Classification of Second Order PDE MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Classification of Second Order PDE - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 7, 2025

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Latest Classification of Second Order PDE MCQ Objective Questions

Classification of Second Order PDE Question 1:

इस PDE पर विचार करें

P(x, y)\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) + \(e^{x^2} e^{y^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\) + Q(x,y) \(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\) + \(e^{2 x} \frac{\partial u}{\partial x}\) + \(e^y \frac{\partial u}{\partial y}\) = 0

जहां P तथा Q दो चरों तथा वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं। निम्न में से कौन - सा सत्य है? 

  1. ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ2: x2 + y2 > R} में दीर्घवृत्तीय है
  2. ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ:x+ y> R} में अतिपरवलयिक है
  3. ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ2: x+ y2 > R} में परवलयिक है
  4. ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ2: x+ y2 < R} में अतिपरवलयिक है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ:x+ y> R} में अतिपरवलयिक है

Classification of Second Order PDE Question 1 Detailed Solution

Classification of Second Order PDE Question 2:

PDE \(\rm \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) = x, है

  1. केवल एक विशेष अभिन्न.
  2. एक विशेष समाकलन जो x और y में रैखिक है।
  3. एक विशेष समाकलन जो x और y में एक द्विघात बहुपद है।
  4. एक से अधिक विशेष अभिन्न.

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : एक से अधिक विशेष अभिन्न.

Classification of Second Order PDE Question 2 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

दिया \(\rm \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) = x को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(D2 + 2DD' + D'2)u = x

तो PI द्वारा दिया जाता है

PI = \(\frac{1}{D^2+2DD'+D'^2}x\)

= \(\frac{1}{(D+D')^2}x\)

= \(\frac{1}{D^2(1+\frac {D'}D)^2}x\)

= \(\frac{1}{D^2}(1+\frac {D'}D)^{-2}x\)

\(\frac{1}{D^2}(1-\frac {2D'}{D}-...)^{-2}x\)

= \(\frac{1}{D^2}x\) = \(\frac{x^3}{6}\)

इसके अलावा, PI को इस प्रकार दिया जा सकता है

PI = \(\frac{1}{D^2+2DD'+D'^2}x\)

= \(\frac{1}{(D+D')^2}x\)

= \(\frac{1}{D'^2(1+\frac D{D'})^2}x\)

= \(\frac{1}{D'^2}(1+\frac D{D'})^{-2}x\)

\(\frac{1}{D'^2}(1-\frac {2D}{D'}-...)^{-2}x\)

= \(\frac{1}{D^2}(x-2y)\)

= \(\frac{xy^2}{2}-\frac{y^3}{3}\) = \(\frac{x^3}{6}\)

तो हमें दो विशेष अभिन्न अंग मिल रहे हैं

अतः (4) सही है

Classification of Second Order PDE Question 3:

द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल समीकरण uxx + xuyy= 0, ______ है।

  1. x > 0 के लिए दीर्घवृत्तीय
  2. x > 0 के लिए अतिपरवलिक
  3. x < 0 के लिए दीर्घवृत्तीय
  4. x = 0 के लिए अतिपरवलिक

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x > 0 के लिए दीर्घवृत्तीय

Classification of Second Order PDE Question 3 Detailed Solution

अवधारणा:

द्वितीय- कोटि के गैर-सदृश आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का सामान्य रूप निम्नलिखित है:

A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + f(x, y, uxuy) = F(x, y)

उपरोक्त आंशिक अवकल समीकरण (PDE) को कहा जाता है:

(i) दीर्घवृत्तीय यदि B2 - 4AC < 0 है।

(ii) परवलयिक यदि B2 - 4AC = 0 है।

(iii) अतिपरवलिक यदि B2 - 4AC > 0 है।

व्याख्या:

 दिया गया PDE निम्नलिखित है:

 uxx + xuyy= 0 

सामान्य रूप से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:

A = 1, B = 0, C = x

इसलिए, B2 - 4AC = 0 - 4 × 1 × x = - 4x

इसलिए, x > 0 के लिए, B2 - 4AC < 0 है, इसलिए PDE दीर्घवृत्तीय है।

x = 0 के लिए, B2 - 4AC = 0 है, इसलिए PDE परवलयिक है।

विकल्प (1) सही है।

Classification of Second Order PDE Question 4:

निम्न आंशिक अवकल समीकरणों पर विचार करते हैं,

(i) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+(1-\operatorname{sgn}(y)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

(ii) \(y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?

