Hyperbola MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Hyperbola - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

अतिपरवलय समीकरण: \(25x^{2} - 75y^{2} = 225\)

मानक रूप प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 225 से विभाजित करने पर:

\(\frac{25x^{2}}{225} - \frac{75y^{2}}{225} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1\)

इस प्रकार, \(a^{2} = 9\) और \(b^{2} = 3\).

\(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) से \(c\) की गणना करें:

\(c^{2} = 9 + 3 = 12 \;\Longrightarrow\; c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.\)

नाभियाँ \((\pm c,\,0)\) पर हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी \(2c\) निम्नवत है:

\(2c = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.\)

∴ दो नाभियों के बीच की दूरी \(4\sqrt{3}\) इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

संप्रत्यय:

• अतिपरवलय का मानक समीकरण: यदि शीर्ष x-अक्ष पर (±a, 0) पर हैं, तो समीकरण है (x²/a²) - (y²/b²) = 1।
• शीर्ष: दिए गए हैं (±6, 0), इसलिए a = 6 ⇒ a² = 36।
• उत्केन्द्रता: e = √5 / 2। एक अतिपरवलय के लिए, e = √(1 + b²/a²)।
• अभिलम्ब: वक्र पर एक बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत रेखा। अभिलम्ब की ढलान स्पर्श रेखा की ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम है।
• दिया गया अभिलम्ब रेखा √2x + y = 2√2 के समानांतर है, इसलिए ढलान -√2 है।

गणना:

दिया गया है:

a = 6 ⇒ a² = 36,

और e = √5 / 2

⇒ e² = 5 / 4

⇒ 5 / 4 = 1 + b² / 36 ⇒ b² = 9

इसलिए अतिपरवलय है: (x² / 36) - (y² / 9) = 1

अवकलन करने पर:

(2x / 36) - (2y / 9) × (dy/dx) = 0 ⇒ x / 18 = (2y / 9)(dy/dx)

⇒ dy/dx = x / 4y

⇒ स्पर्श रेखा की ढलान = x / 4y

⇒ अभिलम्ब की ढलान = -4y / x

दिया गया है: अभिलम्ब की ढलान = -√2 ⇒ -4y / x = -√2 ⇒ 4y / x = √2

⇒ y = (x√2) / 4

अतिपरवलय में प्रतिस्थापित करने पर:

(x² / 36) - (1 / 9) × ((x√2 / 4)²) = 1

⇒ (x² / 36) - (1 / 9) × (2x² / 16) = 1

⇒ (x² / 36) - (x² / 72) = 1

⇒ (x²)(1/36 - 1/72) = 1 ⇒ x² × (1/72) = 1 ⇒ x² = 72

⇒ x = 6√2

तब, y = (x√2) / 4 = (6√2 × √2) / 4 = 12 / 4 = 3

इसलिए, अतिपरवलय पर बिंदु (6√2, 3) है

(6√2, 3) से गुजरने वाली और ढलान -√2 वाली अभिलम्ब रेखा का समीकरण:

y - 3 = -√2(x - 6√2)

y-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, x = 0 रखें:

y = 3 + √2 × 6√2 = 3 + 12 = 15

इसलिए, रेखाखंड (6√2, 3) और (0, 15) के बीच स्थित है

लंबाई d = √[(6√2)² + (15 - 3)²] = √[72 + 144] = √216

इसलिए, d² का आवश्यक मान 216 है।

संकल्पना:

यदि एक अतिपरवलय का समीकरण है, तो नाभि के निर्देशांक (ae, 0) और (- ae, 0) होंगे, जहाँ e उत्केंद्रता है,

और b2 = a2(e2 - 1)

गणना:

माना अतिपरवलय का समीकरण \({x^2 \over a^2}-{y^2 \over b^2} =1\) होगा। 

तब नाभि के निर्देशांक (ae, 0) और (- ae, 0) होंगे, जहाँ e उत्केंद्रता है। 

नाभि के बीच की दूरी

= 2ae = 16

⇒ 2a(\(\sqrt{2}\)) = 16

⇒ a = 4\(\sqrt{2}\)

और b2 = a2(e2 - 1) = 32(2 - 1) = 32

⇒ b = 4\(\sqrt{2}\)

अत: अतिपरवलय का समीकरण x2 − y2 = 32 है। 

∴ सही विकल्प (4) है।

संकल्पना:

अतिपरवलय \({x^2\over a^2 }-{y^2 \over b^2} = 1\) की स्पर्शरेखा का समीकरण \(y = mx ± \sqrt {a^2m^2 -b^2}\) है

जहां m स्पर्शरेखा की प्रवणता है।

गणना:

दिया गया अतिपरवलय 4x 2 - 5y 2 = 20

⇒ \({x^2\over 5 }-{y^2 \over 4} = 1\) ⇒ a = \(\sqrt{5}\) और b = 2

चूँकि स्पर्श रेखा x - y = 2 के समांतर है

⇒ स्पर्श रेखा की प्रवणता = m = 1

तो स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न है

  y = x ± \(\sqrt{5 -4}\)

⇒ y = x ± 1

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

गणना

\(x^{2}+y^{2}-8 x=0, ...(1)\)

\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1\)

4x² - 9y² = 36 ... (2)

(1) और (2) को हल करने पर,

4x² - 9 (8x - x²) = 36

13x² -72x -36 = 0

(13x + 6) (x - 6) = 0

\(x=\frac{-6}{13}, x=6\)

\(x=\frac{-6}{13}(\text { rejected })\)

y → काल्पनिक

\(\frac{36}{9}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1\)

\(\mathrm{y}^{2}=12, \mathrm{y}=\pm \sqrt{12}\)

\(\mathrm{A}(6, \sqrt{12}), \mathrm{B}(6,-\sqrt{12})\)

\(\mathrm{p}\left(\alpha, \frac{2 \alpha+4}{3}\right)\) क्योंकि P रेखा 2x - 3y + 4 = 0 पर स्थित है

केंद्रक (h, k)

\(\mathrm{h}=\frac{12+\alpha}{3}⇒ \alpha=3 \mathrm{~h}-12\)

\(\mathrm{k}=\frac{\frac{2 \alpha+4}{3}}{3} \Rightarrow 2 \alpha+4=9 \mathrm{k}\)

⇒ \(\alpha=\frac{9 \mathrm{k}-4}{2}\)

6h - 12 = 9k - 4

6x - 9y = 8

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

• लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1\)

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

∴ a = 10

लैटस रेक्टम की लम्बाई =  \(\rm \frac{2b^2}{a}\)= \(\rm \frac{2 \times 75}{10} = 15\)

अवधारणा:

एक आयताकार अतिपरवलय \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
• इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
• इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
• इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है: \(e = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
• अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
• संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
• इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है: \(\frac{2b^2}{a}\)

गणना:

यहाँ, हमें उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करना है जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा दिया जाता है

⇒ \(\frac{2b^2}{a} = 4\)

⇒ b² = 2a

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता इसके द्वारा दी गई है: \(e = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)

⇒ a2e2 = a2 + b2

⇒ 9a² = a² + 2a

⇒ a = 1/4

∵ b2 = 2a

⇒ b2 = 1/2

तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण 16x² - 2y² = 1 है

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना

अतिपरवलय का समीकरण है \(\rm \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)

अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

फिर से, \(\rm b^2 = a^2(e^2-1)\)

गणना:

अतिपरवलय का समीकरण है \(\rm \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) .... (1)

एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है।

हम जानते हैं कि अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

⇒ 2ae = 16

⇒ a = \(\dfrac {16}{2\sqrt 2}\) = \({4\sqrt 2}\)

फिर से, \(\rm b^2 = a^2(e^2-1)\)

⇒ \(\rm b^2 = 32(2-1)\)

⇒ \(\rm b^2 = 32\)

समीकरण (1) बन जाता है

⇒ \(\rm \dfrac{x^2}{32} - \dfrac{y^2}{32} = 1 \)

⇒ x 2 - y 2 = 32

संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

गणना:

दिया गया है:

16x² – 9y² = 1

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{\;}}{{\rm{x}}^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} - \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{\frac{1}{9}}} = 1\)

 \(\frac{{{\rm{\;}}{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} - \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}} = 1\) के साथ तुलना करने पर 

∴ a² = 1/16 और b² = 1/9

उत्केंद्रता = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} = \;\sqrt {1 + \;\frac{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}}{{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}}} = \;\sqrt {1 + \;\frac{{16}}{9}} = \;\sqrt {\frac{{25}}{9}} = \;\frac{5}{3}\) 

संकल्पना:

अतिपरवलय का समीकरण, \(\rm \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1\) 

