Binomial Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

चूंकि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान होने की संभावना है, इसलिए ऋणात्मक मान द्विपद रूप से वितरित किए जाते हैं

द्विपद बंटन​:

यदि एक यादृच्छिक चर X का द्विपद बंटन B (n, p) है, जिसमें n और p पैरामीटर हैं, तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)

जहाँ,

n प्रेक्षणों की संख्या है, k सफलता की संख्या है

p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) असफलता की प्रायिकता है।

गणना:

दिया गया है:

n = 5, p = 1/2

मान लीजिए X, 5 परीक्षणों में ऋणात्मक मानों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है

अधिक से अधिक 1 ऋणात्मक मान का अर्थ है k, 0 और 1 हो सकता है

P(अधिक से अधिक एक ऋणात्मक मान) = P(X≤1)

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

\({\rm{P}}\left( {{\rm{X\;}} = {\rm{\;}}0} \right) = 5{{\rm{C}}_0\times }{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5=1/32}\)

\({\rm{P}}\left( {{\rm{X\;}} = {\rm{\;}}1} \right) = 5{{\rm{C}}_1\times }{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4=5/32}\)

⇒ 6/32

Important Points

• अधिक से अधिक माध्य अधिकतम। यह शब्द आमतौर पर तब प्रयोग किया जाता है जब एक सिक्का उछालना, एक पासा फेंकना जैसे कई परीक्षण होते हैं
• उदाहरण के लिए दो सिक्कों को उछालने पर
• अधिक से अधिक दो चित का अर्थ है कि यह दो चित या एक चित या कोई चित नहीं हो सकता है

संकल्पना:

मानक सामान्य वितरण:

मानक सामान्य वितरण 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण है।

मानक सामान्य वितरण शून्य पर केंद्रित होता है और किसी दिए गए माप के माध्य से विचलन की डिग्री मानक विचलन द्वारा दी जाती है।

यदि X को सामान्य रूप से माध्य μ और मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है, तो \(Z = \frac{{X - μ }}{σ }\) मानक सामान्य रूप से माध्य 0 और मानक विचलन 1 के साथ वितरित किया जाता है।

विश्लेषण:

दिया गया है कि: X ∼ N (μ, σ2)

μ2 = σ2 (μ > 0)

P(X < -μ | X < μ) = ?

अब,

X ∼ N (μ, σ2) के वितरण को सामान्य वितरण Z ∼ N (0, 1) में बदलना

जहां, \(Z=\dfrac{X-μ}{σ}\)

चूंकि, σ2 = 1 हमारे पास, σ = 1 है

μ2 = σ2 और μ > 0 तो μ = 1

जब X  = -1,

\(Z=\dfrac{-1-1}{1}=-2\)

जब X = 1  है, 

\(Z=\dfrac{1-1}{1}=0\)

P(X < -μ|X < μ) = P (X < -1 | X < 1)

= P (Z < -2 | Z < 0)

\(\rm P(Z<-2|Z<0)=\dfrac{P(Z<-2\cap Z<0)}{P(Z<0)}\)

= \(\rm \dfrac{P(Z<-2)}{P(Z<0)}=\dfrac{P(Z>2)}{P(Z<0)}=\dfrac{1-P(Z<2)}{1/2}\)

= 2 [1 - P(Z < 2)]

1. सामान्य वितरण Y अक्ष के बारे में सममित है इसलिए P(X< -a) = P(X> a)

2. सामान्य वितरण वक्र का कुल क्षेत्रफल 1 है। अर्ध क्षेत्रफल माध्य के बाईं ओर स्थित है और अर्ध क्षेत्रफल माध्य के दाईं ओर स्थित है।

3. किसी भी यादृच्छिक चर X के लिए: अर्ध क्षेत्रफल माध्य P(X> a) = 1- P(X

संकल्पना:

द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)

जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।

गुण:

• वितरण का माध्य (μ) = np
• प्रसरण (σ2x) = npq

• मानक विचलन (σx) = √{np(1 - p)}
• प्रत्याशा, E(X) = np
• 1 - p = q

गणना:

दिया हुआ,

प्रत्याशा E(X) = 7 = np         .........(1)

प्रसरण = 6 = npq                    .........(2)

समीकरण (1) और (2) से

q = 6 / 7

∴ p = 1 / 7

संकल्पना:

द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)

जहाँ, n अवलोकनों या परीक्षणों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।

गुण:

• वितरण का माध्य (μX) = n × p
• प्रसरण (σ2x) = n × p × (1 - p)
• मानक विचलन (σx) = √{np(1 - p)}

गणना:

दिया हुआ, BD का माध्य = np = 5

और BD का प्रसरण = npq = \( { 10\over 3}\)

⇒ np(1 – p) = \( { 10\over 3}\) (∵ p + q = 1)

