Damped Free Vibration MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Damped Free Vibration - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

अल्पावयवित मुक्त कंपनों के लिए वृत्ताकार आवृत्ति (रेडियन/सेकंड में प्राकृतिक आवृत्ति) निम्न द्वारा दी जाती है:

\( \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \)

जहाँ,

• \( k \) = स्प्रिंग की कठोरता (N/m में)
• \( m \) = द्रव्यमान (kg में)

दिया गया है:

द्रव्यमान, \( m = 200~\text{kg} \)

कठोरता, \( k = 80~\text{N/mm} = 80 \times 10^3~\text{N/m} \)

परिकलन:

\( \omega_n = \sqrt{\frac{80 \times 10^3}{200}} = \sqrt{400} = 20~\text{rad/s} \)

व्याख्या:

अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए डंकरली का अनुभवजन्य सूत्र:

• डंकरली का अनुभवजन्य सूत्र कई बिंदु भार और समान रूप से वितरित भार (UDL) ले जाने वाले शाफ्ट के अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक महत्वपूर्ण विधि है। यह सूत्र यांत्रिक और संरचनात्मक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में विशेष रूप से उपयोगी है जहाँ शाफ्ट की कंपन विशेषताओं की भविष्यवाणी स्थिरता सुनिश्चित करने और अनुनाद को रोकने के लिए आवश्यक है।
• किसी सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति वह आवृत्ति होती है जिस पर वह किसी भी ड्राइविंग या डंपिंग बल की अनुपस्थिति में दोलन करने की प्रवृत्ति रखता है। डंकरली का सूत्र व्यक्तिगत घटकों के योगदानों को अलग से ध्यान में रखकर एक जटिल प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति का अनुमान लगाने के लिए एक सरलीकृत दृष्टिकोण प्रदान करता है।

दिया गया है:

मान लीजिये \( f_n \) = संपूर्ण प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति

\( f_{n1}, f_{n2}, f_{n3}, \dots, f_{ns} \) = व्यक्तिगत बिंदु भार और UDL के कारण प्राकृतिक आवृत्तियाँ

गणना:

डंकरली के अनुभवजन्य सूत्र के अनुसार, प्राकृतिक आवृत्ति इस प्रकार दी गई है:

\( \frac{1}{f_n^2} = \frac{1}{f_{n1}^2} + \frac{1}{f_{n2}^2} + \frac{1}{f_{n3}^2} + \cdots + \frac{1}{f_{ns}^2} \)

संप्रत्यय:

टॉर्सनल कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति की गणना शाफ्ट की कठोरता और डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का उपयोग करके की जाती है।

दिया गया है:

शाफ्ट का व्यास, d = 0.1 m

शाफ्ट की लंबाई, L = 1.0 m

डिस्क का द्रव्यमान, m = 314 kg

घूर्णन त्रिज्या, k = 0.5 m

दृढ़ता मापांक, G = 80 x 10⁹ N/m²

गणना:

डिस्क का जड़त्व आघूर्ण, \( I = m k^2 = 314 \times 0.5^2 = 78.5 \, \text{kg·m}^2 \)

शाफ्ट का ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण,

\( J = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi (0.1)^4}{32} \approx 9.82 \times 10^{-6} \, \text{m}^4 \)

शाफ्ट की टॉर्सनल कठोरता है,

\( k = \frac{GJ}{L} = \frac{80 \times 10^9 \times 9.82 \times 10^{-6}}{1} = 785600 \, \text{Nm/rad} \)

प्राकृतिक आवृत्ति इस प्रकार दी गई है,

\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{I}} \)

\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{785600}{78.5}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{10000} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \, \text{Hz} \)

संप्रत्यय:

समांतर में दो स्प्रिंगों वाले एक कम्पन तंत्र में, समतुल्य कठोरता व्यक्तिगत कठोरताओं का योग होती है।

कम्पन की प्राकृतिक आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:

\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} \)

परिकलन:

दिया गया है:

द्रव्यमान, \( m = 10~kg \)

प्रत्येक स्प्रिंग की कठोरता, \( k_1 = k_2 = 2~N/mm = 2000~N/m \)

