Solutions of Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solutions of Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

ऑयलर विधि: \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\)

व्याख्या:

दिया गया है,

अवकल समीकरण \( y'(x) = x(y(x) + 1)\)

प्रारंभिक स्थिति \(y(0) = \beta\) और पद आकार \(h = 0.1\)

अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर सन्निकट हल का मान 1.02 है।

हमें \( \beta \) का मान ज्ञात करना है।

ऑयलर विधि प्रारंभिक मान समस्याओं के हल के सन्निकटन के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है।

ऑयलर विधि का सूत्र \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\) है

इस समस्या में दिया गया व्युत्पन्न \(y'(x) = x(y(x) + 1\)) है, इसलिए \(f(x, y) = x(y + 1) \).

हमें दिया गया है कि \( h = 0.1\) और \( x = 0.2 \) पर \(y\) के मान की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए \(x = 0 \) से शुरू करते हुए, पुनरावृति द्वारा ऑयलर विधि को लागू करें।

प्रारंभिक स्थिति:

\( x = 0\) पर, हमारे पास \(y(0) = \beta \) है

\(y_1 = y_0 + h f(0, y_0)\)

⇒ \(y_1 = \beta + 0.1 \times 0(\beta + 1)\)
\(\Rightarrow y_1 = \beta\)

इसलिए, पहले चरण के बाद, \(y_1 = \beta\) .

\(y_2 = y_1 + h f(0.1, y_1)\)

⇒ \(y_2 = \beta + 0.01\beta + 0.01\)

⇒ \(y_2 = 1.01\beta + 0.01\)

हमें दिया गया है कि \(x = 0.2 \) पर \(y_2 = 1.02\) है।

समीकरण \(y_2 = 1.02 \) से, हम जानते हैं कि \(1.01\beta + 0.01 = 1.02\)

⇒ \(1.01\beta = 1.02 - 0.01\)

⇒ \(1.01\beta = 1.01\)

⇒ \(\beta = \frac{1.01}{1.01} = 1 \)

\(\beta \) का मान 1 है।

इसलिए विकल्प 4) सही है।

संकल्पना:

यूलर की विधि से,

y1 = y0 + h f(x0,y0)

जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0

गणना:

समीकरण पर विचार करें, \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = x2y – 1 = f(x,y)

यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1

अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9

अवधारणा:

फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:

y' = f (x, y), y(x₀) = y₀

y_{n + 1} = y_n + h f(x_n, y_n)

गणना:

हमारे पास है,

x₀ =  0, y₀ = 1 , h = 0.1

x₁ = x₀ + h

n = 0 के लिए 

⇒ y₁ = y₀ + hf(x_n, y_n)

⇒ y₁ = 1 - 0.1 ×  (0 - 1)²

⇒ y₁ = 1 - 0.1

⇒ y₁ = 0. 9

n = 1 के लिए 

⇒ y₂ = y₁ + hf(x₁ - y₁²)

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)²]

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]

⇒ y₂ = 0.9 - 0.1 ×  0.71

⇒ y₂ = 0.9 - 0.071

⇒ y₂ = 0. 829

⇒ y₂ = 0.83

∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है

अवधारणा:

फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:

y' = f (x, y), y(x₀) = y₀

y_{n + 1} = y_n + h f(x_n, y_n)

गणना:

हमारे पास है,

x₀ =  0, y₀ = 1 , h = 0.1

x₁ = x₀ + h

n = 0 के लिए 

⇒ y₁ = y₀ + hf(x_n, y_n)

⇒ y₁ = 1 - 0.1 ×  (0 - 1)²

⇒ y₁ = 1 - 0.1

⇒ y₁ = 0. 9

n = 1 के लिए 

⇒ y₂ = y₁ + hf(x₁ - y₁²)

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)²]

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]

⇒ y₂ = 0.9 - 0.1 ×  0.71

⇒ y₂ = 0.9 - 0.071

⇒ y₂ = 0. 829

⇒ y₂ = 0.83

∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है

संकल्पना:

यूलर की विधि से,

y1 = y0 + h f(x0,y0)

जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0

गणना:

समीकरण पर विचार करें, \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = x2y – 1 = f(x,y)

यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1

अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9

गणना:

दिया गया है,

(1 + 3x) dy – (1 – 3y) dx = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\( = - \frac{1}{3}\log \left( {1 - 3y} \right) = \frac{1}{3}\log \left( {1 + 3x} \right) + c\)      ---(A)

प्रारंभ में, y = 0; x = 1 समीकरण (A) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है–

⇒ \(c = - \frac{1}{3}\log 4\)  समीकरण (A) में रखने पर

⇒ \( - \frac{1}{3}\log \left( {1 - 3y} \right) = \frac{1}{3}\log \left( {1 + 3x} \right) - \frac{1}{3}\log 4\)

⇒ \(\log 4 = \log \left( {1 + 3x} \right) \cdot \left( {1 - 3y} \right)\)

⇒ 4 = 1 – 3y + 3x – 9xy

⇒ 3x – 3y - 9xy = 3

⇒ x – y – 3xy = 1

संकल्पना:

यूलर की विधि से,

y1 = y0 + h f(x0,y0)

जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0

गणना:

समीकरण पर विचार करें, \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = x2y – 1 = f(x,y)

यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1

अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9

संकल्पना:

पैरामीटर की भिन्नता की विधि

रूप y'' + py' + qy = X का समीकरण, जहाँ p, q, और X x के फलन हैं।

उपरोक्त समीकरण का पूरक फलन CF = C1y1(x) + C2y2(x) है

विशेष समाकल \(PI=-y_1\int \frac{{y_2}X}{W}dx\;+\;y_2\int \frac{{y_1}X}{W}dx\) द्वारा दिया जाता है

जहाँ \(W(y_1,y_2)(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}\\ {y_1'}&{y_2'} \end{array}} \right| \) को Y ₁ और y ₂ का रोंस्कियन (Wronskian) कहा जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

y'' + y = sec x

उपरोक्त समीकरण का पूरक फलन y'' + y = 0 द्वारा दिया जाता है।

∴ D2 + 1 = 0

या D = ± i

∴ C.F = C1cos x + C2sin x

∴ y1(x) = cos x और y2(x) = sin x

\(\therefore W= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}\\ {y_1'}&{y_2'} \end{array}} \right| \)

\(\therefore W= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{cos\;x}}&{{sin\;x}}\\ {-sin\;x}&{cos\;x} \end{array}} \right| \Rightarrow cos^2\;x\;+\;sin^2\;x=1\)

\(PI=-y_1\int \frac{{y_2}X}{W}dx\;+\;y_2\int \frac{{y_1}X}{W}dx\)

\(\therefore-cos\;x\int \frac{{sin\;x}\;sec\;x}{1}dx\;+\;sin\;x\int \frac{{cos\;x}\;sec\;x}{1}dx\)

\(\therefore-cos\;x\int tan\;x\;dx\;+\;sin\;x\int dx\)

खंडशः द्वारा हल करके PI = cos x ln (cos x) + x sin x

इसलिए, पूर्ण समाधान y = CF + PI है

यानी y = C1cos x + C2sin x + cos x ln (cos x) + x sin x

या, y = {C1 + ln (cos x)}cos x + (C2 + x)sin x

संकल्पना:

जैसा कि हम उपरोक्त तालिका से देख सकते हैं, एक साधारण अवकल समीकरण को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि रुंगे-कुट्टा विधि है और ऊपर दिया गया समीकरण अर्थात \(\dfrac{dy}{dx} = f(x,y)\) क्रमशः परिवर्तित प्रवाह के लिए एक साधारण अवकल समीकरण है।

इसलिए, उपरोक्त समीकरण का हल ज्ञात करने के लिए रुंगे-कुट्टा विधि का उपयोग किया जा सकता है।

गॉस-सीडल विधि →  रैखिक बीजीय समीकरण

फॉरवर्ड न्यूटन-गॉस विधि → अंतर्वेशन

रनगे-कुट्टा विधि → अरैखिक अवकलन समीकरण

 समलम्बाकार नियम → संख्यात्मक समाकलन 

संप्रत्यय:

ऑयलर विधि: \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\)

व्याख्या:

दिया गया है,

अवकल समीकरण \( y'(x) = x(y(x) + 1)\)

प्रारंभिक स्थिति \(y(0) = \beta\) और पद आकार \(h = 0.1\)

अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर सन्निकट हल का मान 1.02 है।

हमें \( \beta \) का मान ज्ञात करना है।

ऑयलर विधि प्रारंभिक मान समस्याओं के हल के सन्निकटन के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है।

ऑयलर विधि का सूत्र \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\) है

इस समस्या में दिया गया व्युत्पन्न \(y'(x) = x(y(x) + 1\)) है, इसलिए \(f(x, y) = x(y + 1) \).

