Lorentz Force Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Lorentz Force Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल:

जब एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है, तो उसे लोरेंत्ज़ बल समीकरण द्वारा दिए गए बल का अनुभव होता है:

F = q (v × B)

जहाँ:

q = कण का आवेश

v = कण का वेग

B = चुंबकीय क्षेत्र

× = सदिश गुणन संक्रिया 

प्रश्न से, हमें दो स्थितियाँ दी गई हैं, जहाँ कण अलग-अलग वेगों से गति करता है और अलग-अलग बलों का अनुभव करता है। सदिश गुणन नियम का उपयोग करके और B के लिए हल करके, हम चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निर्धारित कर सकते हैं।

गणना:

दिया गया है:

आवेश, q = 10 μC = 10-5 C

दूसरे स्थिति में वेग, v₂ = 108 m/s (z-अक्ष के साथ)

चुंबकीय बल इस प्रकार दिया गया है:

F2 = B0 q v2 sin 90°

चूँकि B और v₂ के बीच का कोण 90° है, इसलिए हम दिए गए मान प्रतिस्थापित करते हैं:

F2 = (2) (10-6) (108)

F2 = 200 N

अवधारणा:

गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल:

जब एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है, तो उसे लोरेंत्ज़ बल समीकरण द्वारा दिए गए बल का अनुभव होता है:

F = q (v × B)

जहाँ:

q = कण का आवेश

v = कण का वेग

B = चुंबकीय क्षेत्र

× = सदिश गुणन संक्रिया 

प्रश्न से, हमें दो स्थितियाँ दी गई हैं, जहाँ कण अलग-अलग वेगों से गति करता है और अलग-अलग बलों का अनुभव करता है। सदिश गुणन नियम का उपयोग करके और B के लिए हल करके, हम चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निर्धारित कर सकते हैं।

गणना:

दिया गया है:

आवेश, q = 10 μC = 10^-5 C

पहली स्थिति में वेग, x-y तल में 30° पर v₁ = 10⁶ m/s

पहले मामले में अनुभव किया गया बल, F₁ = ऋणात्मक z-अक्ष के साथ 10 N

क्रॉस-प्रोडक्ट समीकरण का उपयोग करते हुए:

(-10) k̂ = (10-5) [(106 √3/ 2) î + (106 / 2) ĵ] × (B0 î)

सदिश-गुणन का विस्तार:

- 5B0 k̂ = -10 k̂

B0के लिए हल करना:

B0 = 2 T

व्याख्या:

साइक्लोट्रॉन आवृत्ति (\(ω\)) वह आवृत्ति है जिस पर कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र (B) में लोरेंज बल के कारण वृत्ताकार पथ में गति करता है। किसी भी विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में, कण की गति केवल चुंबकीय क्षेत्र से प्रभावित होती है।

साइक्लोट्रॉन आवृत्ति के लिए व्यंजक इस प्रकार दिया गया है:

\(ω=\frac{q B}{m}\)

जहाँ:

• \(ω\) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति है,
• q कण का आवेश है,
• B चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है, और
• m कण का द्रव्यमान है।

यह सूत्र यह मानता है कि चुंबकीय क्षेत्र कण के वेग के लंबवत है, जिसके परिणामस्वरूप वृत्ताकार गति होती है।

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

व्याख्या:

एक समान रूप से आवेशित घूर्णन ग्रामोफोन रिकॉर्ड के लिए पृष्ठीय धारा घनत्व \( K \) को निर्धारित करने के लिए:

1. केंद्र से \( r \) त्रिज्य दूरी पर एक बिंदु का रेखीय वेग \( v \) कोणीय वेग \( \omega \) से संबंधित है:

\( v = \omega r \)

2. पृष्ठीय धारा घनत्व \( K \) को पृष्ठीय आवेश घनत्व \( \sigma \) को रेखीय वेग \( v \) से गुणा करके परिभाषित किया गया है:

\( K = \sigma v \)

3. \( K \) के समीकरण में \( v = \omega r \) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( K = \sigma (\omega r) \)

इसलिए, \( r \) दूरी पर पृष्ठीय धारा घनत्व है:

\( K = \sigma \omega r \)

सही विकल्प 2): \( K = \sigma \omega r \) है। 

व्याख्या:

चुंबकीय क्षेत्र \( \vec{B} = kz\hat{x} \) में धारा \( I \) ले जाने वाले तार के एक वर्गाकार पाश पर नेट बल का निर्धारण इस प्रकार किया जा सकता है:

धारणाएँ:

• पाश में धारा \( I \) वामावर्त दिशा में प्रवाहित होती है।
• चुंबकीय क्षेत्र \( B \), \( z \) के साथ रैखिक रूप से बदलता है और x-अक्ष के अनुदिश निर्देशित होता है (\( B = kz \hat{x} \)).
• पाश yz-तल में स्थित है और मूल बिंदु पर केंद्रित है।

बल की गणना:

1. विपरीत भुजाओं पर बल:
   पाश के बाएँ और दाएँ ऊर्ध्वाधर खंडों पर चुंबकीय बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र x-दिशा में एकसमान है, और बल परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत हैं।
2. ऊपर और नीचे की भुजाओं पर बल:
   चुंबकीय क्षेत्र में धारा \( I \) ले जाने वाले एक सीधे खंड पर चुंबकीय बल इस प्रकार दिया जाता है:
   \( F = I (\vec{L} \times \vec{B}) \), जहाँ \( L \) खंड की लंबाई है।

    

   पाश के ऊपरी भाग के लिए (\( z = a/2 \)):
   \( F_{\text{top}} = I B a = I k \left(\frac{a}{2}\right) a = \frac{I k a^2}{2} \)

   पाश के निचले भाग के लिए (\( z = -a/2 \)):
   \( F_{\text{bottom}} = I B a = I k \left(-\frac{a}{2}\right) a = \frac{I k a^2}{2} \)

3. नेट बल:
   नेट बल ऊपर और नीचे की भुजाओं पर बलों का योग है:\( F_{\text{net}} = F_{\text{top}} + F_{\text{bottom}} = \frac{I k a^2}{2} + \frac{I k a^2}{2} \)

    

   इस प्रकार, नेट बल है:
   \( F_{\text{net}} = I k a^2 \)

सही विकल्प 4): वर्गाकार पाश पर कार्य करने वाला नेट बल \( F_{\text{net}} = I k a^2 \) है।

संकल्पना:

विद्युत्स्थैतिक बल: यह विद्युत क्षेत्र (E) के कारण एक चालक में स्थैतिक आवेश (Q) पर विद्युत बल होता है और इसे निम्न रूप में ज्ञात किया गया है,

F_e = EQ

चुंबकीय स्थैतिक बल: यह चुम्बकीय क्षेत्र (B) के कारण चालक में वेग (V) के साथ गतिमान एक आवेश पर चुम्बकीय बल होता है और इसे निम्न रूप में ज्ञात किया गया है,

F_m = Q (V × B)

लोरेंत्ज़ बल:

यदि एक गतिमान आवेश विद्युत क्षेत्र और चुम्बकीय क्षेत्र दोनों में मौजूद होता है, तो एक चालक में आवेश पर बल को लोरेंत्ज़ बल के रूप में जाना जाता है। 

F = F_e + F_m

F = EQ + Q (V × B)

इस समीकरण को लोरेंत्ज़ बल समीकरण के रूप में जाना जाता है। 

सूचना: सभी मोटे अक्षर सदिश हैं। 

अतः विद्युतचुम्बकीय तरंग लोरेंत्ज़ बल का अनुभव करते हैं जो विद्युत्स्थैतिक बल और चुंबकीय स्थैतिक बल का संयोजन है। 

संकल्पना:

विद्युत्स्थैतिक बल: यह विद्युत क्षेत्र (E) के कारण एक चालक में स्थैतिक आवेश (Q) पर विद्युत बल होता है और इसे निम्न रूप में ज्ञात किया गया है,

F_e = EQ

चुंबकीय स्थैतिक बल: यह चुम्बकीय क्षेत्र (B) के कारण चालक में वेग (V) के साथ गतिमान एक आवेश पर चुम्बकीय बल होता है और इसे निम्न रूप में ज्ञात किया गया है,

F_m = Q (V × B)

लोरेंत्ज़ बल:

यदि एक गतिमान आवेश विद्युत क्षेत्र और चुम्बकीय क्षेत्र दोनों में मौजूद होता है, तो एक चालक में आवेश पर बल को लोरेंत्ज़ बल के रूप में जाना जाता है। 

F = F_e + F_m

F = EQ + Q (V × B)

इस समीकरण को लोरेंत्ज़ बल समीकरण के रूप में जाना जाता है। 

सूचना: सभी मोटे अक्षर सदिश हैं। 

अतः विद्युतचुम्बकीय तरंग लोरेंत्ज़ बल का अनुभव करते हैं जो विद्युत्स्थैतिक बल और चुंबकीय स्थैतिक बल का संयोजन है। 