चूँकि स्प्रिंग समानांतर में हैं:

\( k_{eq} = k_1 + k_2 = 2000 + 2000 = 4000~N/m \)

अब, प्राकृतिक आवृत्ति के लिए सूत्र लागू करें:

\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4000}{10}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{400} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi}~Hz \)

वर्णन:

श्यान अवमंदन या अवमंदित कंपन:

प्रत्यास्थ कंपन में कंपन निकाय के द्रव्यमान के आंतरिक आणविक घर्षण के कारण कुछ समय बाद समाप्त हो जाता है जिसे स्प्रिंग और द्रव्यमान प्रणाली के रूप में आकृति में दर्शाया गया है।

तरल पदार्थ प्रतिरोध द्वारा प्रदान किया गया अवमंदन श्यान अवमंदन कहलाता है और इसे आकृति में डैश बिंदु द्वारा दर्शाया गया है।

समतुल्यता स्थिति से दूरी x के माध्यम से नीचे विस्थापित किए जाने पर, द्रव्यमान पर बल लेने पर -

जहाँ, 

B - B समतुल्यता स्थिति

\(x\) = समय t पर औसत स्थिति से द्रव्यमान का विस्थापन

\({\dot x}\) = समय t पर द्रव्यमान का वेग

\(\ddot x\) = समय t पर द्रव्यमान का त्वरण

जब द्रव्यमान नीचे की ओर गतिमान होता है, तो द्रव्यमान पर कार्य करने वाले प्रतिरोधी बल निम्न हैं -

• जड़त्व = \(m\ddot x\) ⇒ ऊपर की दिशा 
• अवमंदन बल = \(c\dot x\) ⇒ ऊपर की दिशा 
• स्प्रिंग बल = \(sx\) ⇒ ऊपर की दिशा 

निष्कर्ष

• विस्थापन नीचे की दिशा में होता है और स्प्रिंग बल ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
• वेग नीचे की दिशा में होता है और अवमंदन बल ऊपर की दिशा में कार्य करने वाला प्रतिरोधी बल होता है।
• त्वरण नीचे की दिशा में होता है और जड़त्व बल प्रतिरोधी बल है जो ऊपर की दिशा में कार्य करता है।

वर्णन:

कंपन: एक निकाय को कंपायमान तब कहा जाता है यदि इसमें आगे-पीछे की गति होती है। 

विभिन्न प्रकार के कंपनों का उल्लेख नीचे दी गयी तालिका में दिया गया है। 

संकल्पना:

लघुगणकीय कमी:

\(\delta = \ln \frac{{{x_0}}}{{{x_1}}} = \ln \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\)

यदि प्रणाली n चक्रों को निष्पादित करता है:\(\delta = \frac{1}{n}\ln \frac{{{x_o}}}{{{x_n}}} = \frac{{2\pi \xi }}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} \;}}\)

Important Points

अवमंदन कारक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\xi = \frac{\delta }{{\sqrt {4{\pi ^2} + {\delta ^2}} }}\)

वर्णन:

कंपन:

• उस प्रक्रिया को अवमंदन के रूप में जाना जाता है जिसके द्वारा कंपित्र ऊर्जा को धीरे-धीरे ऊष्मा या ध्वनि में परिवर्तित किया जाता है। हालाँकि ऊष्मा या ध्वनि में परिवर्तित ऊर्जा की मात्रा सापेक्षिक रूप से कम होती है, इसलिए अवमंदन का विचार किसी प्रणाली के कंपन प्रतिक्रिया के सटीक पूर्वानुमान के लिए महत्वपूर्ण हो जाती है। एक अवमन्दक को ना तो द्रव्यमान और ना ही प्रत्यास्थता वाला माना जाता है और अवमंदन बल केवल तब मौजूद होता है यदि अवमन्दक के दो छोर के बीच सापेक्षिक वेग होता है।

अवमंदन का प्रकार:

• श्यान अवमंदन 
• कूलम्ब अवमंदन 
• संरचनात्मक अवमंदन 
• सर्पी अवमंदन

श्यान अवमंदन:

• श्यान अवमंदन कंपन विश्लेषण में सबसे सामान्यतौर पर उपयोग की जाने वाली अवमंदन प्रक्रिया है। जब एक यांत्रिक प्रणाली वायु, गैस, पानी या तेल जैसे द्रव माध्यम में कंपन करती है, तो गतिमान निकाय के लिए द्रव द्वारा प्रदान किया गया प्रतिरोध ऊर्जा के अपव्यय का कारण बनता है।
• इस स्थिति में अपव्यय हुई ऊर्जा की मात्रा कंपायमान निकाय के आकार और आकृति, द्रव की श्यानता, कंपन की आवृत्ति और कंपायमान निकाय के वेग जैसे कई कारकों पर निर्भर करती है।
• श्यान अवमंदन में अवमंदन बल कंपायमान निकाय के वेग के समानुपाती होता है।

कूलम्ब अवमंदन:

• कूलम्ब अवमंदन में अवमंदन बल परिमाण में स्थिर होता है लेकिन कंपायमान निकायों के गति की दिशा के विपरित होता है। यह ऐसी घिसने वाली सतहों के बीच घर्षण के कारण होता है जो या तो शुष्क या अपर्याप्त स्नेहन वाले होते हैं।

संरचनात्मक अवमंदन:

• जब एक पदार्थ विरूपित होता है, तो ऊर्जा पदार्थ द्वारा अवशोषित और उसका अपव्यय होता है। प्रभाव आंतरिक तलों के बीच घर्षण के कारण होता है, जो विरूपण होने पर सर्पी या फिसलन करता है।

सर्पी अवमंदन:

• एक अतिसूक्ष्म सर्पी परिवर्ती भारों के तहत संपर्क में मशीन तत्वों के अंतरापृष्ठ पर होता है। अवमंदन की मात्रा पदार्थ संयोजन, अंतरापृष्ठ पर सतह दृढ़ता, संपर्क दबाव और कंपन के आयाम पर निर्भर करता है।

धारणा:

अवमंदन अनुपात:

\(\xi = \frac{C}{{{C_c}}}\)

ξ > 1: अतिअवमंदित प्रणाली

ξ = 1: क्रांतिक रूप से अवमंदित ​प्रणाली

ξ < 1: अधःअवमंदित ​प्रणाली

अवमंदित मुक्त कंपन के विभेदक समीकरण

\(m\ddot x + c\dot x + kx = 0\)

गणना:

2ẍ + 8ẋ + 32x = 0

निम्न से तुलना करने पर: mẍ + cẋ + kx = 0

M = 2 kg, c = 8 Ns/m, k = 32 N/m

अवमंदन कारक,\(\xi = {\rm{\;}}\frac{{\rm{c}}}{{2\sqrt {{\rm{km}}} }} = {\rm{\;}}\frac{8}{{2\sqrt {32 \times 2} }} = \frac{8}{{2{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}8}} = 0.5\)

∵ ξ < 1, प्रणाली अधः अवमंदित है।

वर्णन:

अवमंदित कंपन:

जब एक कंपन प्रणाली की ऊर्जा का अपव्यय घर्षण और अन्य प्रतिरोध द्वारा धीरे-धीरे होता है, तो कंपन को अवमंदित कंपन कहा जाता है। 

अवमंदन अनुपात:

वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) और क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) के अनुपात को अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(\zeta = \frac{C}{{{C_c}}}\)

• अतिअवमंदित प्रणाली: ζ > 1
• अधः अवमन्दित: ζ < 1
• क्रांतिक अवमंदन: ζ = 1: विस्थापन सबसे न्यूनतम समय में शून्य तक पहुंचेगा। प्रणाली एक कंपायमान गति के तहत नहीं गुजरती है। 

व्याख्या:

अवमंदन गुणांक : अवमंदक की प्रभावशीलता का मापन, अवमंदक की क्षमता को दर्शाता है जिससे वह गति का विरोध कर सकता है जिसे अवमंदन गुणांक कहा जाता है। इसे c से दर्शाया जाता है।

अवमंदन बल इसके द्वारा दिया जाता है:

\(Damping\;force\;\left( F \right) = \; - c\frac{{dx}}{{dt}}--cv\)

\(c=-\frac{F}{v}\)

