Mean and Variance of Binomial Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mean and Variance of Binomial Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

द्विपद बंटन का माध्य, \( \mu = 200 \)

द्विपद बंटन का प्रसरण, \( \sigma^{2} = 160 \)

एक द्विपद यादृच्छिक चर के लिए,

\( \mu = np \quad\text{और}\quad \sigma^{2} = np(1-p). \)

माध्य से,

\( np = 200 \;\Longrightarrow\; p = \dfrac{200}{n}. \)

प्रसरण का उपयोग करने पर,

\( np(1-p) = 160 \;\Longrightarrow\; n\bigl(\tfrac{200}{n}\bigr)\!\Bigl(1-\tfrac{200}{n}\Bigr)=160 \;\Longrightarrow\; 200\Bigl(1-\tfrac{200}{n}\Bigr)=160. \)

सरलीकरण करने पर,

\( 1-\tfrac{200}{n} = 0.8 \;\Longrightarrow\; \tfrac{200}{n} = 0.2 \;\Longrightarrow\; n = \dfrac{200}{0.2} = 1000. \)

∴ परीक्षणों की संख्या \( n = 1000 \) है।

गणना:

दिया गया है, 1 और 0 क्रमांक वाले तीन न्याय्य सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं।

∴ प्रतिदर्श समष्टि, S = {000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111}

⇒ n(S) = 8

मान लीजिए X ऊपरी फलक पर संख्याओं के योग को दर्शाता है।

P(X = 0) = 1/8

P(X = 1) = 3/8

P(X = 2) = 3/8

P(X = 3) = 1/8

∴ E(X) = \(\sum xP(X = x)\) = 0 x \(\frac{1}{8}\) + 1 x \(\frac{3}{8}\) + 2 x \(\frac{3}{8}\) + 3 x \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{3}{2}\)

साथ ही, E(X²) = \(\sum x^2P(X = x)\) = 0 x \(\frac{1}{8}\) + 1 x \(\frac{3}{8}\) + 4 x \(\frac{3}{8}\) + 9 x \(\frac{1}{8}\) = 3

∴ Var(X) = E(X2) - [E(X)]² = 3 - \(\frac{9}{4}\) = 0.75

∴ प्रसरण 0.75 है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

द्विपद बंटन:

• एक द्विपद बंटन को एक प्रयोग या सर्वेक्षण में SUCCESS या FAILURE के परिणाम की प्रायिकता के रूप में माना जा सकता है जो कई बार दोहराया जाता है।
• द्विपद एक प्रकार का बंटन है जिसके दो संभावित परिणाम हैं (उपसर्ग "द्वि" का अर्थ दो या दो बार है)।
• उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: चित्त या पट, और परीक्षा देने के दो संभावित परिणाम हो सकते हैं: सफल या ।

Key Points

द्विपद बंटन के निम्नलिखित गुणधर्म हैं:

• बंटन का माध्य (μ), np के बराबर होता है।
• प्रसरण (σ²), npq होता है।

जहाँ, n: द्विपद प्रयोग में परीक्षणों की संख्या।

p: एक व्यक्तिगत परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता।

q: एक व्यक्तिगत परीक्षण पर विफलता की प्रायिकता q = 1 - p)

गणना​:

प्रश्न के अनुसार, माध्य = 3 और प्रसरण = \(\frac{3}{2}\)

∴ np = 3 और npq = \(\frac{3}{2}\)

⇒ q = \(\frac{1}{2}\)

⇒ p = 1 - \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)

p का ​​मान माध्य में रखने पर,

\(n\times\frac{1}{2}=3\)

⇒ n = 6.

