Binomial Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 10, 2025
Latest Binomial Distribution MCQ Objective Questions
Binomial Distribution Question 1:
एक प्रयोग में, धनात्मक और ऋणात्मक मान समान रूप से होने की संभावना है। पाँच परीक्षणों में अधिकतम एक ऋणात्मक मान प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 1 Detailed Solution
संकल्पना:
चूंकि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान होने की संभावना है, इसलिए ऋणात्मक मान द्विपद रूप से वितरित किए जाते हैं
द्विपद बंटन:
यदि एक यादृच्छिक चर X का द्विपद बंटन B (n, p) है, जिसमें n और p पैरामीटर हैं, तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)
जहाँ,
n प्रेक्षणों की संख्या है, k सफलता की संख्या है
p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) असफलता की प्रायिकता है।
गणना:
दिया गया है:
n = 5, p = 1/2
मान लीजिए X, 5 परीक्षणों में ऋणात्मक मानों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है
अधिक से अधिक 1 ऋणात्मक मान का अर्थ है k, 0 और 1 हो सकता है
P(अधिक से अधिक एक ऋणात्मक मान) = P(X≤1)
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
\({\rm{P}}\left( {{\rm{X\;}} = {\rm{\;}}0} \right) = 5{{\rm{C}}_0\times }{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5=1/32}\)
\({\rm{P}}\left( {{\rm{X\;}} = {\rm{\;}}1} \right) = 5{{\rm{C}}_1\times }{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4=5/32}\)
⇒ 6/32
Important Points
- अधिक से अधिक माध्य अधिकतम। यह शब्द आमतौर पर तब प्रयोग किया जाता है जब एक सिक्का उछालना, एक पासा फेंकना जैसे कई परीक्षण होते हैं
- उदाहरण के लिए दो सिक्कों को उछालने पर
- अधिक से अधिक दो चित का अर्थ है कि यह दो चित या एक चित या कोई चित नहीं हो सकता है
Binomial Distribution Question 2:
मान लीजिए x ∼ N(μ, σ2) यदि μ2 = σ2, (μ > 0) है, तो संचयी फलन N (0, 1) के पदों में P(X < -μ | X < μ) का मान _________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 2 Detailed Solution
संकल्पना:
मानक सामान्य वितरण:
मानक सामान्य वितरण 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण है।
मानक सामान्य वितरण शून्य पर केंद्रित होता है और किसी दिए गए माप के माध्य से विचलन की डिग्री मानक विचलन द्वारा दी जाती है।
यदि X को सामान्य रूप से माध्य μ और मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है, तो \(Z = \frac{{X - μ }}{σ }\) मानक सामान्य रूप से माध्य 0 और मानक विचलन 1 के साथ वितरित किया जाता है।
विश्लेषण:
दिया गया है कि: X ∼ N (μ, σ2)
μ2 = σ2 (μ > 0)
P(X < -μ | X < μ) = ?
अब,
X ∼ N (μ, σ2) के वितरण को सामान्य वितरण Z ∼ N (0, 1) में बदलना
जहां, \(Z=\dfrac{X-μ}{σ}\)
चूंकि, σ2 = 1 हमारे पास, σ = 1 है
μ2 = σ2 और μ > 0 तो μ = 1
जब X = -1,
\(Z=\dfrac{-1-1}{1}=-2\)
जब X = 1 है,
\(Z=\dfrac{1-1}{1}=0\)
P(X < -μ|X < μ) = P (X < -1 | X < 1)
= P (Z < -2 | Z < 0)
\(\rm P(Z<-2|Z<0)=\dfrac{P(Z<-2\cap Z<0)}{P(Z<0)}\)
= \(\rm \dfrac{P(Z<-2)}{P(Z<0)}=\dfrac{P(Z>2)}{P(Z<0)}=\dfrac{1-P(Z<2)}{1/2}\)
= 2 [1 - P(Z < 2)]
1. सामान्य वितरण Y अक्ष के बारे में सममित है इसलिए P(X< -a) = P(X> a)
2. सामान्य वितरण वक्र का कुल क्षेत्रफल 1 है। अर्ध क्षेत्रफल माध्य के बाईं ओर स्थित है और अर्ध क्षेत्रफल माध्य के दाईं ओर स्थित है।
3. किसी भी यादृच्छिक चर X के लिए: अर्ध क्षेत्रफल माध्य P(X> a) = 1- P(X
Binomial Distribution Question 3:
माना कि X एक यादृच्छिक चर है जो प्रत्याशा E(X) = 7 और प्रसरण V(X) = 6 के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है। तब सफलता की प्रायिकता p क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)
जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।
गुण:
- वितरण का माध्य (μ) = np