हमें दिया गया है कि \( h = 0.1\) और \( x = 0.2 \) पर \(y\) के मान की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए \(x = 0 \) से शुरू करते हुए, पुनरावृति द्वारा ऑयलर विधि को लागू करें।

प्रारंभिक स्थिति:

\( x = 0\) पर, हमारे पास \(y(0) = \beta \) है

\(y_1 = y_0 + h f(0, y_0)\)

⇒ \(y_1 = \beta + 0.1 \times 0(\beta + 1)\)
\(\Rightarrow y_1 = \beta\)

इसलिए, पहले चरण के बाद, \(y_1 = \beta\) .

\(y_2 = y_1 + h f(0.1, y_1)\)

⇒ \(y_2 = \beta + 0.01\beta + 0.01\)

⇒ \(y_2 = 1.01\beta + 0.01\)

हमें दिया गया है कि \(x = 0.2 \) पर \(y_2 = 1.02\) है।

समीकरण \(y_2 = 1.02 \) से, हम जानते हैं कि \(1.01\beta + 0.01 = 1.02\)

⇒ \(1.01\beta = 1.02 - 0.01\)

⇒ \(1.01\beta = 1.01\)

⇒ \(\beta = \frac{1.01}{1.01} = 1 \)

\(\beta \) का मान 1 है।

इसलिए विकल्प 4) सही है।

संकल्पना:

रुंगा-कुटा विधि (R-K विधि):

स्थिति y(x0) = y0 के साथ \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = f(x, y) हल करने पर

• माना कि 'h', x के समतुल्य मानों के बीच के अंतराल को दर्शाता है। 
• यदि प्रारंभिक मान (x0 , y0) हैं। 
• तो y में पहले वृद्धि की गणना दिए गए सूत्र से की गयी है,

k1 = h f(x0 , y0)

k2 = h f(x0 + \(\frac{{h}}{{2}}\), y0 + \(\frac{{k_1}}{{2}}\))

k3 = h f(x0 + \(\frac{{h}}{{2}}\), y0 + \(\frac{{k_2}}{{2}}\))

k4 = h f(x0 + h, y0 + k3)

Δy = \(\frac{{1}}{{6}}\)(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

y1 = y0 + Δy

जहाँ,

Δy, y में परिवर्तन है। 

y0, y का प्रारंभिक मान है। 

y1, y का परिवर्तित मान है। 

गणना:

दिया गया है:

x0 = 0; y0 = 1; h = 0.2;

f(x, y) = x + y;

k1 = h f(x0 , y0) = 0.2 (0 + 1) = 0.2;

k2 = h f(x0 + \(\frac{{h}}{{2}}\), y0 + \(\frac{{k_1}}{{2}}\)) = 0.2 × f(0 + 0.1, 1 + 0.1) = 0.2 × f(0.1, 1.1)

⇒ k2 = 0.2 × (0.1 + 1.1) = 0.24;

k3 = h f(x0 + \(\frac{{h}}{{2}}\), y0 + \(\frac{{k_2}}{{2}}\)) = 0.2 × f(0 + 0.1, 1 + 0.12) = 0.2 × f(0.1, 1.12)

⇒ k3 = 0.244;

k4 = h f(x0 + h, y0 + k3) = 0.2 × f(0 + 0.2, 1 + 0.244) = 0.2 × f(0.2,1.244)

⇒ k4 = 0.2888;

Δy = \(\frac{{1}}{{6}}\)(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

⇒ Δy = 1/6 (0.2 + (2 × 0.24) + (2 × 0.244) + 0.2888) = 0.2428;

Now 

y1 = y0 + Δy

⇒ y1 = 1 + 0.2428 = 1.24

संकल्पना:

रनगे-कुट्टा चतुष्कोटि विधि 

\(\frac{{dx}}{{dt}} = f\left( {t,x} \right)\)

x(t_o) = x_o

t_n = t_o + nΔt

जहाँ Δt सोपान आमाप है, n = 1,2,3 ..