∴ परीक्षणों की संख्या = 6

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना

द्विपद बंटन:

• एक द्विपद बंटन को एक प्रयोग या सर्वेक्षण में सफलता या विफलता के परिणाम की प्रायिकता के रूप में माना जा सकता है जो कई बार दोहराया जाता है।
• द्विपद एक प्रकार का बंटन है जिसके दो संभावित परिणाम हैं (उपसर्ग "द्वि" का अर्थ दो या दुगना है)।
• उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने के केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: चित्त या पट, और परीक्षा देने के दो संभावित परिणाम हो सकते हैं: सफल या असफल।

Key Points

द्विपद बंटन के निम्नलिखित गुणधर्म हैं:

• बंटन का माध्य (μ), np के बराबर होता है।
• प्रसरण (σ2), npq होता है।

जहाँ, n: द्विपद प्रयोग में परीक्षणों की संख्या।

p: एक व्यक्तिगत परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता।

q: एक व्यक्तिगत परीक्षण पर विफलता की प्रायिकता 
(यह q = 1 - p के बराबर है)

गणना​:

एक द्विपद बंटन का प्रसरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

σ2 = npq

∴ मानक विचलन, σ = \(\sqrt{npq}\)

∴ एक द्विपद बंटन का मानक विचलन निम्न  द्वारा दिया जाता है, σ = \(\sqrt{npq}\)

सही उत्तर विकल्प 3 है। 

दिया गया है

n = 25

p = 0.2

q = 1 – p = 0.8 

सूत्र

द्विपद वितरण की विषमता β₁ है

β₁ = (q – p)/√(n × p × q)

p = सफल घटना की प्रायिकता

q = असफल घटना की प्रायिकता

गणना

β₁ = (0.8 – 0.2)/√(25 × 0.8 × 0.2)

⇒ 0.6/√(40

∴ चर X की विषमता 0.3 है। 

संकल्पना:

द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)

जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।

गुण:

• वितरण का माध्य (μ) = np
• प्रसरण (σ2x) = npq

गणना:

दिया हुआ:

माध्य μ = np = 8        ----(1)

प्रसरण σ2 = npq = 4       ----(2)

समीकरण (2) को (1) से विभाजित करके हम प्राप्त करते हैं

q = 1/2

जैसा कि हम जानते हैं, p + q = 1

⇒ p = 1 - q = 1/2

n के मान को समीकरण (1) में रखें, हम प्राप्त करते हैं

n = 16

अब

P(x = 1) = \(\rm ^{16}C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16-1}\)

\(=16 \times \frac{1}{2^{16}}\\=2^4 \times \frac{1}{2^{16}}\\=\frac{1}{2^{12}}\)

दिया गया है:

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X,Y को द्विपद रूप से बंटन किया जाता है तो इसका अर्थ है

X ~ B(n, p)

X ~ B(3, 1/3) और Y ~ B(5, 1/3)

यहां, B = द्विपद बंटन

n = प्रेक्षणों की संख्या

p = प्रायिकता

गणना:

चूंकि X और Y स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर हैं जिनमें p₁ = p₂ है = 1/3

द्विपद बंटन का गुण जोड़ने पर

⇒ X + Y ~ B(3 + 5, 1/3)

⇒ X + Y ~B(8,1/3)

हम जानते हैं कि, P(X + Y ≥ γ) = ⁸C_r(1/3)^r(2/3)^{8 - r}

⇒ P(X + Y ≥ 1) = 1 - P( X + Y < 1)

⇒ 1 - P(X + Y = 0)

∴ 1 - (2/3)⁸

धारणा:

• माध्य = μ = np
• \({\rm{Standard\;deviation}} = {\rm{\sigma }} = \sqrt {{\rm{npq}}} {\rm{\;}}\)

जहां n = परीक्षणों की संख्या; p = सफलता की प्रायिकता; q = (1-p) = विफलता की प्रायिकता

गणना:

दिया हुआ: माध्य = μ = np = 12

\({\rm{Standard\;deviation}} = {\rm{\sigma }} = \sqrt {{\rm{npq}}} = 2\)

∴ प्रसरण = σ² = npq = 4

⇒ 4 = np (1−p) = 12(1−p) 

 ⇒ 4/12 = (1−p) 