अवधारणा:

चुंबकीय क्षेत्र B में आवेश q और वेग v वाले आवेश कण पर लोरेन्ट्ज़ बल निम्न प्रकार दिया जाता है:F=q(v×B)

वेग घटक:

कण के वेग v को दो घटकों में विघटित किया जा सकता है:
समान्तर घटक (v∥): यह घटक चुम्बकीय क्षेत्र B की दिशा के अनुदिश होता है।
लम्बवत घटक (v⊥): यह घटक चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा के लम्बवत होता है।

गणना:

चूँकि वेग सदिश के दो घटक होते हैं। एक चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश होता है और दूसरा उसके लंबवत होता है।

वेग के लंबवत घटक के कारण आवेश कण वृत्ताकार पथ में घूमता है।

तथा चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है।

इसलिए कण चुंबकीय क्षेत्र के अनुरूप कुंडलित पथ पर गति करेगा।

∴ विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

• लोरेंत्ज़ बल : एक चुंबकीय क्षेत्र B और विद्युत क्षेत्र E में वेग v के साथ घूमने वाले विद्युत आवेश q पर मूलभूत बल को चुंबकीय लोरेंट्ज़ बल कहा जाता है।

लोरेंत्ज़ बल विद्युत बल \(q\vec E\) और चुंबकीय शक्ति \(q\left( {\vec v \times \vec B} \right)\) का संयोजन है।

• इस प्रकार लोरेंत्ज़ बल निम्न द्वारा दिया गया है:

\(F = q\left[ {\vec E + \left( {\vec v \times \vec B} \right)} \right]\)

जहाँ q एक आवेश है, v = कण का वेग, B = चुंबकीय क्षेत्र और E विद्युत क्षेत्र है।

• जब एक आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश कर रहा होता है तब कण वृत्ताकार गति को निष्पादित करता है, वृत्ताकार गति को निष्पादित करने के लिए आवश्यक बल अभिकेन्द्री बल द्वारा प्रदान किया जाएगा।

\(qVB =\frac{mV^{2}}{r} \\ \Rightarrow r =\frac{mV}{qB}\)

• उपरोक्त समीकरण से, यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार गति की त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र और कण के द्रव्यमान पर निर्भर करती है

​

व्याख्या:

• वृत्ताकार गति की त्रिज्या को निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow r= \frac{mV}{qB} \)

• जब वेग दोगुना हो जाता है और चुंबकीय क्षेत्र आधा हो जाता है तो नई त्रिज्या R^' को निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow r^{'} = \frac{m 2V}{q \frac{B}{2}}\)

\(\Rightarrow r^{'} = 4\frac{m V}{q {B}{}}\)

\(\Rightarrow r^{'} = 4r\)

• जब वेग दोगुना हो जाता है और चुंबकीय क्षेत्र आधा हो जाता है तो नई त्रिज्या R' पहले की त्रिज्या से चार गुना अधिक होगी। इसलिए विकल्प 2 सही है।

सही विकल्प 4 है।

संकल्पना:

• चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल समीकरण द्वारा दिया जाता है, जो कण के आवेश पर निर्भर करता है। चूँकि न्यूट्रॉन अनावेशित होता है, इसलिए उस पर चुंबकीय बल का अनुभव नहीं होगा और वह अविक्षेपित गति करेगा।
• इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों आवेशित हैं, इसलिए उन पर चुंबकीय बल का अनुभव होगा। हालाँकि, चूँकि उन पर विपरीत आवेश होते हैं (इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित होता है, और प्रोटान धनात्मक आवेशित होता है), वे विपरीत दिशाओं में बलों का अनुभव करेंगे।
• चूँकि उनका संवेग समान है और आवेश विपरीत है, तो इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के वक्रीय पथ परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होंगे। न्यूट्रॉन, अनावेशित होने के कारण, अविक्षेपित गति करेगा।

संकल्पना :

• लारेन्ट्स बल को एक क्षेत्र में गति करते हुए आवेशित कण द्वारा अनुभव किए गए कुल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों मौजूद होते हैं।

• विद्युत क्षेत्र  E में एक आवेश q विद्युत बल अनुभव करता है। 

⇒ F_e = q E

• विद्युत बल कण के वेग से स्वतंत्र होता है।
• चुंबकीय क्षेत्र B में वेग v के साथ गति करने वाले आवेश q द्वारा अनुभव किया जाने वाला चुंबकीय बल निम्न द्वारा दिया जाता है

