Euler-lagrange Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Euler-lagrange Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

यदि I(Y), फलनक J[y] = \(\int_a^bf(x, y, y')dx\) का एक चरम मान है जहाँ y(a) = c, y(b) = d, तब y(x) ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है

\({\partial f\over \partial y}-{d\over dx}({\partial f\over \partial y'})\) = 0

व्याख्या:

\(X=\left\{u \in C^1[0,1] \mid u(0)=u(1)=0\right\}\) और J : X → ℝ को परिभाषित करें

\(J(u)=\int_0^1 e^{-u^{\prime}(x)^2} d x\)

यहाँ f = \(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)

ऑयलर-लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है

\({\partial f\over \partial u}-{d\over dx}({\partial f\over \partial u'})\) = 0

⇒ 0 - \(d\over dx\)(- 2u'\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)) = 0

⇒ \(d\over dx\)(u'\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)) = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u''\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\) - u'\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)(-2u'u'') = 0

u''\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)(1 + 2u'²) = 0

u''\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\) = 0

u'' = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u = ax + b

दिया गया है, u(0) = u(1) = 0 जिसका अर्थ है कि a = b = 0

इसलिए, u = 0

अतः J अपना निम्नक प्राप्त नहीं करता है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

अवधारणा:

मान लें \(J[y]=\displaystyle\int_a^bf(x, y, y')d x\) , y(a) = y ₁ , y(b) = y ₂ फलनक का शीर्ष है तो J[y] निम्न को संतुष्ट करता है

\({\partial f\over \partial y}-\frac d{dx}({\partial f\over \partial y'})\) = 0 जिसे यूलर-लैग्रेंज समीकरण कहा जाता है

स्पष्टीकरण:

\(J[y]=\displaystyle\int_1^2\left(1+x^3 y^{\prime}\right) y^{\prime} d x\)

यहाँ f = (1 + x ³ y')y'

यूलर-लाग्रेंज समीकरण का उपयोग करने पर

\({\partial f\over \partial y}-\frac d{dx}({\partial f\over \partial y'})\) = 0

⇒ 0 - \(\frac d{dx}\) (1 + 2x ³ y') = 0

⇒ \(\frac d{dx}\) (1 + 2x 3 y') = 0

⇒ 1 + 2x 3 y' = c (दोनों पक्षों का समाकलन करने पर)

⇒ x3y' = \(\frac12\)(c - 1) = c1 (मान लीजिए)

⇒ y' = \(c_1\over x^3\)

पुनः समाकलन करने पर,

⇒ y = - \(c_1\over 2x^2\) + c ₂

बिन्दुओं (1, 2) और (2, 8) को जोड़ने वाले वक्र

(1, 2)⇒ 2 = - \({c_1\over 2}+c_2\) ......(i)

(2, 8) ⇒ 8 = - \({c_1\over 8}+c_2\) .....(ii)

(i) में से (ii) घटाने पर

6 = \(-{c_1\over 8}+{c_2\over 2}\)

⇒ 6 = \({3c_1\over 8}\) ⇒ c1 = 16

(i) में c1 का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ 2 = - 8 + c2 ⇒ c2 = 10

अतः y = - \(8\over x^2\) + 10

(√2, 6) और \(\left(\sqrt{3}, \frac{22}{3}\right)\) वक्र को संतुष्ट करते हैं।

अतः विकल्प (2) और (3) सत्य है। 

अवधारणा:

एक विशिष्ट सममित समस्या I(y) = \(\int_a^bF(x, y, y')dx\) का चरम मान ज्ञात करना है, जहाँ y(a) = y₁, y(b) = y₂, J(y) = \(\int_a^bG(x, y, y')dx=L\) है, तो चरम मान यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करते हैं। 

\({\partial H\over \partial y}-{d\over dx}({\partial H\over \partial y'})\) = 0

जहाँ, H = F + λH

व्याख्या:

\(\displaystyle J[y]=\int_0^1\left(y^{\prime}\right)^2 d x\), y(0) = 1, y(1) = 6,\(\displaystyle \int_0^1 y d x=3\)

मान लीजिए H = \(y'^2+λ y\)