  1. समीकरण (i) परवलयिक है जब y > 0 दीर्घवृत्तीय है जब y < 0
  2. समीकरण (i) अतिपरवलयिक है जब y > 0 दीर्घवृत्तीय है जब y < 0
  3. I तथा III चतुर्थांशों में समीकरण (ii) दीर्घवृत्तीय तथा II तथा IV चतुर्थांशों में अतिपरवलीय है
  4. I तथा III चतुर्थांशों में समीकरण (ii) अतिपरवलीय तथा II तथा IV चतुर्थांशों में दीर्घवृत्तीय है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Classification of Second Order PDE Question 4 Detailed Solution

व्याख्या:

यहाँ, (i) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+(1-\operatorname{sgn}(y)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

इसलिए A = 1, B = 2, C = 1 - sgn(y)

\(∵ \operatorname{sgn}(y)=\left\{\begin{array}{c:c} 1: y>0 \\ 0 ; y=0 \\ -1: y<0 \end{array} \Rightarrow\right.\) \(1-\operatorname{sgn}(y)= \begin{cases}0 & : y>0 \\ 1 & : y=0 \\ 2 & : y<0\end{cases}\)

इसलिए

B2 - 4AC = \(4- \begin{cases}0, & y>0 \\ 4, & y<0 \\ 8, & y<0\end{cases}\)

= \( \begin{cases}4, & \text { if } y>0 \Rightarrow \text { Hyperbolic } \\ 0, & \text { if } y=0 \Rightarrow \text { parabolic } \\ -4, & \text { if } y<0 \Rightarrow \text { Elliptic }\end{cases}\)

विकल्प (1) गलत है, विकल्प (2) सही है।

 \(y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\) (ii) के लिए,

A = y, B = 0, C = x

∴ B2 - 4AC = 0 - 4yx = -4xy

B2 - 4AC विभिन्न x और y के लिए विभिन्न चतुर्थांश में होगा
F1 Vinanti Teaching 26.04.23 D4
चतुर्थांश I और III में, x और y समान चिह्न के हैं ⇒ -4xy < 0 इसलिए PDE I और III में दीर्घवृत्ताकार है।

जबकि चतुर्थांश II और IV में, x और y विपरीत चिह्न के हैं ⇒ -4xy > 0

⇒ B2 - 4AC > 0 इसलिए PDE II और IV में अतिपरवलयिक है।

विकल्प (3) सही है विकल्प (4) गलत है।

Classification of Second Order PDE Question 5:

निम्नलिखित में से कौन-सा आंशिक अवकलन समीकरण सभी \(x, y\in \mathbb{R}\) के लिए परवलयिक नहीं है?

  1. \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\)
  2. \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)
  3. \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)
  4. \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 0\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\)

Classification of Second Order PDE Question 5 Detailed Solution

अवधारणा:

द्वितीय कोटि के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप दिया गया है:

\(A\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {X^2}}} + B\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial X\partial Y}} + C\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {Y^2}}} + f\left( {X,Y,Z\frac{{\partial U}}{{\partial X}},\frac{{\partial U}}{{\partial Y}}\;} \right) = 0\)

उपरोक्त समीकरण को निम्नलिखित के आधार पर परवलयिक, दीर्घवृत्ताकार और अतिपरवलयिक कहा जाता है:

  • परवलयिक = B 2 – 4AC = 0
  • दीर्घवृत्तीय = B 2 – 4AC < 0
  • अतिपरवलयिक = B 2 – 4AC > 0

गणना:

अब, विचार करते हैं:

विकल्प 1: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\)

x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + 1 = 0\)

सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 0, B = 1, C = 0

B 2 – 4AC = 1 > 0 ⇒ अतिपरवलयिक

विकल्प 2: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)

x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)

सामान्य समीकरण से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1

∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक

विकल्प 3: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)

x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)

सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = 2, C = 1

∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक

विकल्प 4:\({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 0\)

x= y =1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 0\)

सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1

∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक

∴ \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\) सभी \(x, y\in \mathbb{R}\) के लिए परवलयिक नहीं है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Top Classification of Second Order PDE MCQ Objective Questions

Classification of Second Order PDE Question 6:

निम्न आंशिक अवकल समीकरणों पर विचार करते हैं,

(i) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+(1-\operatorname{sgn}(y)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

(ii) \(y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?

