निम्न विचरण समस्या (P) पर विचार करें

J(y(x)) = \(\rm\displaystyle\int_0^1\)[(y')² − y|y| y' + xy] dx, y(0) = 0, y(1) = 0

निम्न वक्तव्यों में से कौन-सा सही हैं?

संकल्पना:

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण: फलनक J[y] = \(\int_a^b\)f(x, y, y')dx का चरम \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 को संतुष्ट करता है।

व्याख्या:

J(y(x)) = \(\rm\displaystyle\int_0^1\)[(y')2 − y|y| y' + xy] dx, y(0) = 0, y(1) = 0

यदि y > 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 − y²y' + xy

इसलिए \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

-2yy' + x - \(\frac{d}{dx}\)(2y' - y²) = 0

- 2yy' + x - 2y'' +2yy' = 0

y'' = x/2....(i)

यदि y < 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 + y2y' + xy

इसलिए \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

2yy' + x - \(\frac{d}{dx}\)(2y' + y2) = 0

2yy' + x - 2y'' - 2yy' = 0

y'' = x/2....(ii)

इसलिए दोनों स्थितियों में हम प्राप्त करते हैं

y'' = x/2

समाकलन करने पर

y' = \(\frac{x^2}{4}+c_1\)

फिर से समाकलन करने पर

y = \(\frac{x^3}{12}+c_1x+c_2\)

y(0) = 0, y(1) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

c₂ = 0 और 0 = \(\frac{1}{12}\) + c₁ ⇒ c1 = - \(\frac{1}{12}\)

इसलिए हल निम्न है

y = \(\frac{x^3}{12}-\frac{x}{12}\)

विकल्प (3) सही है।