- प्रसरण (σ2x) = npq
- मानक विचलन (σx) = √{np(1 - p)}
- प्रत्याशा, E(X) = np
- 1 - p = q
गणना:
दिया हुआ,
प्रत्याशा E(X) = 7 = np .........(1)
प्रसरण = 6 = npq .........(2)
समीकरण (1) और (2) से
q = 6 / 7
∴ p = 1 / 7
Binomial Distribution Question 4:
यदि द्विपद वितरण का माध्य = 5, प्रसरण = = \( { 10\over 3}\) तो परीक्षणों की संख्या किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)
जहाँ, n अवलोकनों या परीक्षणों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।
गुण:
- वितरण का माध्य (μX) = n × p
- प्रसरण (σ2x) = n × p × (1 - p)
- मानक विचलन (σx) = √{np(1 - p)}
गणना:
दिया हुआ, BD का माध्य = np = 5
और BD का प्रसरण = npq = \( { 10\over 3}\)
⇒ np(1 – p) = \( { 10\over 3}\) (∵ p + q = 1)
\(\Rightarrow (1 - {\rm{p})}\times 5 = \frac{10}{3} \Rightarrow {\rm{P}} = 1 - \frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow {\rm{p}} = \frac{1}{3}\)
\(\therefore {\rm{n}} = \frac{{5}}{{1/3}} = 5 \times 3 = 15\)Binomial Distribution Question 5:
पांच सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम से कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 5 Detailed Solution
संकल्पना:
द्विपद बंटन द्वारा,
P(X = r) = nCr(p)r(q)n-r
जहां,
n = परीक्षणों की कुल संख्या
r = अनुकूल परीक्षणों की कुल संख्या
p = सफलता की प्रायिकता
q= (1 - p) = असफलता की प्रायिकता
विश्लेषण:
उपरोक्त प्रश्न में n = 5
p = q = \(\frac{1}{2}\)
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता = P(X > 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
= 1 - P(X = 0)
= 1 - nC0(p)0(q)n
= 1 - 5C0(\(\frac{1}{2}\))0(\(\frac{1}{2}\))5
= 1 - (0.5)5
= \(\frac{{31}}{{32}}\)
ध्यान दें: जब भी किसी घटना के घटित होने और न होने की समान प्रायिकता होती है, तब द्विपद बंटन क्रियान्वित किया जाता है।
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Binomial Distribution Question 6:
एक द्विपद वितरण का माध्य 5 और प्रसरण 4 है। परीक्षण की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 6 Detailed Solution
धारणा:
माध्य = μ = np
मानक विचलन = \( {\rm{\sigma }} = \sqrt {{\rm{npq}}}\)
जहां n = परीक्षणों की संख्या; p = सफलता की प्रायिकता; q = (1 - p) = विफलता की प्रायिकता
गणना:
दिया हुआ: माध्य = μ = np = 5
प्रसरण = σ2 = npq = 4
⇒ 4 = np (1 − p) = 5(1 − p)
⇒ 4/5 = (1 − p)
⇒ p = 1 – 4/5
∴ p = 1/5
फिर से; μ = np = 5
∴ n = 5/p = 5 × 5 = 25
Binomial Distribution Question 7:
मान लीजिए कि X माध्य 1 और प्रसरण \(\frac{3}{4}\) के साथ एक द्विपद यादृच्छिक चर है। X के 3 का मान लेने की प्रायिकता क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 7 Detailed Solution
संकल्पना:
द्विपद वितरण
\(P\left( {X = r} \right) = {n_{{c_r}}}{p^r}{q^{n - r}}\)
माध्य = np
प्रसरण = npq
मानक विचलन \( = \sqrt {npq} \)
गणना:
माध्य = np = 1
प्रसरण = npq = 3/4
\( \Rightarrow p = \frac{1}{4},q = \frac{3}{4},n = 4\)
\(P\left( {X = 3} \right) = {4_{{c_3}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{4 - 3}} \)
\(P(X=3)= 4 \times \frac{1}{{64}} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{{64}}\)
Binomial Distribution Question 8:
एक उचित सिक्के को 7 बार उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि ठीक 4 सिक्के चित हों और 3 सिक्के पट हों?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 8 Detailed Solution
व्याख्या:
यहाँ प्रश्न ठीक 4 बार चित आने के समान है
p चित आने की प्रायिकता है = \(\frac 1 2\)
q पट आने की प्रायिकता है = \(\frac 1 2\)
7 बार सिक्के को उछालने पर 4 चित हेड प्राप्त करने को निम्न प्रकार समझाया जा सकता है
द्विपद सिद्धांत का उपयोग करने पर:
\(^7{C_4}{\left( p \right)^4}{\left( q \right)^3} = \frac{{7\times 6 \times \;5}}{{3 \times 2}} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\)
\(^7{C_4}{\left( p \right)^4}{\left( q \right)^3} = \frac{{35}}{{128}}\)
अतः, प्रायिकता \(\frac{{35}}{{128}}\) है कि ठीक 4 सिक्के चित हों और 3 सिक्के पट होंBinomial Distribution Question 9:
निम्नलिखित में से द्विपदी बारंबारता का मानक विचलन कौन सा है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
हम जानते द्विपदी बारंबारता है:
\({\left( {q + p} \right)^n} = \sum {n_{{C_r}}}{q^n}{p^{n - r}}\)
जहां p + q = 1
P सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता और q विफलता प्राप्त करने की प्रायिकता है
- द्विपदी बारंबारता का माध्य np है।
- npq विचरण है
- मानक विचलन = √विचरण \(= \sqrt {npq} \)
Binomial Distribution Question 10:
एक उचित सिक्के को उछाले जाने पर, चित के आने की संख्या मान लीजिए X है, यदि P(x = 4), P(x = 5) और P(x = 6) AP में हैं, तो n का मान ज्ञात करें।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 10 Detailed Solution
स्पष्ट रूप से, एक्स एक द्विपदीय चर है और n और p = 1/2 इसके प्राचल हैं, इस प्रकार कि,
\({\rm{P}}\left( {{\rm{x}} = {\rm{r}}} \right) = {{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{{\rm{p}}^{\rm{r}}}{{\rm{q}}^{\rm{n - r}}}{ = ^{{\rm{\;n}}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{r}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}}\)
\(= {{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{n}}}\)
अब, P (x = 4), P(x = 5) और P(x = 6) AP में हैं।
यदि a, b, c AP में हैं तो 2b = a+c
∴ 2P (x = 5) = P (x = 4) + P (x = 6)
\( \Rightarrow {2.^{{\rm{\;n}}}}{{\rm{C}}_5}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{n}}} = {{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_4}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{n}}}{ + ^{{\rm{\;n}}}}{{\rm{C}}_6}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{n}}}\)
⇒ 2.nC5 = nC4 + nC6
\(\Rightarrow 2\frac{{{\rm{n}}!}}{{\left( {{\rm{n}} - 5} \right)!5!}} = \frac{{{\rm{n}}!}}{{\left( {{\rm{n}} - 4} \right)!4!}} + \frac{{{\rm{n}}!}}{{\left( {{\rm{n}} - 6} \right)!6!}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{{5\left( {{\rm{n}} - 5} \right)}} = \frac{1}{{\left( {{\rm{n}} - 4} \right)\left( {{\rm{n}} - 5} \right)}} + \frac{1}{{6 \times 5}}\)
⇒ n2 – 21n + 98 = 0 ⇒ (n – 7) (n – 14) = 0
∴ n = 7 or 14Binomial Distribution Question 11:
मशीन द्वारा निर्मित भागों की एक बड़ी संख्या के नमूने में, 20 नमूने में दोषपूर्णों की औसत संख्या ऐसे 1000 नमूनों में से 2 है। कितनों से कम से कम 3 दोषपूर्ण भागों को शामिल करने की उम्मीद की जाएगी?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 11 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
दिया हुआ:
दोषपूर्णों की औसत संख्या = 2 = np
⇒ 2 = 20p
गणना:
\({\rm{Hence}},{\rm{\;probability\;of\;defective\;part\;}} = p = \frac{2}{{20}} = 0.1\)
गैर-दोषपूर्ण की प्रायिकता = 0.9
अब,
∴ 20 नमूने में से कम से कम तीन दोषों की प्रायिकता = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)]
\( = 1 - \left[ {{}_{}^{20}{C_0}{{\left( {0.9} \right)}^{20}} + {}_{}^{20}{C_1}\left( {0.1} \right){{\left( {0.9} \right)}^{19}} + {}_{}^{20}{C_2}{{\left( {0.1} \right)}^2}{{\left( {0.9} \right)}^{18}}} \right]\)
= 0.323
इस प्रकार, 1000 नमूनों में से कम से कम तीन दोषपूर्ण भागों वाले नमूनों की संख्या
= 1000 × 0.323
= 323
Binomial Distribution Question 12:
द्विपद बंटन में माध्य 4 और प्रसरण 3 होता है। तब बहुलक कितना होता है?