\(\Rightarrow (1 - {\rm{p})}\times 5 = \frac{10}{3} \Rightarrow {\rm{P}} = 1 - \frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow {\rm{p}} = \frac{1}{3}\)

संकल्पना:

द्विपद बंटन द्वारा,

P(X = r) = ⁿC_r(p)^r(q)^n-r

जहां,

n = परीक्षणों की कुल संख्या

r = अनुकूल परीक्षणों की कुल संख्या

p = सफलता की प्रायिकता

q= (1 - p) = असफलता की प्रायिकता

विश्लेषण​:

उपरोक्त प्रश्न में n = 5

p = q = \(\frac{1}{2}\)

कम से कम एक चित आने की प्रायिकता = P(X > 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

= 1 - P(X = 0)

= 1 - ⁿC₀(p)⁰(q)ⁿ

= 1 - ⁵C₀(\(\frac{1}{2}\))⁰(\(\frac{1}{2}\))⁵

= 1 - (0.5)⁵

= \(\frac{{31}}{{32}}\)

ध्यान दें:  जब भी किसी घटना के घटित होने और न होने की समान प्रायिकता होती है, तब द्विपद बंटन क्रियान्वित किया जाता है।

संकल्पना:

हम जानते द्विपदी बारंबारता है:

\({\left( {q + p} \right)^n} = \sum {n_{{C_r}}}{q^n}{p^{n - r}}\)

जहां p + q = 1

P सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता और q विफलता प्राप्त करने की प्रायिकता है

• द्विपदी बारंबारता का माध्य np है।
• npq विचरण है
• मानक विचलन = √विचरण \(= \sqrt {npq} \)

स्पष्ट रूप से, एक्स एक द्विपदीय चर है और n और p = 1/2 इसके प्राचल हैं, इस प्रकार कि,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{x}} = {\rm{r}}} \right) = {{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{{\rm{p}}^{\rm{r}}}{{\rm{q}}^{\rm{n - r}}}{ = ^{{\rm{\;n}}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{r}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}}\)

\(= {{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{n}}}\)

अब, P (x = 4), P(x = 5) और P(x = 6) AP में हैं।

यदि a, b, c AP में हैं तो 2b = a+c

∴ 2P (x = 5) = P (x = 4) + P (x = 6)

\( \Rightarrow {2.^{{\rm{\;n}}}}{{\rm{C}}_5}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{n}}} = {{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_4}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{n}}}{ + ^{{\rm{\;n}}}}{{\rm{C}}_6}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{n}}}\)

⇒ 2.ⁿC₅ = ⁿC₄ + ⁿC₆

\(\Rightarrow 2\frac{{{\rm{n}}!}}{{\left( {{\rm{n}} - 5} \right)!5!}} = \frac{{{\rm{n}}!}}{{\left( {{\rm{n}} - 4} \right)!4!}} + \frac{{{\rm{n}}!}}{{\left( {{\rm{n}} - 6} \right)!6!}}\)

\(\Rightarrow \frac{2}{{5\left( {{\rm{n}} - 5} \right)}} = \frac{1}{{\left( {{\rm{n}} - 4} \right)\left( {{\rm{n}} - 5} \right)}} + \frac{1}{{6 \times 5}}\)

⇒ n² – 21n + 98 = 0 ⇒ (n – 7) (n – 14) = 0

संकल्पना:

मानक सामान्य वितरण:

मानक सामान्य वितरण 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण है।

मानक सामान्य वितरण शून्य पर केंद्रित होता है और किसी दिए गए माप के माध्य से विचलन की डिग्री मानक विचलन द्वारा दी जाती है।

यदि X को सामान्य रूप से माध्य μ और मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है, तो \(Z = \frac{{X - μ }}{σ }\) मानक सामान्य रूप से माध्य 0 और मानक विचलन 1 के साथ वितरित किया जाता है।

विश्लेषण:

दिया गया है कि: X ∼ N (μ, σ2)

μ2 = σ2 (μ > 0)

P(X < -μ | X < μ) = ?

अब,

X ∼ N (μ, σ2) के वितरण को सामान्य वितरण Z ∼ N (0, 1) में बदलना

जहां, \(Z=\dfrac{X-μ}{σ}\)

चूंकि, σ2 = 1 हमारे पास, σ = 1 है

μ2 = σ2 और μ > 0 तो μ = 1

जब X  = -1,

\(Z=\dfrac{-1-1}{1}=-2\)

जब X = 1  है, 

\(Z=\dfrac{1-1}{1}=0\)

P(X < -μ|X < μ) = P (X < -1 | X < 1)

= P (Z < -2 | Z < 0)

\(\rm P(Z<-2|Z<0)=\dfrac{P(Z<-2\cap Z<0)}{P(Z<0)}\)

= \(\rm \dfrac{P(Z<-2)}{P(Z<0)}=\dfrac{P(Z>2)}{P(Z<0)}=\dfrac{1-P(Z<2)}{1/2}\)