माना 

\({\partial H\over \partial y}-{d\over dx}({\partial H\over \partial y'})\) = 0

⇒ λ - \({d\over dx}(2y')\) = 0

⇒ 2y'' = λ

⇒ y'' = λ/2

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है,

y' = \({\lambda \over2}\)x + a

पुनः समाकलन करने पर,

⇒ y = \({\lambda x^2\over 4}\) + ax + b

y(0) = 1, y(1) = 6

⇒ b = 1

और

6 = λ/4 + a + 1

⇒ 5 = λ/4 + a

⇒ λ + 4a = 20.....(i)

इसलिए, हमें y = \({\lambda x^2\over 4}\) + ax + 1 प्राप्त होता है,

साथ ही,\(\displaystyle \int_0^1 y d x=3\)

⇒ \(\displaystyle \int_0^1 \left({\lambda x^2\over 4}+ax+1\right)d x\) = 3

⇒ \(\left[{\lambda x^3\over 12}+{ax^2\over 2}+x\right]_0^1 \) = 3

⇒ \({\lambda\over 12}+{a\over 2}+1\) = 3

⇒ \({\lambda\over 12}+{a\over 2}\) = 2

⇒ λ + 6a = 24....(ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) को घटाने पर हमें प्राप्त होता है,

2a = 4 ⇒ a = 2

समीकरण (i) में a = 2 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है,

λ + 8 = 20 ⇒ λ = 12

इसलिए चरम मान है,

y = 3x² + 2x + 1

इसलिए फलन का केवल एक चरम मान है।

इसलिए चरम मानों के समुच्चय का गणनांक 1 है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण: फलनक J[y] = \(\int_a^b\)f(x, y, y')dx का चरम \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 को संतुष्ट करता है।

व्याख्या:

J(y(x)) = \(\rm\displaystyle\int_0^1\)[(y')2 − y|y| y' + xy] dx, y(0) = 0, y(1) = 0

यदि y > 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 − y²y' + xy

इसलिए \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

-2yy' + x - \(\frac{d}{dx}\)(2y' - y²) = 0

- 2yy' + x - 2y'' +2yy' = 0

y'' = x/2....(i)

यदि y < 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 + y2y' + xy

इसलिए \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

2yy' + x - \(\frac{d}{dx}\)(2y' + y2) = 0

2yy' + x - 2y'' - 2yy' = 0

y'' = x/2....(ii)

इसलिए दोनों स्थितियों में हम प्राप्त करते हैं

y'' = x/2

समाकलन करने पर

y' = \(\frac{x^2}{4}+c_1\)

फिर से समाकलन करने पर

y = \(\frac{x^3}{12}+c_1x+c_2\)

y(0) = 0, y(1) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

c₂ = 0 और 0 = \(\frac{1}{12}\) + c₁ ⇒ c1 = - \(\frac{1}{12}\)

इसलिए हल निम्न है

y = \(\frac{x^3}{12}-\frac{x}{12}\)

विकल्प (3) सही है।

अवधारणा: यदि \(J(y)=\int_0^1[F(x,y,y')] d x,\) है, तो इसका चरम मान है:

\(\dfrac{\partial F}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}(\dfrac{\partial F}{\partial y'})=0\)

व्याख्या:

\(J(y)=\int_0^1\left[2\left(y^{\prime}\right)^2+x y\right] d x,\) y(0)=0, y(1) = 1, \(y\in C^2[0,1]\)

प्रश्न के अनुसार

\(F(x,y,y')=2(y')^2+xy\)

\(\dfrac{\partial F}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}(\dfrac{\partial F}{\partial y'})\) = 0

\(\dfrac{\partial (2(y')^2+xy)}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}(\dfrac{\partial (2(y')^2+xy)}{\partial y'})\) = 0

⇒ \( x-\dfrac{d}{dx}(4y')\) = 0

⇒ x - 4y'' = 0

\(y''=\dfrac{x}{4}\)

x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(y'=\dfrac{x^2}{8}+c\)

पुनः x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(y(x)=\dfrac{x^3}{24}+cx+d\)

जहाँ, c और d समाकलन के अचर हैं

अब, \(y(0)=d=0\)

और \(y(1)=\dfrac{1}{24}+c=1⇒c=\dfrac{23}{24}\)

इसलिए हमारा चरम मान होगा \(y(x)=\dfrac{x^3}{24}+\dfrac{23x}{24}\)

इसलिए विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

यूलर समीकरण:

आइए कार्यात्मक की जांच करें

\(I\left( y \right) = \int_{ x1}^x {\left( {{F(x , y,y'}} \right))} \,dx\)

एक चरम मान के लिए, अनुमेय वक्रों के सीमा बिंदु स्थिर हैं y( x1 ) = y1 और y( x2 ) = y2

तब \(\frac{\partial F}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)( \(\frac{\partial F}{\partial y'}\)) = 0 को यूलर समीकरण कहा जाता है

गणना:

दिया गया है: F( x , y , y' ) = y'2 -2xy

अब यूलर के समीकरण से

\(\frac{\partial F}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial F}{\partial y'}\)) = 0

-2x - 2y'' = 0

y'' = - x

अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

y' = \(\frac{-x^2}{2}\) + A

अब फिर से, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

y( x) = \(\frac{-x^3}{6}\)+ Ax + B . . . . . . (1)

जहाँ, A और B स्थिरांक हैं।

सीमांत प्रतिबंध का उपयोग करते हुए y(1) = 1 और y( -1) = -1

अब, समीकरण 1 से, हमें प्राप्त होता है

y(1) = \(\frac{-1}{6}\)+ A + B

1 = \(\frac{-1}{6}\)+ A +B

A + B = \(\frac{7}{6}\) . . . . . . (2)

y( -1) = \(\frac{1}{6}\) - A + B

-1 = \(\frac{1}{6}\) - A + B

- A + B = \(\frac{-7}{6}\) . . . . . . (3)

समीकरण 2 और 3 को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

B = 0

समीकरण (2) में B का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

A = \(\frac{7}{6}\)

अब समीकरण (1) से,

y(x) = \(\frac{-x^3}{6}\)+\(\frac{7}{6}\)x

विकल्प (3) सही है

अवधारणा:

एक विशिष्ट सममित समस्या I(y) = \(\int_a^bF(x, y, y')dx\) का चरम मान ज्ञात करना है, जहाँ y(a) = y₁, y(b) = y₂, J(y) = \(\int_a^bG(x, y, y')dx=L\) है, तो चरम मान यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करते हैं। 

\({\partial H\over \partial y}-{d\over dx}({\partial H\over \partial y'})\) = 0

जहाँ, H = F + λH

व्याख्या:

\(\displaystyle J[y]=\int_0^1\left(y^{\prime}\right)^2 d x\), y(0) = 1, y(1) = 6,\(\displaystyle \int_0^1 y d x=3\)

मान लीजिए H = \(y'^2+λ y\)

माना 

\({\partial H\over \partial y}-{d\over dx}({\partial H\over \partial y'})\) = 0

⇒ λ - \({d\over dx}(2y')\) = 0

⇒ 2y'' = λ

⇒ y'' = λ/2

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है,

y' = \({\lambda \over2}\)x + a

पुनः समाकलन करने पर,

⇒ y = \({\lambda x^2\over 4}\) + ax + b

y(0) = 1, y(1) = 6

⇒ b = 1

और

6 = λ/4 + a + 1

⇒ 5 = λ/4 + a

⇒ λ + 4a = 20.....(i)

इसलिए, हमें y = \({\lambda x^2\over 4}\) + ax + 1 प्राप्त होता है,

साथ ही,\(\displaystyle \int_0^1 y d x=3\)

⇒ \(\displaystyle \int_0^1 \left({\lambda x^2\over 4}+ax+1\right)d x\) = 3

⇒ \(\left[{\lambda x^3\over 12}+{ax^2\over 2}+x\right]_0^1 \) = 3

⇒ \({\lambda\over 12}+{a\over 2}+1\) = 3

⇒ \({\lambda\over 12}+{a\over 2}\) = 2

⇒ λ + 6a = 24....(ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) को घटाने पर हमें प्राप्त होता है,

2a = 4 ⇒ a = 2

समीकरण (i) में a = 2 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है,

λ + 8 = 20 ⇒ λ = 12

इसलिए चरम मान है,

y = 3x² + 2x + 1

इसलिए फलन का केवल एक चरम मान है।

इसलिए चरम मानों के समुच्चय का गणनांक 1 है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संप्रत्यय:

यदि I(Y), फलनक J[y] = \(\int_a^bf(x, y, y')dx\) का एक चरम मान है जहाँ y(a) = c, y(b) = d, तब y(x) ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है