उत्केंद्रता, e = \(\rm\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}\)  

संचालिका, x  = \(\rm\pm \frac{a}{e}\) 

अतिपरवलय का समीकरण, \(\rm- \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1\)  

उत्केंद्रता, e = \(\rm\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}\) 

संचालिका, y = \(\rm\pm \frac{b}{e}\)  

गणना:

दिया गया अतिपरवलिक समीकरण, 3y2 - 2x2 = 12 

⇒ \(\rm- \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}= 1\) 

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, a = \(\sqrt{6}\) और b = 2 

हम जानते हैं कि उत्केंद्रता, e = \(\rm\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}\) 

⇒ e = \(\rm\sqrt{1+\frac{6}{4}}\) 

⇒ e = \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)        

चूँकि हम जानते हैं कि, संचालिका, y = \(\rm\pm \frac{b}{e}\) 

∴ संचालिका, y = \(\pm\frac{2}{\frac{\sqrt{10}}{2}}\) 

⇒ संचालिका, y = \(\pm\frac{4}{\sqrt{10}}\)  

सही विकल्प 4 है। 

संकल्पना:

एक अतिपरवलय का मानक समीकरण: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\) (a > b)

• फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
• उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) ⇔ a2e2 = a2 + b2
• नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a2 = 16 और b2 = 9

⇒ a = 4 और b = 3   (a > b)

अब, उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) 

= \(\sqrt {1 + \frac{9}{16}}\)

= \(\sqrt { \frac{16+9}{16}}\)

= \(\frac 54\)

फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0) 

= (± 5, 0)

संकल्पना:

एक अतिपरवलय के मानक समीकरण के लिए, \(\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} - \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}} = 1\)

केंद्र-बिंदु का निर्देशांक = (± ae, 0)

शीर्ष का निर्देशांक = (±a, 0)

उत्केंद्रता, e = \(\sqrt {1 + \frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \)

संचालिका का समीकरण, x = ± a/e

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{16}} - \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{9} = 1\)

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

a² = 16 और b² = 9

उत्केंद्रता e = \(\sqrt {1 + \frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{9}{{16}}} = \sqrt {\frac{{16 + 9}}{{16}}} = \sqrt {\frac{{25}}{{16}}} = \frac{5}{4}\)

अब, संचालिका का समीकरण,

\(x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}} = \pm \frac{{16}}{5}\)

संकल्पना:

अतिपरवलय का सामान्य समीकरण निम्न है:

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

यहाँ, फोकस के निर्देशांक (±ae, 0) हैं।

और उत्केन्द्रता = \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)

गणना:

समीकरण 25x2 - 4y2 = 100 को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{25}=1\)

यह एक अतिपरवलय का समीकरण है।

अतिपरवलय के सामान्य समीकरण से इसकी तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ a2 = 4 और b2 = 25

अब, उत्केन्द्रता निम्न द्वारा दी जाती है

\(e=\sqrt{1+\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{29}}{2}\)

इसलिए, उत्केन्द्रता \(\frac{\sqrt{29}}{2}\) है।

अवधारणा:

अतिपरवलय \(\rm \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) की उत्केंद्रता 'e' इसके द्वारा दी जाती है, a > b के लिए e = \(\rm \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)

गणना:

मान लीजिए कि अतिपरवलय का समीकरण \(\rm \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) है

उत्केंद्रता √2 है

⇒ √2 = \(\rm \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करके हमें मिलता है

⇒ 2 = \(\rm 1+\frac{b^2}{a^2}\)

⇒ \(\rm \frac{b^2}{a^2}\) = 1

⇒ a² = b²

इसलिए आवश्यक समीकरण है, \(\rm \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\) या x2 - y2 = a2

धारणा:

एक अतिपरवलय के मानक समीकरण\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) के लिए

फोकस के निर्देशांक (± ae, 0)

उत्केंद्रता \(e = \sqrt {1 + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \)

गणना:

यहाँ, फोकस = (±3, 0) और उत्केंद्रता, \(e = \frac{3}{2}\)

∴ ae = 3 and \(e = \frac{3}{2} \Rightarrow a = 2\)

\(\therefore {b^2} = {a^2}\left( {{e^2} - 1} \right) \Rightarrow {b^2} = 4\left( {\frac{9}{4} -1} \right) = 4 \times \frac{5}{4} = 5\)

तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण है

\(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)