⇒ (1 – p) = 1/3

⇒ p = 1 – 1/3

∴ p = 2/3

फिर से; μ = np = 12

∴ n = 12/p = 12 × (3/2) = 18

अवधारणा:

प्रायिकता के द्विपद वितरण के लिए

• माध्य = np
• विचरण = npq

जहाँ n कुल मामलों की संख्या है, p अनुकूल मामलों की प्रायिकता है और q प्रतिकूल मामलों (1 - p) की प्रायिकता है 

गणना:

दिया गया है कि माध्य = np = \(2\over3\) और विचरण = npq = \(5\over9\)

\(\rm variance \over mean\)  = \({5\over9}\over{2\over3}\)

q = \(5\over6\)

p = 1 - q = \(1\over6\)

np = \(2\over3\)

n = 4

∴  प्रायिकता है कि यादृच्छिक चर D = 2

P = \(\rm {^nC_2}p^2q^{n-2}\)

P = \(\rm {^4C_2}\times\left({1\over6}\right)^2\times\left({5\over6}\right)^2\)

P = \(\rm 6\times{1\over36}\times{25\over36}\)

P = \(25\over216\)

संकल्पना:

प्रायिकता P(X = xi) = pi वाले एक यादृच्छिक चर X = xi के लिए:

• माध्य/अपेक्षित मान:​ μ = ∑p_ix_i.
• विचरण: Var(X) = σ² = ∑p_i(xi)² - (∑pixi)² = ∑pi(xi)2 - μ2.
• मानक विचलन: σ = \(\rm \sqrt{Var(X)}\).

गणना:

हमारे पास x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2 और p₁ = \(\dfrac{25}{36}\), p₂ = \(\dfrac{5}{18}\), p₃ = \(\dfrac{1}{36}\) है। 

∑pixi = \(\dfrac{25}{36}\times 0+\dfrac{5}{18}\times 1+\dfrac{1}{36}\times 2=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\).

∑pi(xi)2 = \(\dfrac{25}{36}\times 0^2+\dfrac{5}{18}\times 1^2+\dfrac{1}{36}\times 2^2=\dfrac{7}{18}\).

∴ Var(X) = σ² = ∑pi(xi)2 - (∑pixi)2 = \(\dfrac{7}{18}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{5}{18}\).

⇒ मानक विचलन = σ = \(\rm \sqrt{Var(X)}=\sqrt{\dfrac{5}{18}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{5}{2}}\).

संकल्पना:

अनुमानित माध्य:

E(x) = np  

गणना:

दिया गया है कि x ~ B ( n = 10, p)

E(x) = 8 

हम जानते हैं कि E(x) = np

⇒ np = 8 

⇒(10)p = 8

⇒ p = \(\rm\dfrac {8}{10}\)

⇒ p = 0.8

दिया गया है कि x ~ B ( n = 10, p) है, यदि E(x) = 8 है, तो P का मान 0.8 है। 

संकल्पना:

• माध्य = μ = np
• \({\rm{Standard\;deviation}} = {\rm{\sigma }} = \sqrt {{\rm{npq}}} {\rm{\;}}\)
• प्रसरण = npq

जहां n = परीक्षणों की संख्या; p = सफलता की प्रायिकता; q = (1-p) = विफलता की प्रायिकता

किसी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच है।

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं माध्य = μ = np

प्रसरण = npq

⇒ प्रसरण = μ × q

किसी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच है।

इसलिए 0 ≤ {p, q} ≤ 1

μ × q < μ

∴ माध्य > प्रसरण

संकल्पना:

द्विपद वितरण- द्विपद वितरण सूत्र निम्न है: P (X = r) = \({{\bf{n}}_{{{\bf{C}}_{\bf{r}}}}}{{\bf{p}}^{\bf{r}}}{{\bf{q}}^{{\bf{n}} - {\bf{r}}}}\)