जहाँ c अवमंदन गुणांक है।

Additional Information

वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) से क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) का अनुपात अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है।

जब अवमंदन कारक 1 के समान या अधिक होता है तो इसके कारण अनावर्ती गति होती है।

लघुगणकीय ह्रास

लघुगणकीय ह्रास को माध्य रेखा के एक ही तरफ किन्हीं दो क्रमिक आयामों के अनुपात के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है।

\(\delta = \ln \frac{{{x_0}}}{{{x_1}}} = \ln \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\)

यदि प्रणाली अधः अवमंदित है तो यह दोलन के घटते आकार के साथ पीछे और आगे तब तक झूलते रहती है जब तब कि यह रूकती नहीं है। इसका आयाम चरघातांकी रूप से कम होगा।

\(x\left( t \right) = {e^{ - \xi {ω _n}t}}\left( {A{e^{i{ω _d}t}} + B{e^{ - i{ω _d}t}}} \right)\)

\(x\;\left( t \right) = X\;e_n^{ - \zeta \omega t}sin\left( {{\omega _d}t + \phi } \right)\)

t = 0 पर

\({x_0} = X\sin \phi \)

t = Td पर

\({x_1} = X\;{e^{ - \xi {\omega _n}{T_d}}}\sin \phi \)

t = 2Td पर

\({x_1} = X\;{e^{ - \xi {\omega _n}{T_d}}}\sin \phi \)

∴ दो अनुगामी दोलनों का आयाम अनुपात

\(\frac{{{x_0}}}{{{x_1}}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}} = {e^{ξ {ω _n}{T_d}}}\;\)= eδ

जहां δ लघुगणकीय विकृति है = ξωnTd

संकल्पना:

क्रांतिक अवमंदन एक अवमंदित दोलक के लिए शून्य आयाम का सबसे त्वरित उपागम प्रदान करता है।

अवमंदन अनुपात \(\zeta =\) वास्तविक अवमंदन / क्रांतिक अवमंदन  \( = \frac{c}{{{c_c}}}\)

जहाँ CC क्रांतिक अवमंदन गुणांक है।

\({C_C} = 2\sqrt {km} = 2m{\omega _n}\)

गणना:

क्रांतिक अवमंदन गुणांक को इसप्रकार दिया गया है:

\({c_c} = 2m{\omega _n} = 2\sqrt {km} = 2\sqrt {0.9 \times {{10}^3} \times 1} = 60\;Ns/m\)

यदि प्रणाली अधः अवमंदन के तहत होता है, तो यह दोलन के घटते आकार के साथ पीछे और आगे तब तक झूलते रहता है जब तब कि यह बंद नहीं हो जाता है। इसका आयाम चरघातांकी रूप से कम होगा।

\(x\left( t \right) = {e^{ - \xi {ω _n}t}}\left( {A{e^{i{ω _d}t}} + B{e^{ - i{ω _d}t}}} \right)\)

अतिअवमंदित प्रणाली: ζ > 1

\(x(t) = A{e^{( - \xi + \sqrt {{\xi ^2} - 1} ){ω _n}t}} + B{e^{( - \xi - \sqrt {{\xi ^2} - 1} ){ω _n}t}}\)

यह आवधिक गति का समीकरण है अर्थात् प्रणाली अति-अवमंदन के कारण कंपन नहीं कर सकता है। परिणामी विस्थापन का परिमाण समय के साथ शून्य की ओर बढ़ता है।

अधः अवमन्दित:​ ζ < 1

\(x\left( t \right) = {e^{ - \xi {ω _n}t}}\left( {A{e^{i{ω _d}t}} + B{e^{ - i{ω _d}t}}} \right)\)

\(x(t) = A{e^{ - \xi {ω _n}t}}\sin ({ω _d} + \phi )\)

यह परिणामी गति ω_d की आवृत्ति वाले घटते आयामों के साथ दोलनशील होता है। अंतत: गति समय के साथ खत्म हो जाती है।

क्रांतिक अवमंदन: ζ = 1

\(x(t) = (A + Bt){e^{ - {\omega _n}t}}\)

विस्थापन सबसे न्यूनतम संभव समय के साथ शून्य की ओर बढ़ेगा।