\({\partial f\over \partial y}-{d\over dx}({\partial f\over \partial y'})\) = 0

व्याख्या:

\(X=\left\{u \in C^1[0,1] \mid u(0)=u(1)=0\right\}\) और J : X → ℝ को परिभाषित करें

\(J(u)=\int_0^1 e^{-u^{\prime}(x)^2} d x\)

यहाँ f = \(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)

ऑयलर-लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है

\({\partial f\over \partial u}-{d\over dx}({\partial f\over \partial u'})\) = 0

⇒ 0 - \(d\over dx\)(- 2u'\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)) = 0

⇒ \(d\over dx\)(u'\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)) = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u''\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\) - u'\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)(-2u'u'') = 0

u''\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\)(1 + 2u'²) = 0

u''\(e^{-u^{\prime}(x)^2}\) = 0

u'' = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u = ax + b

दिया गया है, u(0) = u(1) = 0 जिसका अर्थ है कि a = b = 0

इसलिए, u = 0

अतः J अपना निम्नक प्राप्त नहीं करता है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

अवधारणा:

• फलन \(J(y)=∫_a^b F\left(x, y, y^{\prime}\right) d x\) का चरम मान, y(a) = y1, y(b) = y2, ऑयलर समीकरण को संतुष्ट करेगा

\(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac d{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'})\) = 0

• यदि F, x से मुक्त है तो ऑयलर समीकरण हो जाता है: F - y'\(\frac{\partial F}{\partial y'}\) = C

व्याख्या:

\(I(y)=∫_0^1 y^2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 d x\), y(0) = 0, y(1) = 1

F(x, y, y') = \(y^2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) = \(y^2y'^2\), x से मुक्त है

तब ऑयलर समीकरण से, हमें मिलता है

\(F-y'(\frac{\partial F}{\partial y'})\) = C

⇒ \(y^2y'^2-y'(2y^2y')\) = C

⇒ \(y^2y'^2\) = - C

⇒ \(y^2y'^2\) = A (A = -C)

⇒ yy' = √A = B(मान लीजिए)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

∫yy' = ∫Bdx + D

⇒ \(\frac{y^2}{2}\) = Bx + D

दिया गया है, y(0) = 0, y(1) = 1

y(0) = 0 ⇒ D = 0

y(1) = 1 ⇒ B = 1/2

इसलिए हल है

\(\frac{y^2}{2}=\frac x2\) ⇒ \(y=\sqrt x\) जो चरम मान फलन है।

दिया गया है y = ϕ(x) चरम मान फलन है

इसलिए \(\phi(x)=\sqrt x\)

इसलिए \(\phi(\frac14)=\sqrt {\frac14}\) = 1/2

(1) सही है। 

संकल्पना:

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण: फलनक J[y] = \(\int_a^b\)f(x, y, y')dx का चरम \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 को संतुष्ट करता है।

व्याख्या:

J(y(x)) = \(\rm\displaystyle\int_0^1\)[(y')2 − y|y| y' + xy] dx, y(0) = 0, y(1) = 0

यदि y > 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 − y²y' + xy

इसलिए \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

-2yy' + x - \(\frac{d}{dx}\)(2y' - y²) = 0

- 2yy' + x - 2y'' +2yy' = 0

y'' = x/2....(i)

यदि y < 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 + y2y' + xy

इसलिए \(\frac{\partial f}{\partial y}\) - \(\frac{d}{dx}\)(\(\frac{\partial f}{\partial y'}\)) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

2yy' + x - \(\frac{d}{dx}\)(2y' + y2) = 0

2yy' + x - 2y'' - 2yy' = 0

y'' = x/2....(ii)

इसलिए दोनों स्थितियों में हम प्राप्त करते हैं

y'' = x/2

समाकलन करने पर

y' = \(\frac{x^2}{4}+c_1\)

फिर से समाकलन करने पर

y = \(\frac{x^3}{12}+c_1x+c_2\)

y(0) = 0, y(1) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

c₂ = 0 और 0 = \(\frac{1}{12}\) + c₁ ⇒ c1 = - \(\frac{1}{12}\)

इसलिए हल निम्न है

y = \(\frac{x^3}{12}-\frac{x}{12}\)

विकल्प (3) सही है।