K₁ = Δt × f(t_o,x_o)

\({K_2} = {\rm{Δ }}t × f\left( {{t_o} + \frac{{{\rm{Δ }}t}}{2},{x_o} + \frac{{{K_1}}}{2}} \right)\)

\({K_3} = {\rm{Δ }}t × f\left( {{t_o} + \frac{{{\rm{Δ }}t}}{2},{x_o} + \frac{{{K_2}}}{2}} \right)\)

K₄ = Δt × f(t_o + Δt, x_o + K₃)

\(K = \frac{1}{6}\left( {{K_1} + 2{K_2} + 2{K_3} + {K_4}} \right)\)

जहाँ K, x में वृद्धि है।

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dt}}}} = 4{\rm{t}} + 4\) = f(t,x)

t = 0,  x = x_o पर 

Δt = 0.2

f(t,x) x के मान पर निर्भर नहीं करता क्योंकि यह केवल t का फलन है।

K₁ =  Δt × f(t_o,x_o) = 0.2 × f(0,x_o) = 0.2 × 4 = 0.8

\({{\rm{K}}_2} = \Delta t×{\rm{f}}\left( {{{\rm{t}}_o} + \frac{{\rm{Δ t}}}{2},{{\rm{x}}_o} + \frac{1}{2}{{\rm{K}}_1}{\rm{}}} \right)\)

K₂ = Δt × f(0 + 0.1,x_o + 0.4) = Δt × f(0.1,x_o + 0.4) = 0.2 × {4(0.1) + 4} = 0.88

\({{\rm{K}}_3} = \Delta t× {\rm{f}}\left( {{{\rm{t}}_o} + \frac{{\rm{Δ t}}}{2},{{\rm{x}}_o} + \frac{{{{\rm{K}}_2}{\rm{}}}}{2}} \right)\)

K₃ = Δt × f{t_o + 0.1,x_o + (0.44)} = Δt × f(0.1,x_o + 0.44) = 0.2 × {4(0.1) + 4} = 0.88

K₄ = Δt × f(t_o + Δt,x_o + K₃)

K₄ = Δt × f(0 + 0.2,x_o + 0.88) = Δt × f(0.2,x_o + 0.88) = 0.2 × {4(0.2) + 4} = 0.96

x (K) में वृद्धि

\(K = \frac{1}{6}\left( {{K_1} + 2{K_2} + 2{K_3} + {K_4}} \right)\)

\(K = \frac{1}{6}\left\{ {0.8 + \left( {2 \times 0.88} \right) + \left( {2 \times 0.88} \right) + 0.96} \right\}\)

K = 0.88

अवधारणा:

फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:

y' = f (x, y), y(x₀) = y₀

y_{n + 1} = y_n + h f(x_n, y_n)

गणना:

हमारे पास है,

x₀ =  0, y₀ = 1 , h = 0.1

x₁ = x₀ + h

n = 0 के लिए 

⇒ y₁ = y₀ + hf(x_n, y_n)

⇒ y₁ = 1 - 0.1 ×  (0 - 1)²

⇒ y₁ = 1 - 0.1

⇒ y₁ = 0. 9

n = 1 के लिए 

⇒ y₂ = y₁ + hf(x₁ - y₁²)

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)²]

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]

⇒ y₂ = 0.9 - 0.1 ×  0.71

⇒ y₂ = 0.9 - 0.071

⇒ y₂ = 0. 829

⇒ y₂ = 0.83

∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है

गणना:

दिया गया है,

(1 + 3x) dy – (1 – 3y) dx = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\( = - \frac{1}{3}\log \left( {1 - 3y} \right) = \frac{1}{3}\log \left( {1 + 3x} \right) + c\)      ---(A)

प्रारंभ में, y = 0; x = 1 समीकरण (A) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है–

⇒ \(c = - \frac{1}{3}\log 4\)  समीकरण (A) में रखने पर

⇒ \( - \frac{1}{3}\log \left( {1 - 3y} \right) = \frac{1}{3}\log \left( {1 + 3x} \right) - \frac{1}{3}\log 4\)

⇒ \(\log 4 = \log \left( {1 + 3x} \right) \cdot \left( {1 - 3y} \right)\)

⇒ 4 = 1 – 3y + 3x – 9xy

⇒ 3x – 3y - 9xy = 3

⇒ x – y – 3xy = 1