= 2 [1 - P(Z < 2)]

1. सामान्य वितरण Y अक्ष के बारे में सममित है इसलिए P(X< -a) = P(X> a)

2. सामान्य वितरण वक्र का कुल क्षेत्रफल 1 है। अर्ध क्षेत्रफल माध्य के बाईं ओर स्थित है और अर्ध क्षेत्रफल माध्य के दाईं ओर स्थित है।

3. किसी भी यादृच्छिक चर X के लिए: अर्ध क्षेत्रफल माध्य P(X> a) = 1- P(X

संकल्पना:

द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)

जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।

गुण:

• वितरण का माध्य (μX) = n × p
• प्रसरण (σ2x) = n × p × (1 - p)
• मानक विचलन (σx) = √{np(1 - p)}

गणना:

दिया हुआ, BD का माध्य = np = 15

और BD का प्रसरण = npq = 10

⇒ np(1 – p) = 10 (∵ p + q = 1)

\(\Rightarrow 1 - {\rm{p}}\frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {\rm{P}} = 1 - \frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow {\rm{p}} = \frac{1}{3}\)

द्विपद बंटन में, माध्य = np, प्रसरण = npq और बहुलक r है यदि x = r के लिए, प्रायिकता फलन p(x) अधिकतम है।

दिया गया है, np = 4 और npq = 3

\(\therefore {\rm{q\;}} = {\rm{\;}}\frac{3}{4}{\rm{\;and\;p\;}} = {\rm{\;}}1 - {\rm{q\;}} = {\rm{\;}}1 - \frac{3}{4}{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\frac{1}{4}\)

साथ ही, \({\rm{n\;}} = {\rm{\;}}\frac{4}{{\rm{p}}}{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\frac{4}{{\frac{1}{4}}}{\rm{\;}} = {\rm{\;}}16\)

धारणा:

• माध्य = μ = np
• \({\rm{Standard\;deviation}} = {\rm{\sigma }} = \sqrt {{\rm{npq}}}\)

जहां n = परीक्षणों की संख्या; p = सफलता की प्रायिकता; q = (1 - p) = विफलता की प्रायिकता

गणना:

दिया हुआ: माध्य = μ = np = 5

प्रसरण = σ² = npq = 4

⇒ 4 = np (1 − p) = 5(1 − p)

⇒ 4/5 = (1 − p)

⇒ p = 1 – 4/5

∴ p = 1/5

फिर से; μ = np = 5

संकल्पना:

हम जानते द्विपदी बारंबारता है:

\({\left( {q + p} \right)^n} = \sum {n_{{C_r}}}{q^n}{p^{n - r}}\)

जहां p + q = 1

P सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता और q विफलता प्राप्त करने की प्रायिकता है

• द्विपदी बारंबारता का माध्य np है।
• npq विचरण है
• मानक विचलन = √विचरण \(= \sqrt {npq} \)

धारणा:

माध्य = μ = np

मानक विचलन = \( {\rm{\sigma }} = \sqrt {{\rm{npq}}}\)  

जहां n = परीक्षणों की संख्या; p = सफलता की प्रायिकता; q = (1 - p) = विफलता की प्रायिकता

गणना:

दिया हुआ: माध्य = μ = np = 5

प्रसरण = σ² = npq = 4

⇒ 4 = np (1 − p) = 5(1 − p)

⇒ 4/5 = (1 − p)

⇒ p = 1 – 4/5

∴ p = 1/5

फिर से; μ = np = 5

∴ n = 5/p = 5 × 5 = 25

संकल्पना:

द्विपद वितरण

\(P\left( {X = r} \right) = {n_{{c_r}}}{p^r}{q^{n - r}}\)

माध्य = np

प्रसरण = npq

मानक विचलन \( = \sqrt {npq} \)

गणना:

माध्य = np = 1

प्रसरण = npq = 3/4

\( \Rightarrow p = \frac{1}{4},q = \frac{3}{4},n = 4\)

\(P\left( {X = 3} \right) = {4_{{c_3}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{4 - 3}} \)

\(P(X=3)= 4 \times \frac{1}{{64}} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{{64}}\)

व्याख्या:

यहाँ प्रश्न ठीक 4 बार चित आने के समान है

p चित आने की प्रायिकता है = \(\frac 1 2\)

q पट आने की प्रायिकता है = \(\frac 1 2\)

7 बार सिक्के को उछालने पर 4 चित हेड प्राप्त करने को निम्न प्रकार समझाया जा सकता है

द्विपद सिद्धांत का उपयोग करने पर:

\(^7{C_4}{\left( p \right)^4}{\left( q \right)^3} = \frac{{7\times 6 \times \;5}}{{3 \times 2}} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\)

\(^7{C_4}{\left( p \right)^4}{\left( q \right)^3} = \frac{{35}}{{128}}\)