  1. समीकरण (i) परवलयिक है जब y > 0 दीर्घवृत्तीय है जब y < 0
  2. समीकरण (i) अतिपरवलयिक है जब y > 0 दीर्घवृत्तीय है जब y < 0
  3. I तथा III चतुर्थांशों में समीकरण (ii) दीर्घवृत्तीय तथा II तथा IV चतुर्थांशों में अतिपरवलीय है
  4. I तथा III चतुर्थांशों में समीकरण (ii) अतिपरवलीय तथा II तथा IV चतुर्थांशों में दीर्घवृत्तीय है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Classification of Second Order PDE Question 6 Detailed Solution

व्याख्या:

यहाँ, (i) \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+(1-\operatorname{sgn}(y)) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

इसलिए A = 1, B = 2, C = 1 - sgn(y)

\(∵ \operatorname{sgn}(y)=\left\{\begin{array}{c:c} 1: y>0 \\ 0 ; y=0 \\ -1: y<0 \end{array} \Rightarrow\right.\) \(1-\operatorname{sgn}(y)= \begin{cases}0 & : y>0 \\ 1 & : y=0 \\ 2 & : y<0\end{cases}\)

इसलिए

B2 - 4AC = \(4- \begin{cases}0, & y>0 \\ 4, & y<0 \\ 8, & y<0\end{cases}\)

= \( \begin{cases}4, & \text { if } y>0 \Rightarrow \text { Hyperbolic } \\ 0, & \text { if } y=0 \Rightarrow \text { parabolic } \\ -4, & \text { if } y<0 \Rightarrow \text { Elliptic }\end{cases}\)

विकल्प (1) गलत है, विकल्प (2) सही है।

 \(y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+x \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\) (ii) के लिए,

A = y, B = 0, C = x

∴ B2 - 4AC = 0 - 4yx = -4xy

B2 - 4AC विभिन्न x और y के लिए विभिन्न चतुर्थांश में होगा
F1 Vinanti Teaching 26.04.23 D4
चतुर्थांश I और III में, x और y समान चिह्न के हैं ⇒ -4xy < 0 इसलिए PDE I और III में दीर्घवृत्ताकार है।

जबकि चतुर्थांश II और IV में, x और y विपरीत चिह्न के हैं ⇒ -4xy > 0

⇒ B2 - 4AC > 0 इसलिए PDE II और IV में अतिपरवलयिक है।

विकल्प (3) सही है विकल्प (4) गलत है।

Classification of Second Order PDE Question 7:

इस PDE पर विचार करें

P(x, y)\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) + \(e^{x^2} e^{y^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\) + Q(x,y) \(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\) + \(e^{2 x} \frac{\partial u}{\partial x}\) + \(e^y \frac{\partial u}{\partial y}\) = 0

जहां P तथा Q दो चरों तथा वास्तविक गुणांक वाले बहुपद हैं। निम्न में से कौन - सा सत्य है? 

  1. ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ2: x2 + y2 > R} में दीर्घवृत्तीय है
  2. ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ:x+ y> R} में अतिपरवलयिक है
  3. ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ2: x+ y2 > R} में परवलयिक है
  4. ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ2: x+ y2 < R} में अतिपरवलयिक है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : ऐसा R > 0 है कि PDE {(x, y) ∈ ℝ:x+ y> R} में अतिपरवलयिक है

Classification of Second Order PDE Question 7 Detailed Solution

Classification of Second Order PDE Question 8:

PDE \(\rm \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) = x, है

  1. केवल एक विशेष अभिन्न.
  2. एक विशेष समाकलन जो x और y में रैखिक है।
  3. एक विशेष समाकलन जो x और y में एक द्विघात बहुपद है।
  4. एक से अधिक विशेष अभिन्न.

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : एक से अधिक विशेष अभिन्न.

