Trigonometric Ratios MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Ratios - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

हमें दिया गया है:

\( p = \tan(2\alpha) - \tan(\alpha) \)

\( q = \cot(\alpha) - \cot(2\alpha) \)

हमें p और q के पदों में \(\tan^2(\alpha) \) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

हम \(\frac{p}{p + 2q} \) व्यंजक को सरल करके शुरू करते हैं

\( \frac{p}{p + 2q} = \frac{1}{1 + \frac{2q}{p}} \)

यह आगे निम्नवत सरल हो जाता है:

\( \frac{1}{1 + \frac{2}{\tan(\alpha) \cdot \tan(2\alpha)}} \)

अब, हर के अंदर के भिन्न को सरल करें:

\( = \frac{1}{1 + \frac{2}{\tan(\alpha) \cdot \tan(2\alpha)}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2} \cdot \tan(\alpha) \cdot \tan(2\alpha)} \)

अब, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके दोनों पदों का प्रसार करें:

\( = \frac{\sin(\alpha) \cdot \sin(2\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) + \cos(\alpha) \cdot \cos(2\alpha)} \)

इस व्यंजक को सरल करने पर मिलता है:

\( = \tan^2(\alpha) \)

∴ सही उत्तर विकल्प (c) है। 

गणना:

हमें दिया गया है:

\( p = \tan(2\alpha) - \tan(\alpha) \)

\( q = \cot(\alpha) - \cot(2\alpha) \)

हमें p + q ज्ञात करना है।

\( p + q = \left( \frac{\sin^2(2\alpha) - \cos^2(2\alpha)}{\sin(2\alpha) \cdot \cos(2\alpha)} \right) + \left( \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)} \right) \)

दोनों पदों को सरल करने पर:

\( = \frac{-2\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} + \frac{2\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} \)

अब, गुणनखंडन और आगे सरलीकरण करने पर:

\( = \frac{2(\sin(4\alpha) \cdot \cos(2\alpha) - \cos(4\alpha) \cdot \sin(2\alpha))}{\sin(4\alpha) \cdot \sin(2\alpha)} \)

ज्या सर्वसमिका को पहचानने पर, हमें मिलता है:

\( = \frac{2 \sin(4\alpha - 2\alpha)}{\sin(4\alpha) \cdot \sin(2\alpha)} \)

अंत में, इसे सरल करने पर:

\( = \frac{2 \sin(2\alpha)}{\sin(4\alpha) \cdot \sin(2\alpha)} \)

अंतिम परिणाम: \( p + q = 2 \csc (4\alpha) \) है। 

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

व्याख्या:

हमें दिया गया है:

\( p = \tan(2\alpha) - \tan(\alpha) \)

\( q = \cot(\alpha) - \cot(2\alpha) \)

चूँकि \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} \) है, इसलिए हम q को स्पर्शज्या के पदों में लिखते हैं

\( q = \frac{1}{\tan(\alpha)} - \frac{1}{\tan(2\alpha)} \)

अब हम \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} \) की गणना करते हैं

\( \frac{p}{q} = \frac{\tan(2\alpha) - \tan(\alpha)}{\frac{1}{\tan(\alpha)} - \frac{1}{\tan(2\alpha)}} \)

अब, हम q के लिए एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं:

\( \frac{1}{\tan(\alpha)} - \frac{1}{\tan(2\alpha)} = \frac{\tan(2\alpha) - \tan(\alpha)}{\tan(\alpha) \cdot \tan(2\alpha)} \)

\(\frac{p}{q} \) के सूत्र में इसे प्रतिस्थापित करने पर,

\( \frac{p}{q} = \frac{\tan(2\alpha) - \tan(\alpha)}{\frac{\tan(2\alpha) - \tan(\alpha)}{\tan(\alpha) \cdot \tan(2\alpha)}} \)

सरलीकरण करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\( \frac{p}{q} = \tan(\alpha) \cdot \tan(2\alpha) \)

∴ सही उत्तर विकल्प (c): \( \tan(\alpha) \cdot \tan(2\alpha) \) है। 

दिया गया है:

f(p) = sin^{p + 2}x + cos^{p + 2}x

गणना:

6f(2) - 4f(4) + 10f(0) का मान ज्ञात करने के लिए, पहले p = 2, p = 4 और p = 0 के लिए f(p) की गणना करते हैं:

p = 2 के लिए:

f(2) = sin⁴x + cos⁴x

p = 4 के लिए:

f(4) = sin⁶x + cos⁶x

p = 0 के लिए:

f(0) = sin²x + cos²x

हम जानते हैं कि sin²x + cos²x = 1

sin⁴x + cos⁴x के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:

sin⁴x + cos⁴x = (sin²x + cos²x)² - 2sin²x cos²x

sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2sin²x cos²x

सर्वसमिका sin²x cos²x = (1/4)sin²(2x) का उपयोग करने पर:

sin⁴x + cos⁴x = 1 - (1/2)sin²(2x)

sin⁶x + cos⁶x ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:

sin⁶x + cos⁶x = (sin²x + cos²x)³ - 3sin²x cos²x(sin²x + cos²x)

sin⁶x + cos⁶x = 1 - 3(sin²x cos²x)

sin⁶x + cos⁶x = 1 - (3/4)sin²(2x)

