Eigenvalues MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Eigenvalues - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

अभिलाक्षणिक समीकरण:

एक \(2 \times 2\) आव्यूह \(A\) का अभिलाक्षणिक समीकरण \((A - \lambda I)\) के सारणिक की गणना करके प्राप्त किया जाता है।

आव्यूह \(A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ b & c \end{pmatrix}\) के लिए, अभिलाक्षणिक समीकरण है:
\(\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & a \\ b & c - \lambda \end{pmatrix}\)

व्याख्या:

\(\begin{pmatrix} 2 & a \\ b & c \end{pmatrix}\) यह कहा गया है कि इस आव्यूह का 6 एक आइगेन मान है। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है,

हम आव्यूह का अभिलाक्षणिक समीकरण की गणना करेंगे और इसे दिए गए आइगेन मान से संबंधित करेंगे।

2 × 2 आव्यूह का अभिलाक्षणिक बहुपद इस प्रकार दिया गया है:

Det (\(\begin{pmatrix} 2 & a \\ b & c \end{pmatrix}\)- \(\lambda\)\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\))

सारणिक है

\((2 - \lambda)(c - \lambda) - ab \)

यह सरल हो जाता है

\((2 - \lambda)(c - \lambda) - ab = \lambda^2 - (2 + c)\lambda + (2c - ab)\)

चूँकि 6 एक आइगेन मान है, इसलिए अभिलाक्षणिक बहुपद में \( \lambda = 6 \) एक मूल होना चाहिए।

\( \lambda = 6 \) को अभिलाक्षणिक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\(6^2 - (2 + c)6 + (2c - ab) = 0 \)

⇒\(36 - 6(2 + c) + (2c - ab) = 0\)

⇒ \(36 - 12 - 6c + 2c - ab = 0\)

⇒ \(24 - 4c - ab = 0\)

इस प्रकार, समीकरण बन जाता है

\(24 - ab = 4c\)

यह दिए गए पहले कथन \(24 - ab = 4c\) से मिलता है।

इसलिए, विकल्प 1) सही है।

दिया गया है:

\(A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)

संकल्पना:

यदि GM = n है तो उस अभिलक्षणिक मान के लिए ठीक n अभिलक्षणिक सदिश संभव है।

गणना:

\(A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\)

det A = 1 ≠ 0 इसलिए A व्युत्क्रमणीय है।

A ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है। तो इसका अभिलक्षणिक मान केवल 1 है।

अब, η(A-λ) = 1 इसलिए अभिलक्षणिक मान का गुणोत्तर माध्य 1 है 

अतः अभिलक्षणिक मान 1 के लिए केवल एक अभिलक्षणिक सदिश संभव है।

अतः, विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

आइगेन - मान और आइगेन - सदिश:

एक वर्ग आव्यूह A के लिए, कुछ सदिश x के लिए यदि  Ax = λx  है, तब λ को A के आइगेन - मान के रूप में जाना जाता है और x संगत आइगेन सदिश है।

यदि λi, A का एक आइगेन मान है, तब λi भी AT का एक आइगेन मान होगा।

हल:

माना A एक लांबिक आव्यूह है और λ, A का एक आइगेन मान है।

एक वर्ग आव्यूह के लांबिक होने के लिए,

⇒ AA^T = A^TA = I, जहाँ I एक तत्समक आव्यूह है।

चूँकि, λ  एक आइगेन मान है, तब Ax = λx, जहाँ x, संगत आइगेन मान λ के लिए एक आइगेन सदिश है।.

दोनों पक्षों का AT के साथ पूर्व-गुणन करने पर,   

⇒ A^TAx = λA^Tx

⇒  Ix = λA^Tx

⇒ x = λA^Tx

⇒ A^Tx = \(\frac{1}{\lambda}\) 

⇒ \(\frac{1}{\lambda}\), AT का एक आइगेन मान है।

चूँकि, A और A^T समान आइगेन मान रखते है।

⇒ \(\frac{1}{\lambda}\) = λ

⇒ λ² = 1

⇒ |λ| = 1.