Classification of Second Order PDE Question 8 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

दिया \(\rm \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\) = x को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(D2 + 2DD' + D'2)u = x

तो PI द्वारा दिया जाता है

PI = \(\frac{1}{D^2+2DD'+D'^2}x\)

= \(\frac{1}{(D+D')^2}x\)

= \(\frac{1}{D^2(1+\frac {D'}D)^2}x\)

= \(\frac{1}{D^2}(1+\frac {D'}D)^{-2}x\)

\(\frac{1}{D^2}(1-\frac {2D'}{D}-...)^{-2}x\)

= \(\frac{1}{D^2}x\) = \(\frac{x^3}{6}\)

इसके अलावा, PI को इस प्रकार दिया जा सकता है

PI = \(\frac{1}{D^2+2DD'+D'^2}x\)

= \(\frac{1}{(D+D')^2}x\)

= \(\frac{1}{D'^2(1+\frac D{D'})^2}x\)

= \(\frac{1}{D'^2}(1+\frac D{D'})^{-2}x\)

\(\frac{1}{D'^2}(1-\frac {2D}{D'}-...)^{-2}x\)

= \(\frac{1}{D^2}(x-2y)\)

= \(\frac{xy^2}{2}-\frac{y^3}{3}\) = \(\frac{x^3}{6}\)

तो हमें दो विशेष अभिन्न अंग मिल रहे हैं

अतः (4) सही है

Classification of Second Order PDE Question 9:

निम्नलिखित में से कौन-सा आंशिक अवकलन समीकरण सभी \(x, y\in \mathbb{R}\) के लिए परवलयिक नहीं है?

  1. \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\)
  2. \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)
  3. \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)
  4. \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 0\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\)

Classification of Second Order PDE Question 9 Detailed Solution

अवधारणा:

द्वितीय कोटि के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप दिया गया है:

\(A\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {X^2}}} + B\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial X\partial Y}} + C\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {Y^2}}} + f\left( {X,Y,Z\frac{{\partial U}}{{\partial X}},\frac{{\partial U}}{{\partial Y}}\;} \right) = 0\)

उपरोक्त समीकरण को निम्नलिखित के आधार पर परवलयिक, दीर्घवृत्ताकार और अतिपरवलयिक कहा जाता है:

  • परवलयिक = B 2 – 4AC = 0
  • दीर्घवृत्तीय = B 2 – 4AC < 0
  • अतिपरवलयिक = B 2 – 4AC > 0

गणना:

अब, विचार करते हैं:

विकल्प 1: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\)

x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + 1 = 0\)

सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 0, B = 1, C = 0

B 2 – 4AC = 1 > 0 ⇒ अतिपरवलयिक

विकल्प 2: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)

x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)

सामान्य समीकरण से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1

∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक

विकल्प 3: \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)

x= y =1 रखने पर, हमें \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = 0\)

सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = 2, C = 1

∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक

विकल्प 4:\({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2xy\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + {y^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 0\)

x= y =1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है \(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 0\)

सामान्य समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है, A = 1, B = - 2, C = 1

∴ B 2 – 4AC = 0 ⇒ परवलयिक

∴ \({x^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}} - 2xy\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + {y^2} = 0\) सभी \(x, y\in \mathbb{R}\) के लिए परवलयिक नहीं है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Classification of Second Order PDE Question 10:

द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल समीकरण uxx + xuyy= 0, ______ है।

  1. x > 0 के लिए दीर्घवृत्तीय
  2. x > 0 के लिए अतिपरवलिक
  3. x < 0 के लिए दीर्घवृत्तीय
  4. x = 0 के लिए अतिपरवलिक

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x > 0 के लिए दीर्घवृत्तीय

Classification of Second Order PDE Question 10 Detailed Solution

अवधारणा:

द्वितीय- कोटि के गैर-सदृश आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का सामान्य रूप निम्नलिखित है:

A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + f(x, y, uxuy) = F(x, y)

उपरोक्त आंशिक अवकल समीकरण (PDE) को कहा जाता है:

(i) दीर्घवृत्तीय यदि B2 - 4AC < 0 है।

(ii) परवलयिक यदि B2 - 4AC = 0 है।

(iii) अतिपरवलिक यदि B2 - 4AC > 0 है।

व्याख्या:

 दिया गया PDE निम्नलिखित है:

 uxx + xuyy= 0 

सामान्य रूप से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:

A = 1, B = 0, C = x

इसलिए, B2 - 4AC = 0 - 4 × 1 × x = - 4x

इसलिए, x > 0 के लिए, B2 - 4AC < 0 है, इसलिए PDE दीर्घवृत्तीय है।

x = 0 के लिए, B2 - 4AC = 0 है, इसलिए PDE परवलयिक है।

विकल्प (1) सही है।

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