Answer (Detailed Solution Below)
4
Binomial Distribution Question 12 Detailed Solution
np = 4 और npq = 3
इस प्रकार q = (3/4) और p = (1-q) = (1/4)
बहुलक एक पूर्णांक है जैसे कि np+p > x > np-q
⇒ 4 +(1/4) > x >4-(3/4)
⇒ (13/4) 3.25 ⇒ x=4
Binomial Distribution Question 13:
4 बच्चों वाले 800 परिवारों में से, कितने परिवारों में 2 लड़के और 2 लड़कियां होने की उम्मीद की जाएगी।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 13 Detailed Solution
व्याख्या:
P(2 लड़के और 2 लड़कियां) \(= {\rm{\;P}}\left( {{\rm{X\;}} = {\rm{\;}}2} \right) = 4{C_2}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{4 - 2}} = 6 \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\)
∴ P(2 लड़के और 2 लड़कियां) \(= {\rm{\;P}}\left( {{\rm{X\;}} = {\rm{\;}}2} \right) = \frac{3}{8}\)
अब,
2 लड़के और 2 लड़कियों वाले परिवारों की संख्या = N P(X = 2)
(जहाँ N कुल सुविचारित परिवारों की संख्या है)
∴ 2 लड़के और 2 लड़कियों वाले परिवारों की संख्या \( = 800 \times \frac{3}{8}\)
∴ 2 लड़के और 2 लड़कियों वाले परिवारों की संख्या = 300Binomial Distribution Question 14:
माना कि X एक यादृच्छिक चर है जो प्रत्याशा E(X) = 7 और प्रसरण V(X) = 6 के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है। तब सफलता की प्रायिकता p क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 14 Detailed Solution
संकल्पना:
द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)
जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।
गुण:
- वितरण का माध्य (μ) = np
- प्रसरण (σ2x) = npq
- मानक विचलन (σx) = √{np(1 - p)}
- प्रत्याशा, E(X) = np
- 1 - p = q
गणना:
दिया हुआ,
प्रत्याशा E(X) = 7 = np .........(1)
प्रसरण = 6 = npq .........(2)
समीकरण (1) और (2) से
q = 6 / 7
∴ p = 1 / 7
Binomial Distribution Question 15:
एक प्रयोग में, धनात्मक और ऋणात्मक मान समान रूप से होने की संभावना है। पाँच परीक्षणों में अधिकतम एक ऋणात्मक मान प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 15 Detailed Solution
संकल्पना:
चूंकि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान होने की संभावना है, इसलिए ऋणात्मक मान द्विपद रूप से वितरित किए जाते हैं
द्विपद बंटन:
यदि एक यादृच्छिक चर X का द्विपद बंटन B (n, p) है, जिसमें n और p पैरामीटर हैं, तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)
जहाँ,
n प्रेक्षणों की संख्या है, k सफलता की संख्या है
p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) असफलता की प्रायिकता है।
गणना:
दिया गया है:
n = 5, p = 1/2
मान लीजिए X, 5 परीक्षणों में ऋणात्मक मानों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है
अधिक से अधिक 1 ऋणात्मक मान का अर्थ है k, 0 और 1 हो सकता है
P(अधिक से अधिक एक ऋणात्मक मान) = P(X≤1)
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
\({\rm{P}}\left( {{\rm{X\;}} = {\rm{\;}}0} \right) = 5{{\rm{C}}_0\times }{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5=1/32}\)
\({\rm{P}}\left( {{\rm{X\;}} = {\rm{\;}}1} \right) = 5{{\rm{C}}_1\times }{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} \times {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4=5/32}\)
⇒ 6/32
Important Points
- अधिक से अधिक माध्य अधिकतम। यह शब्द आमतौर पर तब प्रयोग किया जाता है जब एक सिक्का उछालना, एक पासा फेंकना जैसे कई परीक्षण होते हैं
- उदाहरण के लिए दो सिक्कों को उछालने पर
- अधिक से अधिक दो चित का अर्थ है कि यह दो चित या एक चित या कोई चित नहीं हो सकता है