Parallelogram law MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Parallelogram law - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हमें दो सदिश दिए गए हैं जिनके परिमाण A = 3 इकाई और B = 4 इकाई हैं। उनके परिणामी का परिमाण 1 इकाई दिया गया है। हमें उनके क्रॉस उत्पाद के परिमाण का निर्धारण करने की आवश्यकता है।

दो सदिशों A और B के परिणामी R का परिमाण, जिनके बीच कोण है, निम्न द्वारा दिया जाता है:

इसका अर्थ है कि कोण .

दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद का परिमाण निम्न द्वारा दिया जाता है:

चूँकि :

इस प्रकार, विकल्प '4' सही है।

संकल्पना:

बलों के समांतर चतुर्भुज का नियम

इस नियम का उपयोग एक बिंदु पर कार्यरत दो समतलीय बलों के परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इसमें कहा गया है कि "यदि एक बिंदु पर कार्यरत दो बलों को समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न पक्षों द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है, तो उनके परिणाम को परिमाण और दिशा में समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है जो कि सामान्य बिंदु से गुजरता है।"

दो बल F1 और F2 जो बिंदु O पर कार्यरत हैं, उन्हे परिमाण और दिशा में, एक दूसरे के साथ  θ कोण पर प्रवृत्त निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा दर्शाया जाता है।

तब यदि समांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है,तो परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जाएगा।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है कि दो बल F₁ & F₂ एक दूसरे के बराबर और विपरीत हैं तो 

F₁ = F₂

 F₁ और F₂  के बीच का कोण_, θ = 180°

इसलिए, बलों के समांतर चतुर्भुज का नियम लागू करने से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं

      ...(∵ cos 180° = -1)

⇒ R = 0 N

सही उत्तर विकल्प "1" है।

अवधारणा:

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम:

• यदि दो सदिश एक बिंदु पर एक साथ कार्य कर रहे हैं, तो इसे समान्तर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में दर्शाया जा सकता है।
• परिणामी सदिश को उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिशा और परिमाण दोनों में पूरी तरह से दर्शाया जाता है।

• परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया गया है,

जहाँ P और Q = दो सदिशों का परिमाण, θ = P और Q के बीच का कोण

गणना:

दिया गया A = B = 5 N, और θ = 60°

• परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया गया है,

-----(1)

= 8.66 N

तो, उस द्रव्यमान बिंदु पर कार्यशील निवल बल का परिमाण 8.6 N के करीब है।

सही उत्तर विकल्प "1" है।

अवधारणा:

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम:

• यदि दो सदिश एक बिंदु पर एक साथ कार्य कर रहे हैं, तो इसे समान्तर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में दर्शाया जा सकता है।
• परिणामी सदिश को उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिशा और परिमाण दोनों में पूरी तरह से दर्शाया जाता है।

• परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया गया है,

जहाँ P और Q = दो सदिशों का परिमाण, θ = P और Q के बीच का कोण

गणना:

दिया गया A = B = 5 N, और θ = 60°

• परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया गया है,

-----(1)

= 8.66 N

तो, उस द्रव्यमान बिंदु पर कार्यशील निवल बल का परिमाण 8.6 N के करीब है।

संकल्पना:

सदिश:

• यह एक भौतिक मात्रा है, जिसके दो स्वतंत्र गुण परिमाण और दिशा हैं। 
• यह शब्द ऐसी मात्रा के गणितीय या ज्यामितीय निरूपण को भी दर्शाता है।
• प्रकृति में सदिशों के उदाहरण वेग, संवेग, बल, विद्युत चुंबकीय क्षेत्र और भार हैं।

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम

• सदिश योग को समांतर चतुर्भुज के नियम द्वारा भी समझा जा सकता है।
• नियम कहता है, "यदि एक बिंदु पर एक साथ काम करने वाले दो सदिश एक बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज के दो पक्षों द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाए जाते हैं, तब उनका परिणाम उस बिंदु से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा में दिया जाता है।”

• परिणामी का परिमाण  द्वारा दिया जाता है, जहाँ A और B सदिश हैं, θ = दो सदिशों A और B के बीच का कोण है।

गणना:

यहाँ, F1 = 5N, F2 = 5N, कोण, θ = 180º - 60º = 120º

परिणामी बल की गणना इस प्रकार की जा सकती है,

अतः परिणामी बल 5N है।

बलों का समांतर चतुर्भुज का नियम:

इस नियम का उपयोग एक बिंदु पर काम करने वाले दो समतलीय बलों के परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इसके अनुसार यदि दो बल, जो एक बिंदु पर कार्य करते हैं, समानांतर चतुर्भुज के दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा के रूप मे दर्शाये जाते हैं तो उनके परिणामी को दो आसन्न बलों के बीच में निहित समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा के रूप में दर्शाया जाएगा, जो कि एक उभयनिष्ठ बिंदु से होकर गुजरता है।"

मान लीजिए एक दूसरे के साथ कोण θ पर झुकी हुई निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा परिमाण और दिशा में निरूपित दो बल F1 और F2, बिंदु O पर कार्य कर रहे हैं।

तब यदि समांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है, परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जाएगा।

गणना:

F1 = 3 kN, F2 = 4 kN, θ = 60° 

FR = (32 + 42 + 2 × 3 × 4 cos 60)1/2

FR = 6.08 kN

अवधारणा:

• सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम: इसका उपयोग दो सदिश राशियों को जोड़ने के लिए किया जाता है।

R2 = A2 + B2 +2ABcosθ 

जहाँ A और B दो सदिश राशियाँ हैं; θ = दो सदिश राशियों के बीच का कोण

tan α = (Bsinθ)/(A + Bcosθ)  

जहाँ α परिणामी और सदिश के बीच का कोण है

गणना 

दिया गया है कि:

VB = 8 Km/h; VBR = 10 Km/h

जहाँ V_B = नाव का वेग; VBR = नाव और नदी का परिणामी वेग; VR = नदी का वेग

नदी के वेग और नाव के वेग के बीच का कोण 90° है; θ = 90°

सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा

VBR2 = VB2 + VR2 + (2VBVRcosθ)

102 = 82 + VR2 + (2 × 8 × VR ×  cos(90°))

VR2 = 100 - 64 

VR = 6 Km/h

अतः विकल्प 1 सही है।

Mistake Points

• कोण का मान हमेशा डिग्री में रखें।

संकल्पना:

सदिश:

• यह एक भौतिक मात्रा है, जिसके दो स्वतंत्र गुण परिमाण और दिशा हैं। 
• यह शब्द ऐसी मात्रा के गणितीय या ज्यामितीय निरूपण को भी दर्शाता है।
• प्रकृति में सदिशों के उदाहरण वेग, संवेग, बल, विद्युत चुंबकीय क्षेत्र और भार हैं।

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम

• सदिश योग को समांतर चतुर्भुज के नियम द्वारा भी समझा जा सकता है।
• नियम कहता है, "यदि एक बिंदु पर एक साथ काम करने वाले दो सदिश एक बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज के दो पक्षों द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाए जाते हैं, तब उनका परिणाम उस बिंदु से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा में दिया जाता है।”

• परिणामी का परिमाण  द्वारा दिया जाता है, जहाँ A और B सदिश हैं, θ = दो सदिशों A और B के बीच का कोण है।

गणना:

यहाँ, F1 = 5N, F2 = 5N, कोण, θ = 180º - 60º = 120º

परिणामी बल की गणना इस प्रकार की जा सकती है,

अतः परिणामी बल 5N है।

सही उत्तर विकल्प "1" है।

अवधारणा:

सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम:

• यदि दो सदिश एक बिंदु पर एक साथ कार्य कर रहे हैं, तो इसे समान्तर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा दोनों में दर्शाया जा सकता है।
• परिणामी सदिश को उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिशा और परिमाण दोनों में पूरी तरह से दर्शाया जाता है।

• परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया गया है,

जहाँ P और Q = दो सदिशों का परिमाण, θ = P और Q के बीच का कोण

गणना:

दिया गया A = B = 5 N, और θ = 60°

• परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया गया है,

-----(1)

= 8.66 N

तो, उस द्रव्यमान बिंदु पर कार्यशील निवल बल का परिमाण 8.6 N के करीब है।

संकल्पना:

• किसी वस्तु पर लगाया गया बल वस्तु के द्रव्यमान और जिस दर पर यह त्वरित होता है, उसके समानुपातिक होता है ।
• F = m × a
• और सदिश मात्रा को उसकी अदिश मात्रा में परिवर्तित करने के लिए, इसे निम्न प्रकार दिया जा सकता है

यहाँ x, y, और z  क्रमशः X, Y, और Z-अक्ष के साथ सदिश r का परिमाण है।

गणना:

दिया गया है कि,

त्वरित (a) = 5 m/s²

इसलिए, बल का परिमाण होगा

अब बल को द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के रुप में दर्शाया जाता है,

अर्थात्, F = m × a ⇒ m = F / a

बल के समानांतर चतुर्भुज का नियम

इस नियम का प्रयोग एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो समतलीय बलों के परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

