेते हैं यदि 

• बल में उस महत्वपूर्ण बिंदु पर बीम को झुकाने की प्रवृत्ति होती है। 
• यह वंकन शीर्ष पर अवतलता वाले वक्रता के लिए निर्मित होता है। 
• शीर्ष पर अवतलता बीम के शीर्ष तंतु में संपीडन को दर्शाता है। 
• इसलिए बीम के निचले फाइबर में तनाव होगा। 
• यहाँ UDL के कारण साधारण रूप से समर्थित बीम हमें वंकन आघूर्ण का धनात्मक मान प्रदान करेगा जो शिथिलता को दर्शाता है। 
• इसके कारण ऊपरी परत के फाइबर को संपीडक प्रतिबल प्राप्त होते हैं और निचले  परत के फाइबर को तन्य प्रतिबल प्राप्त होते हैं। 

हॉगन या ऋणात्मक वंकन आघूर्ण

हम धनात्मक के रूप में एक अनुभाग पर वंकन आघूर्ण लेते हैं यदि 

• बल में उस महत्वपूर्ण बिंदु पर बीम को झुकाने की प्रवृत्ति होती है। 
• यह वंकन शीर्ष पर उत्तलता वाले वक्रता के लिए निर्मित होता है। 
• शीर्ष पर उत्तलता बीम के शीर्ष तंतु में तनाव को दर्शाता है। 
• इसलिए बीम के शीर्ष फाइबर में संपीडन होगा। 

शून्य वंकन आघूर्ण के बिंदु

• प्रति-आनमन-बिंदु (या मोड़) शून्य वंकन आघूर्ण के बिंदु होते हैं, अर्थात् जहाँ बीम हॉगन से शिथिलता तक इसके वक्रता को परिवर्तित करती है। 
• वंकन आघूर्ण में प्रति-आनमन-बिंदु वह स्थान होता है जहाँ वंकन आघूर्ण शून्य (इसके चिन्ह को परिवर्तित करता है) होता है। 
• वंकन आघूर्ण आरेख में यह वह बिंदु होता है जिसपर वंकन आघूर्ण वक्र शून्य रेखाओं के साथ परस्पर प्रतिच्छेदित होता है। 

उदाहरण के लिए:

बिंदु A और B प्रति-आनमन-बिंदु हैं। 

संकल्पना-

एक प्रणाली के स्थिर स्थिति में होने के लिए, यह स्थिर साम्य में होना चाहिए।

तो स्थिर साम्य में होने के लिए आलम्बन बिंदु के चारों ओर आघूर्ण शून्य होना चाहिए।

∑ M_B = 0

\(⇒ 2W \times x \times \dfrac{x}{2} = W \times y \times \dfrac{y}{2}\)

\(⇒ x^2 = \dfrac{y^2}{2}\)

⇒ y² = 2x²

⇒ y = √2 x

अवधारणा:

x की दूरी पर बिंदु भार P के कारण बंकन आघूर्ण है

= P × x

गणना:

दिया हुआ:

बिंदु C पर भार = 15 kN 

बाएं समर्थन A से भार लगाने की दूरी= 1 m

माना समर्थन A और B पर प्रतिक्रिया क्रमशः R_A और R_B के रूप में है।

y-दिशा में बलों के संतुलन से

ΣFy = 0

RA + R­B = 15 kN        …(1)

बिंदु A के बारे में आघूर्ण लेना और संतुलन की स्थिति का उपयोग करना

ΣMA = 0

-(15 × 1) + (RB × 3) = 0

R­B = 5 kN         …(2)

समीकरण (1) हमें मिलता है

RA = 10 kN         …(3)

बंकन आघूर्ण आरेख को निम्नानुसार दिखाया गया है

10 kNm के मान के साथ बिंदु C पर बंकन आघूर्ण अधिकतम होता है

• अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण आरेख के लिए चिन्ह परिपाटी लेते समय सावधान रहें।