⇒ F_B = q(V×B)

• आवेश पर कार्यरत कुल बल(F_T)निम्न होगा 

⇒ F_T = F_e + F_B = q(E + (V × B))

जहाँ E =लागू किया गया विद्युत क्षेत्र, V= वेग, और  B= लागू किया गया चुंबकीय क्षेत्र

• कण पर कार्यरत कुल बल को लारेन्ट्ज बल कहते हैं।

स्पष्टीकरण:

• कण पर कार्यरत चुंबकीय बल निम्न द्वारा दिया जाता है 

⇒ F = q(V × B) = qVB Sinθ    

जहाँ θ कण और चुंबकीय क्षेत्र के वेग के बीच का कोण है। 

यहाँ θ = 0° चूँकि कण B के समानांतर गति कर रहा है।

• तब वस्तु पर कार्यरत कुल चुंबकीय बल शून्य होता है।
• आवेश पर कार्यरत विद्युत बल शून्येतर होता है और आवेश की गति की दिशा के विपरीत कार्यरत होता है।
• विद्युत बल आवेश के वेग को कम करेगा और इसलिए यह कण को धीमा कर देता है। इसलिए विकल्प 3 उत्तर है।

अवधारणा:

जब एक आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र से गुजरता है, तो वह अपने वेग और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत एक चुंबकीय बल का अनुभव करता है।

यह बल एक अभिकेन्द्रीय बल के रूप में कार्य करता है, जिससे कण एक वृत्ताकार पथ में गति करता है। चुंबकीय बल निम्न द्वारा दिया गया है:

F_B = qvB

जहाँ:

• q कण का आवेश है।
• v कण का वेग है।
• B चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।

वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल निम्न द्वारा दिया गया है:

F_C = \(\frac{mv^2}{r}\)

जहाँ:

• m कण का द्रव्यमान है।
• r वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।

कण के चुंबकीय क्षेत्र से गुजरने और ( x > b ) तक पहुँचने के लिए, वृत्ताकार पथ की त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र, क्षेत्र की चौड़ाई के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए (अर्थात \( r \geq (b - a) \)).

गणना:

चुंबकीय बल को अभिकेन्द्रीय बल के बराबर करें:

⇒ qvB = \(\frac{mv^2}{r}\)

त्रिज्या ज्ञात करने के लिए सरलीकृत करें:

⇒ r = \(\frac{mv}{qB}\)

कण के (x > b) क्षेत्र में प्रवेश करने के लिए, त्रिज्या को संतुष्ट करना चाहिए:

⇒ \(\frac{mv}{qB}\) ≥ (b - a)

न्यूनतम वेग (v) के लिए:

⇒\( v ≥ (\frac{qB(b - a)}{m})\)

कण के ( x > b ) क्षेत्र में प्रवेश करने के लिए आवश्यक वेग का न्यूनतम मान v = \(\frac{qB(b - a)}{m}\) है।

∴ सही विकल्प 2 है।

व्याख्या:

कण पर बल की दिशा उसके वेग (\( \vec{v} \)) और चुंबकीय क्षेत्र (\( \vec{B} \)) के सदिश गुणनफल द्वारा निर्धारित की जाती है।

चूँकि बल और \( \vec{v} \times \vec{B} \) की दिशा दोनों ऊपर की ओर हैं, इसलिए आवेश (\( q \)) धनात्मक होना चाहिए।

वृत्ताकार पथ की त्रिज्या:

चुंबकीय बल के अभिकेंद्रीय बल के रूप में कार्य करने के कारण कण एक वृत्ताकार पथ में गति करता है। इस पथ की त्रिज्या (\( R \)) पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना की जाती है, जिसमें त्रिज्या, पथ के सीधे भाग से केंद्र की दूरी (\( d \)) और सीधे भाग से कण की स्थिति की दूरी (\( a \)) द्वारा बनाया गया एक समकोण त्रिभुज माना जाता है।

पथ की त्रिज्या इस प्रकार दी गई है:

\( R = \frac{a^2 + d^2}{2d} \)

कण का संवेग:

चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान कण का संवेग (\( p \)) उसके आवेश (\( q \)), चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता (\( B \)) और उसके पथ की त्रिज्या (\( R \)) से साइक्लोट्रॉन सूत्र द्वारा संबंधित है:

\( p = qBR \)

\( R \) के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( p = \frac{qB(a^2 + d^2)}{2d} \)

सही उत्तर 2) :\( p = \frac{qB(a^2 + d^2)}{2d} \) है।