यह बताता है कि "यदि एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो बलों को एक समानांतर चतुर्भुज के दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा के रूप में दर्शाया जाता है, तो उनके परिणामी राशि को एक सामान्य बिंदु के माध्यम से समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा के रूप में दर्शाया जाता है।"

माना कि बिंदु O पर कार्य करने वाले दो बल F₁ और F₂ को एक-दूसरे के साथ कोण θ पर प्रवृत्त निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है।

फिर यदि समानांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है, तो परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जायेगा।

संकल्पना :

वेक्टर जोड़ के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,

गणना:

माना दोनों बल को F और F' हैं।

 F = F' प्रश्न के अनुसार 

इन दोनों बलों के परिणामी का परिमाण इन दोनों बलों में से किसी एक के बराबर है।

अतः, F = F' = R।

माना F और  F' के बीच का कोण  θ है 

वेक्टर जोड़ के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,

दोनों पक्षों का वर्ग करके :

⇒ cosθ = -1/2

∴ θ = 120° 

सही विकल्प- 4

अवधारणा:-

बल:-

• बल एक बाहरी कारण है जो किसी विशेष वस्तु की गति या विराम की स्थिति को बदलने में सक्षम है।
• बल एक सदिश राशि है। तो इसमें परिमाण और दिशा दोनों हैं।
• जिस दिशा में बल लगाया जाता है उसे बल की दिशा कहा जाता है और जिस बिंदु पर बल लगाया जाता है उसे अनुप्रयोग बिंदु कहा जाता है।
• आमतौर पर, बल के परिमाण को स्प्रिंग संतुलन का उपयोग करके मापा जाता है।
• बल का SI मात्रक न्यूटन (N) है।
• भौतिक मात्रा बल को त्वरण (a) के साथ द्रव्यमान (m) के उत्पाद द्वारा निर्धारित किया जाता है।
• बल को गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: -

F = ma

जहाँ,

m = द्रव्यमान
a = त्वरण
इसे न्यूटन (N ) या Kg m/s 2 में व्यक्त किया गया है।

गणना:-

दिया हुआ है कि-

मान ,  के बीच का कोण हैं

और

अब,

सदिश योग के लिए समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करके

अत: विकल्प -4 सही है।

समांतर चतुर्भुज का नियम :-

• जब दो सदिश एक बिंदु पर एक साथ कार्य कर रहे हों, तो इसे दोनों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

एक बिंदु से खींची गई आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में।

• अतः परिणामी सदिश दिशा और दोनों में पूर्णतः निरूपित होता है

बिंदु से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण।

मान लीजिए R दो सदिशों P और Q का परिणामी है।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, परिणामी R 
समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है, जिसकी P और Q आसन्न भुजाएँ हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

R का परिमाण निम्न द्वारा दिया गया है

जहाँ,

, P और Q के बीच का कोण है।

संकल्पना:

बलों के समांतर चतुर्भुज का नियम

इस नियम का उपयोग एक बिंदु पर कार्यरत दो समतलीय बलों के परिणाम को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इसमें कहा गया है कि "यदि एक बिंदु पर कार्यरत दो बलों को समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न पक्षों द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाता है, तो उनके परिणाम को परिमाण और दिशा में समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है जो कि सामान्य बिंदु से गुजरता है।"

दो बल F1 और F2 जो बिंदु O पर कार्यरत हैं, उन्हे परिमाण और दिशा में, एक दूसरे के साथ  θ कोण पर प्रवृत्त निर्देशित रेखा OA और OB द्वारा दर्शाया जाता है।

तब यदि समांतर चतुर्भुज OACB पूरा हो जाता है,तो परिणामी बल R को विकर्ण OC द्वारा दर्शाया जाएगा।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है कि दो बल F₁ & F₂ एक दूसरे के बराबर और विपरीत हैं तो 

F₁ = F₂

 F₁ और F₂  के बीच का कोण_, θ = 180°

इसलिए, बलों के समांतर चतुर्भुज का नियम लागू करने से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं

      ...(∵ cos 180° = -1)

⇒ R = 0 N

अवधारणा:

दो सदिश का परिणामी निम्न द्वारा दिया गया है:

R2 = (A2 + B2 + 2AB cosθ) 

जहाँ R परिणामी सदिश है, A और B दो सदिश हैं, और θ दो सदिशों के बीच का कोण है।​

गणना:

दिया गया है

A = B = a और R = a

हम जानते हैं कि

R = √(A2 + B2 + 2AB cosϕ) 

φ = 

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।