P(X) = एक अलग प्रयास पर सफलता की प्रायिकता 

p = "सफलताओं" की प्रायिकता 

r = सफलताओं की संख्या 

q = "सफलताओं" की प्रायिकता या q = 1- p

n = प्रयासों की संख्या

• \({{\rm{n}}_{{{\rm{C}}_{\rm{r}}}}} = \frac{{{\rm{n}}!}}{{\left( {{\rm{n}} - {\rm{r}}} \right)!{\rm{r}}!}}\)

• माध्य = np
• प्रसरण = npq

गणना:

दिया हुआ: माध्य = 2, प्रसरण = 1

\(\frac{{{\rm{mean}}}}{{{\rm{varaince}}}} = \frac{{{\rm{np}}}}{{{\rm{npq}}}} = \frac{2}{1}\)

\(\Rightarrow {\rm{q}} = \frac{1}{2}\)

हम जानते हैं p + q = 1

इसलिए, p = 1 - ½ = ½

माध्य = 2

⇒ np = 2

⇒ n = 2/p

= 4

हम जानते हैं P(आवश्यक) = 1 – P (आवश्यक नहीं)

P (X > 1) = 1 – P (X = 0) – P (X = 1)

\( \Rightarrow 1 - {4_{{{\rm{C}}_0}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} - {4_{{{\rm{C}}_1}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\)    (P (X = r) = \({{\rm{n}}_{{{\rm{C}}_{\rm{r}}}}}{{\rm{p}}^{\rm{r}}}{{\rm{q}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}}\))

\( \Rightarrow 1 - \left( 1 \right)\left( 1 \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} - \left( 4 \right)\left( {\frac{1}{2}} \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\)         (∵ \({{\rm{n}}_{{{\rm{C}}_0}}} = 1{\rm{\;and\;}}{{\rm{n}}_{{{\rm{C}}_1}}} = {\rm{n}}\) )

\( \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{16}}} \right) - \frac{4}{{16}}\)

\(\Rightarrow 1 - \left( {\frac{5}{{16}}} \right)\)

\(\Rightarrow \left( {\frac{{11}}{{16}}} \right)\)

इसलिए, विकल्प (4) सही है

संकल्पना:

द्विपद वितरण: यदि यादृच्छिक चर X में मापदंड के रूप में n और p के साथ B (n, p) के रूप द्विपद वितरण है, तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता निम्न रूप में ज्ञात की जाती है:

P( X = k) = ⁿC_k p^k (1 - p)^{(n - k)}

जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है। 

गुण:

• वितरण का माध्य (μ_X) = n × p
• भिन्नता (σ²_x) = n × p × (1 - p)
• मानक विचलन (σ_x) = √{np(1 - p)}

गणना:

दिया गया है:

माध्य = n × p = 2/3    …. (1)

भिन्नता = n × p × (1 - p) = 5/9    …. (2)

समीकरण (1) को समीकरण (2) से विभाजित करने पर 

\(\frac{{{\rm{np}}\left( {1 - {\rm{p}}} \right)}}{{{\rm{np}}}} = \frac{{\frac{5}{9}}}{{\frac{2}{3}}}\)

⇒ (1 - p) = 5/6

⇒ p = 1/6

समीकरण (1) में p = 1/6 रखने पर 

n × (1/6) = 2/3

⇒ n = 4

अब, P(X = 2) = ⁴C₂ × (1/6)² × (1 - 1/6)^{(4 - 2)}

P(X = 2) = 6 × (1/6)² × (5/6)²

\(\Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{x}} = 2} \right) = \frac{{25}}{{{6^4}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{X}} = 2} \right) = \frac{{25}}{{216}}\)

दिया गया है

n = 25

p = 0.2

q = 1 – p = 0.8 

सूत्र

द्विपद वितरण की विषमता β₁ है

β₁ = (q – p)/√(n × p × q)

p = सफल घटना की प्रायिकता

q = असफल घटना की प्रायिकता

गणना

β₁ = (0.8 – 0.2)/√(25 × 0.8 × 0.2)

⇒ 0.6/√(40

∴ चर X की विषमता 0.3 है।