अवधारणा:

सार्वभौमिक डिज़ाइन के साथ शुद्धालम्ब बीम के लिए बंकन आघूर्ण और अपरूपण बल आरेख नीचे दिखाया गया है।

गणना:

भार समरूपता के कारण समर्थन प्रतिक्रियाओं की गणना, A और B पर बराबर होगी।

इसलिए, \(R_A=R_B=\frac{wL}{2}\)

शुद्धालम्ब बीम के सिरे A से L/4 की दूरी पर बंकन आघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है

M = L/4 दूरी से R_A के कारण आघूर्ण - L/4 दूरी से भार w के कारण आघूर्ण

\(M=\frac{wL}{2}\times\frac{L}{4}-w\times\frac{L}{4}\times(\frac{1}{2}\times\frac{L}{4})\)

\(M=\frac{3wL^2}{32}\)

संकल्पना:

प्रश्न में दी गई जानकारी को दिए गए चित्र में दर्शाया जा सकता है:

पानी नीचे के प्लैंक पर ऊपर की दिशा में एकसमान दबाव बनाएगा।

गणना:

दिया गया:

चूंकि दिया गया है कि प्लैंक पानी पर तैर रहा है। हमें प्राप्त होता है,

पानी द्वारा लगाया गया ऊपर की ओर बल (उत्प्लावन बल) = प्लैंक पर खड़े दबाव का नीचे का भार

(W')(L) = 2W

\(W' = \frac{{2W }}{L}\)

प्लैंक के मध्य भाग (बाएं) पर विचार करें,

मध्य बिंदु पर आघूर्ण को शून्य मानें।

∑ Mmid = 0

\({M_{mid}} + W \times \frac{L}{4} = \frac{{{W'}\times L}}{2} \times \frac{L}{4}\)

\({M_{mid}} + \frac{{W \times L}}{4} = \left( {\frac{{2\times W }}{L}}\right)\times \left ( {\frac{L}{2}} \right)\times \left( {\frac{L}{4}} \right)\)

∴ Mmid = 0

स्पष्टीकरण:

संकल्पना:

• यह धरन की लंबाई के अनुदिश एक अनुभाग के दोनों ओर कार्यरत आघूर्णों का बीजगणितीय योग होता है।

गणना:

A पर बंकन आघूर्ण (बाएँ से) = 9×1.5×\( \frac{1.5}{2}\) = 10.125 kN-m

B पर बंकन आघूर्ण (दाएँ से) = 3×1.5×\( \frac{1.5}{2}\) = 3.375 kN-m

इस प्रकार आघूर्णों का योग = 10.125 +3.375 = 13.50 kN-m

RA + RB = P      ---(1)

∑MB = 0

\({R_A} \times L - P \times \frac{L}{2} = 0\)

\({R_A} = \frac{P}{2}\)

\({R_B} = \frac{P}{2}\)

बंकन आघूर्ण उस बिंदु पर अधिकतम होगा जिस पर अपरूपण बल अपना चिह्न बदलता है।

तो x = L/2 की दूरी पर बंकन आघूर्ण निम्न है:

\({M_{\frac{L}{2}}} = {R_A}\frac{L}{2} = \frac{{PL}}{4}\)

गणना:

दिया हुआ:

P = 8 kN, L = 4 m

अधिकतम बंकन आघूर्ण, \({M} = \frac{PL}{4}\)

\({M} = \frac{8\times 4}{4}=8~kN.m\)

अवधारणा:

प्रति इकाई लंबाई एक समान रूप से वितरित भार W के साथ एक साधारण रूप से समर्थित बीम के लिए अधिकतम बंकन आघूर्ण wL2/8 है।

गणना:

दिया हुआ:

w = 8 kN/m

L = 10 m

अधिकतम बंकन आघूर्ण = \(\frac{{w{L^2}}}{8} = \frac{{8 \times \left( {{{10}^2}} \right)}}{8} = 100kNm\)