∴ लांबिक आव्यूह के आइगेन - मानों का मापांक 1 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त अभिलक्षणिक मान है \(\frac{|λ|}{λ} = sgn( λ)\)

इसलिए, \(\frac{|λ|}{λ}\)  का अभिलक्षणिक मान केवल 1, -1 है 

जहाँ, λ < 0 ⇒ sgn(λ) = -1 और λ > 0 ⇒ sgn(λ) = 1

और हमें व्युत्क्रमणीय आव्युह A का अभिलक्षणिक मान λ भी प्राप्त है।

इसलिए, इस स्थिति में केवल A ही यह प्रतिबंध रखता है क्योंकि A और उसके व्युत्क्रम के अभिलक्षणिक मान बराबर होता हैं।

इसलिए, \(\frac{|\lambda|}{\lambda}\) का अभिलक्षणिक मान A है।

स्पष्टीकरण:

हर्मिटी आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह A = (aij)n×n को हर्मिटी कहा जाता है अगर सभी i, j के लिए aij = \({\bar a_{ji}}\)।

• एक आव्यूह एक एक हर्मिटी होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है कि A = Aθ
• एक हर्मिटी आव्यूह का विकर्ण तत्व पूर्ण रूप से वास्तविक है।

उदाहरण: A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{2 + 3i}\\ {2 - 3i}&3 \end{array}} \right]\) एक हर्मिटी आव्यूह है।

• एक वास्तविक सममित (या हर्मिटी) आव्यूह का अभिलाक्षणिक मान हमेशा वास्तविक होता है और एक वास्तविक विषम-सममित (या विषम हर्मिटी) आव्यूह के अभिलाक्षणिक मान या तो शून्य या विशुद्ध रूप से काल्पनिक हैं।

Additional Information

अभिलाक्षणिक मान के गुण:

• निचले और ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के लिए आव्यूह के विकर्ण तत्व अभिलाक्षणिक मान ​​हैं ।
• यदि λ1, λ2,...........λn कोटि n के आव्यूह A के अभिलाक्षणिक मान हैं तो
  • λ1 + λ2 +.........λn = A का ट्रेस
  • λ1 × λ2 × .........λn = A का det
• 0 आव्यूह A का एक अभिलाक्षणिक मान है केवल और केवल यदि A अव्युत्क्रमणीय है।
• यदि A के सभी अभिलाक्षणिक मान गैर शून्य हैं, तो A गैर-अव्युत्क्रमणीय है,
• A और AT का अभिलाक्षणिक मान समान है।
• यदि λ एक लांबिक आव्यूह का अभिलाक्षणिक मान है तो \( {1 \over \lambda }\) भी उसी आव्यूह A का एक और अभिलाक्षणिक मान है।

संकल्पना:

यदि A कोटि n का कोई वर्ग आव्यूह है, तो हम आव्यूह [A - λI] बना सकते हैं, जहाँ I nवीं कोटि का आव्यूह है। इस आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर है अर्थात् |A – λI| = 0 को A का अभिलाक्षणिक समीकरण कहा जाता है।

आभिलाक्षणिक समीकरण के मूल को अभिलक्षणिक मान या अप्रकट मूल या आव्यूह A का अभिलाक्षणिक मूल कहा जाता है।

अभिलक्षणिक मान का गुणधर्म:

(1) यदि λ आव्यूह A का अभिलाक्षणिक मान है,तो λn आव्यूह An का अभिलक्षणिक मान होगा।

(2) यदि λ आव्यूह A का अभिलाक्षणिक मान है,तो kλ आव्यूह kA का अभिलक्षणिक मान होगा ,जहाँ k अदिश राशि है।

(3) अभिलक्षणिक मानों का योग उस आव्यूह का ट्रेस का पता लगाने के बराबर है।

(4) आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल आव्यूह A के सारणिक के बराबर होता है।

(5) यदि λ आव्यूह A का अभिलाक्षणिक मान है,तो आव्यूह A2 का अभिलक्षणिक मान λ2 होगा।

(6) यदि λ1 आव्यूह A का अभिलाक्षणिक मान है तो आव्यूह (A + I) का अभिलाक्षणिक मान (λ1 + 1) होगा।

