Calculus of Variations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Calculus of Variations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

फलनक I[y(x)] = , y(x₂) = y₂ और y(x1) निर्धारित नहीं है, के लिए ऑयलर समीकरण है

= 0

और प्राकृतिक परिसीमा प्रतिबंध है

= 0

व्याख्या:

यहाँ F(x, y, y') =

ऑयलर समीकरण का उपयोग करने पर,

-2y - (2y') = 0

⇒ y + y'' = 0

⇒ y'' + y = 0

व्यापक हल है

y = a cos x + b sin x....(i)

⇒ y' = - a sin x + b cos x ....(ii)

प्राकृतिक परिसीमा प्रतिबंध है

= 0

⇒ y' = 0

(ii) में रखने पर. 

b = 0

y(1) = 1 और b = 0 को (i) में रखने पर,

a cos 1 = 1 ⇒ a =

इसलिए, चरम मान है

y =

विकल्प (2) सही है।

संप्रत्यय:

फलनक  ,  निम्न को संतुष्ट करता है

व्याख्या:

यहाँ f = xy + y²y'

निम्न का प्रयोग करने पर,

⇒ x + 2yy' - = 0

⇒ x + 2yy' - 2yy' = 0

⇒ x = 0

y(1) = 2 रखने पर हमें मिलता है

1 = 0 जो सत्य नहीं है।

इसलिए, इस फलनक का कोई चरम मान नहीं है।

विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

फलन I(y) = , y(x₁) = y₁, y(x₂) = y₂ का चरम मान ऑयलर समीकरण द्वारा दिया जाता है

= 0

व्याख्या:

I(y) = , y(0) = 1, y(1) = 2

यहाँ F = , इसलिए ऑयलर समीकरण का उपयोग करते हुए

= 0

⇒ 0 - = 0

⇒ y'' = 0

समाकलन करने पर

y = ax + b

y(0) = 1 ⇒ b = 1

y(1) = 2 ⇒ a + b = 2 ⇒ a + 1 = 2 ⇒ a = 1

इसलिए, चरम मान है

y = x + 1

(1) सही है।

संप्रत्यय:

फलन को न्यूनतम करने के लिए, हम फलन के लिए ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण का उपयोग करते हैं,

जो है

व्याख्या:

निम्नलिखित प्रतिबंधों के अंतर्गत :

1. (अर्थात, y(x) सतत रूप से अवकलनीय है).

2. = 0

3.

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर

यह एक द्वितीय-कोटि रैखिक अवकल समीकरण है,

इस अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

जहाँ A और B अचर हैं जिन्हें परिसीमा प्रतिबंधों का उपयोग करके निर्धारित किया जाना है।

y(1) = 1 लागू करने पर:

⇒

2. y(-1) = 1 लागू करने पर:​

⇒

समीकरण (1) और (2) से, हम A और B के लिए हल कर सकते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,

⇒

⇒

इस प्रकार,

अब समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर:

⇒

इस प्रकार,

चूँकि, , यह होना चाहिए कि

समीकरण (3) में A = B प्रतिस्थापित करने पर:

A के लिए हल करने पर:

इस प्रकार,

यह विकल्प 3) से मेल खाता है।

संप्रत्यय:

फलन I[y(x)] = , y(x1) = y1, y(x2) = y1 प्राप्त करता है

(i) प्रबल उच्चिष्ठ यदि

(ii) दुर्बल उच्चिष्ठ यदि

(iii) प्रबल निम्निष्ठ यदि > 0 सभी y' के लिए

(iv) दुर्बल निम्निष्ठ यदि > 0 कुछ y' के लिए

व्याख्या:

I[y(x)] = , y(1) = 1

इसलिए f =

इसलिए

इसलिए फलन अपने सभी चरम मानों पर प्रबल उच्चिष्ठ प्राप्त करता है।

विकल्प (2) सही है

संकल्पना:

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण: फलनक J[y] = f(x, y, y')dx का चरम - () = 0 को संतुष्ट करता है।

व्याख्या:

J(y(x)) = [(y')2 − y|y| y' + xy] dx, y(0) = 0, y(1) = 0

यदि y > 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 − y²y' + xy

इसलिए - () = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

-2yy' + x - (2y' - y²) = 0

- 2yy' + x - 2y'' +2yy' = 0

y'' = x/2....(i)

यदि y

f(x, y, y') = (y')2 + y2y' + xy

इसलिए - () = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

2yy' + x - (2y' + y2) = 0

2yy' + x - 2y'' - 2yy' = 0

y'' = x/2....(ii)

इसलिए दोनों स्थितियों में हम प्राप्त करते हैं

y'' = x/2

समाकलन करने पर

y' =

फिर से समाकलन करने पर

y =

y(0) = 0, y(1) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

c₂ = 0 और 0 = + c₁ ⇒ c1 = -

इसलिए हल निम्न है

y =

विकल्प (3) सही है।

अवधारणा: यदि है, तो इसका चरम मान है:

व्याख्या:

y(0)=0, y(1) = 1,

प्रश्न के अनुसार

= 0

= 0

⇒ = 0

⇒ x - 4y'' = 0

x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

पुनः x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

जहाँ, c और d समाकलन के अचर हैं

अब,

और

इसलिए हमारा चरम मान होगा

इसलिए विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

यूलर समीकरण:

आइए कार्यात्मक की जांच करें

एक चरम मान के लिए, अनुमेय वक्रों के सीमा बिंदु स्थिर हैं y( x1 ) = y1 और y( x2 ) = y2

तब  - ( ) = 0 को यूलर समीकरण कहा जाता है

गणना:

दिया गया है: F( x , y , y' ) = y'2 -2xy

अब यूलर के समीकरण से

 - () = 0

-2x - 2y'' = 0

y'' = - x

अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

y' =  + A

अब फिर से, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

y( x) = + Ax + B . . . . . . (1)

जहाँ, A और B स्थिरांक हैं।

सीमांत प्रतिबंध का उपयोग करते हुए y(1) = 1 और y( -1) = -1

अब, समीकरण 1 से, हमें प्राप्त होता है

y(1) = + A + B

1 = + A +B

A + B =  . . . . . . (2)

y( -1) =  - A + B

-1 =  - A + B

- A + B =  . . . . . . (3)

समीकरण 2 और 3 को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

B = 0

समीकरण (2) में B का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

A = 

अब समीकरण (1) से,

y(x) = +x

विकल्प (3) सही है

अवधारणा:

एक विशिष्ट सममित समस्या I(y) = का चरम मान ज्ञात करना है, जहाँ y(a) = y₁, y(b) = y₂, J(y) = है, तो चरम मान यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करते हैं। 

= 0

जहाँ, H = F + λH

व्याख्या:

, y(0) = 1, y(1) = 6,

मान लीजिए H =

माना 

= 0

⇒ λ - = 0

⇒ 2y'' = λ

⇒ y'' = λ/2

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है,

y' = x + a

पुनः समाकलन करने पर,

⇒ y = + ax + b

y(0) = 1, y(1) = 6

⇒ b = 1

और

6 = λ/4 + a + 1

⇒ 5 = λ/4 + a

⇒ λ + 4a = 20.....(i)

इसलिए, हमें y = + ax + 1 प्राप्त होता है,

साथ ही,

⇒ = 3

⇒ = 3

⇒ = 3

⇒ = 2

⇒ λ + 6a = 24....(ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) को घटाने पर हमें प्राप्त होता है,

2a = 4 ⇒ a = 2

समीकरण (i) में a = 2 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है,

λ + 8 = 20 ⇒ λ = 12

इसलिए चरम मान है,

y = 3x² + 2x + 1

इसलिए फलन का केवल एक चरम मान है।

इसलिए चरम मानों के समुच्चय का गणनांक 1 है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संप्रत्यय:

फलन J(y) = , y(a) = y₁, y(b) = स्वेच्छ है, का चरम मान लाग्रांज समीकरण को संतुष्ट करता है

= 0 और = 0

व्याख्या:

J(y) = , y(0) = e2  तब

= 0

⇒ 2y' + 2y⁵ = 0

⇒ y' + y⁵ = 0

समाकलन करने पर प्राप्त होता है -

अब, y(0) = e² ⇒ -1/4e⁸ = c

इसलिए,  ⇒

(3) सही है। 

संप्रत्यय:

फलनक I[y(x)] = , y(x₂) = y₂ और y(x1) निर्धारित नहीं है, के लिए ऑयलर समीकरण है

= 0

और प्राकृतिक परिसीमा प्रतिबंध है

= 0

व्याख्या:

यहाँ F(x, y, y') =

ऑयलर समीकरण का उपयोग करने पर,

-2y - (2y') = 0

⇒ y + y'' = 0

⇒ y'' + y = 0

व्यापक हल है

y = a cos x + b sin x....(i)

⇒ y' = - a sin x + b cos x ....(ii)

प्राकृतिक परिसीमा प्रतिबंध है

= 0

⇒ y' = 0

(ii) में रखने पर. 

b = 0

y(1) = 1 और b = 0 को (i) में रखने पर,

a cos 1 = 1 ⇒ a =

इसलिए, चरम मान है

y =

विकल्प (2) सही है।

संप्रत्यय:

यदि I(Y), फलनक J[y] = का एक चरम मान है जहाँ y(a) = c, y(b) = d, तब y(x) ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है

= 0

व्याख्या:

और J : X → ℝ को परिभाषित करें

यहाँ f =

ऑयलर-लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है

= 0

⇒ 0 - (- 2u') = 0

⇒ (u') = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u'' - u'(-2u'u'') = 0

u''(1 + 2u'²) = 0

u'' = 0

u'' = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u = ax + b

दिया गया है, u(0) = u(1) = 0 जिसका अर्थ है कि a = b = 0

इसलिए, u = 0

अतः J अपना निम्नक प्राप्त नहीं करता है। 

अतः विकल्प (1) सही है।