(7) एक आव्यूह और इसके परावर्त के अभिलाक्षणिक मान समान होते हैं क्योंकि परावर्त आव्यूह में भी समान अभिलाक्षणिकसमीकरण होगा।

गणना:

दिया हुआ:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ x&y \end{array}} \right]\)

अभिलाक्षणिक मानों का योग = ट्रेस (A) = 2 + y

अभिलाक्षणिक मानों का गुणनफल = |A| = 2y – 3x

∴ 4 + 8 = 2 + y     ---- (i)

4 × 8 = 2y – 3x     ---- (ii)

∴ 2 + y = 12      ---- (iii)

 2y – 3x = 32     ---- (iv)

∴ i) और ii) हल करने पर हमें x = -4 और y = 10 मिलते हैं

संकल्पना:

1. यदि λ₁ और λ₂  वर्ग आव्यूह के अभिलक्षणिक मूल हैं जैसे कि |A| ≠ 0, तो  A^-1 के अभिलक्षणिक मूल 1/λ₁ और 1/λ₂  होंगे 

2. यदि A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो, AA^-1 = I 

गणना:

माना A = \(\begin{bmatrix} 3 & 7 \\\ 2 & 5 \end{bmatrix}\)और B = \(\begin{bmatrix} 5 & -7 \\\ -2 & 3 \end{bmatrix}\)

|A| = 3 × 5 - 7 × 2

⇒ |A| = 1 ≠ 0  

⇒ AB = \(\begin{bmatrix} 3 & 7 \\\ 2 & 5 \end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix} 5 & -7 \\\ -2 & 3 \end{bmatrix}\)

⇒ AB = \(\begin{bmatrix} 15\ -\ 14 & -21\ +\ 21 \\\ 10\ -\ 10 & -14\ +\ 15 \end{bmatrix}\)

⇒ AB = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & 1\end{bmatrix}\) = I

इसलिए, B = A^-1

प्रश्न के अनुसार, A के अभिलक्षणिक मूल λ1 और λ2 हैं 

उपरोक्त अवधारणा से,  A^-1 के अभिलक्षणिक मूल ​ \(\frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}\) हैं  

अतः विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

अभिलाक्षणिक मान विशेषता समीकरण के मूल हैं।

इसकी गणना |A - λI| = 0 द्वारा की जाती है जहां λ = मूल या अभिलाक्षणिक मान।

गणना:

दिया हुआ:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right]\)

विशेषता समीकरण |A – λI| = 0 है

\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 1-λ & 1 \\ -1 & 1-λ \\ \end{matrix} \right|=0\)

∴ (1 - λ)2 - (-1) = 0

∴ (1 - λ)2 = -1

\(∴\left( {1 - λ } \right) = \sqrt { - 1}\Rightarrow \pm \;i\)

∴ λ = 1 + i और 1 - i

अवधारणा:

अभिलाक्षणिक मान के गुणधर्म:

1.) अभिलाक्षणिक ​​का योग = आव्यूह के विकर्ण अवयवों का योग

2.) अभिलाक्षणिक ​​का गुणनफल = आव्यूह का सारणिक 

गणना:

अभिलाक्षणिक मान 3:1 के अनुपात में हैं, तो अभिलाक्षणिक मान 3λ और λ हैं।

x + 2 = 4λ 

\(\lambda = {x+2\over 4}\)............(i)

2x - 1 = 3λ² .........(ii)

(i) का मान (ii) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(2x-1 = {3(x+2)^2 \over 16}\)

3(x+2)² = 32x - 16

3x² - 20x + 28 = 0

x (3x - 14) -2 (3x - 14) = 0

\(x = 2,{14 \over 3}\)

दिया गया है:

3 x 3 क्रम का वर्ग आव्यूह \( \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\) है। 

संकल्पना:

एक आव्यूह के आइगेन मान को ​​​​ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित क्रियाएँ कीजिए:
1 - सत्यापित कीजिए कि निर्दिष्ट आव्यूह A एक वर्ग आव्यूह है। उसी क्रम के इकाई आव्यूह I को भी ज्ञात कीजिए।
2 - आव्यूह \(A- \lambda I\), की गणना कीजिए, जहाँ एक अदिश मान है।
3 - आव्यूह \(A- \lambda I\) का सारणिक ज्ञात कीजिए और इसे शून्य के बराबर रखिए।
4 - A के सभी संभव मानों को ज्ञात कीजिए, जो कि बनाए गए समीकरण से आव्यूह A के आवश्यक आइगेन ​​​​हैं।

हल:

\( A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

\( I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

\( \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & −4-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 7-\lambda\end{array}\right] \)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda)[(-4- \lambda)(7- \lambda)-2 \times0]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [-28+4 \lambda-7 \lambda + \lambda ^2]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda ^2-7 \lambda+4 \lambda-28]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda (\lambda - 7)+4( \lambda-7)]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) (\lambda - 7)( \lambda+4)\)

\(|A- \lambda I|=0\)

\((1- \lambda)(\lambda - 7)( \lambda+4)=0\)

\(\lambda =1,-4,7\)

अतः विकल्प 1 सही है।

एक वर्ग आव्यूह के अभिलाक्षणिक मूल्य और अभिलाक्षणिक सदिश

"λ" को अभिलाक्षणिक मूल्य कहा जाता है और "x" को वर्ग आव्यूह "A" का अभिलाक्षणिक सदिश कहा जाता है, यदि

Ax = λx

अभिलाक्षणिक मूल्यों की विशेषताएं:

• Tr (A) = अभिलाक्षणिक मूल्यों का योग
• |A| = अभिलाक्षणिक मूल्यों का गुणनफल
• यदि A = ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह या निचला त्रिकोणीय आव्यूह या विकर्ण आव्यूह तो इसके अभिलाक्षणिक मूल्य विकर्ण तत्व होंगे।
• हर्मिटी आव्यूह और वास्तविक सममित आव्यूह के अभिलाक्षणिक मूल्य हमेशा वास्तविक होते हैं।
• विषम-सममित आव्यूह और विषमसममित - हर्मिटी आव्यूह के अभिलाक्षणिक मूल्य शून्य या विशुद्ध रूप से काल्पनिक होते हैं।
• लांबिक आव्यूह और एकात्मक आव्यूह के अभिलाक्षणिक मूल्यों में इकाई मापांक  है।

संकल्पना:

आधार: इसे स्थान में सदिशों के उस उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं अर्थात् इसे किसी अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन के समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

विस्तृति: इसे स्थान के भीतर रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है।

R⁴ : यह 4 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के स्थान को दर्शाता है।

विश्लेषण:

1) R⁴ से अभिप्रेत है कि 6 सदिशों में से केवल 4 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश हैं। अतः यह आवश्यक नहीं है कि ये सदिश R⁴ में फैले हों। (सत्य कथन)

2) ये सभी सदिश रैखिकतः स्वतंत्र नहीं हैं क्योंकि 6 सदिशों में से केवल 4 रैखिकतः स्वतंत्र सदिश हैं। (सत्य कथन)

3) इन सदिशों में से कोई भी चार R4 के लिए आधार नहीं बना सकते क्योंकि केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश R⁴ के लिए एक आधार बना सकते हैं। 6 सदिशों में से केवल 4 सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं। तो, यह कथन गलत है। (गलत कथन)

4) यदि {v1, v3, v5, v6}, R4 में फैलते हैं इसका अर्थ है कि सदिश {v1, v3, v5, v6} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं क्योंकि विस्तृति रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के रैखिक संयोजन को दर्शाती है इसलिए यह R⁴ के लिए एक आधार बनाता है। (सत्य कथन)

स्पष्टीकरण:

[A] एक वर्ग आव्यूह, वास्तविक और सममित है।

विशेषता समीकरण,

(A - λI) = 0       …………(i)

λ के लिए हल करते हुए अभिलाक्षणिक मान

माना कि सममित और वास्तविक आव्यूह A निम्न है

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right]\) ………… (ii)

\(\Rightarrow \left[ {A - \lambda I} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right] - \lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = 0\)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - \lambda }&b\\ b&{a - \lambda } \end{array}} \right] = 0\)

⇒ (a - λ)2 – b2 = 0

⇒ (a - λ)2 = b2

⇒ (a - λ) = ± b

⇒ λ = a ± b