अब 6f(2) - 4f(4) + 10f(0) की गणना करते हैं:

6f(2) = 6(sin⁴x + cos⁴x) = 6(1 - (1/2)sin²(2x))

4f(4) = 4(sin⁶x + cos⁶x) = 4(1 - (3/4)sin²(2x))

10f(0) = 10(sin²x + cos²x) = 10

संयोजित करने पर:

6f(2) - 4f(4) + 10f(0)

= 6[1 - (1/2)sin²(2x)] - 4[1 - (3/4)sin²(2x)] + 10

= 6 - 3sin²(2x) - 4 + 3sin²(2x) + 10

= 6 - 4 + 10

= 12

6f(2) - 4f(4) + 10f(0) का अभीष्ट मान 12 है।

अवधारणा:

सूत्र: 2sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)

cos c + cod d = 2cos\(c+d\over2\)cos\(c-d\over2\)

स्पष्टीकरण​:

sin 10°·sin 50° + sin 50°·sin 250° + sin 250°·sin 10° 

= \(\frac12\) (2sin 10°·sin 50° + 2sin 50°·sin 250° + 2sin 250°·sin 10°)

= \(\frac12\)(cos 40° - cos 60° + cos 200° - cos 300° + cos 240° - cos 260°)

= \(\frac12\){cos 40° - \(\frac12\) + cos 200° - cos (360° - 60°) + cos (180° + 60°) - cos 260°} 

= \(\frac12\){cos 40° - \(\frac12\) + cos 200° - \(\frac12\) - \(\frac12\) - cos 260°} 

= \(\frac12\){- \(\frac32\) + cos 200° + cos 40° - cos 260°}

= \(\frac12\){- \(\frac32\) + 2cos120° cos80° - cos260°}

= \(\frac12\){- \(\frac32\) + 2cos(180° - 60°) cos80° - cos260°}

= \(\frac12\){- \(\frac32\) - 2cos 60° cos80° - cos260°}

= \(\frac12\){- \(\frac32\) - cos80° - cos260°}

= \(\frac12\){- \(\frac32\) - (cos80° + cos260°)}

= \(\frac12\){- \(\frac32\) - (cos80° + cos(180° + 80°))}

= \(\frac12\){- \(\frac32\) - (cos80° - cos80°)}

= \(-\frac{3}{4}\)

विकल्प (2) सत्य है।

धारणा:

sin2x + cos2x = 1

गणना:

दिया हुआ: sin x + sin² x = 1

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin2x + cos2x = 1

⇒ sin x + (1 – cos² x) = 1

⇒ sin x = cos² x ----(1)

⇒ sin² x = cos⁴ x ((1) का उपयोग करके) 

(1 + cos²A) = 3sinA.cosA

cos²A द्वारा विभाजित करके;

⇒ (1 + sec²A) = 3tanA

हम जानते हैं कि: sec²A = (1 + tan²A)

⇒ 2 + tan²A = 3tanA

⇒ tan²A – 3tanA + 2 = 0

⇒ (tan A – 1) (tan A – 2) = 0

⇒ tan A = 1 या 2

गणना:

दिया गया है: tan θ = \(-\frac{4}{3}\)

4 इकाई लंब और 3 इकाई आधार वाले एक समकोण त्रिभुज पर विचार कीजिए। 

पाइथागोरस प्रमेय h = \(\rm\sqrt{p^2+b^2} \) द्वारा,

⇒ h = 5

∴ sin θ = \(\rm\frac{p}{h}\)

⇒ sin θ = \(\frac{4}{5}\)

हम जानते हैं कि द्वितीय और चतुर्थ चतुर्थांश में tan फलन ऋणात्मक होता है।

Sin फलन द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक और चतुर्थ चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।

यदि θ द्वितीय चतुर्थांश में है, sin θ  = \(\rm\frac{4}{5}\)

यदि θ चतुर्थ चतुर्थांश में है, sin θ = \(\frac{-4}{5}\)

sin θ, \(\frac{4}{5}\) या \(-\frac{4}{5}\) हो सकता है। 

धारणा:

• sin² x + cos² x = 1
• cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

गणना:

दिया हुआ: \(\cos \theta = \frac{8}{{17}}\) और θ 1^ले चतुर्थांश में हैं

\(\sin \theta = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\theta } = \frac{{15}}{{17}}\)

cos (30 + θ) = cos 30 cos θ – sin 30 sin θ

\(= \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\frac{8}{{17}}} \right) - \left( {\frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{{15}}{{17}}} \right)\)

\(= {{8\sqrt 3 - 15}}{{34}}\)     ----(1)

cos (45 – θ) = cos 45 cos θ + sin 45 sin θ

\(= \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\left( {\frac{8}{{17}}} \right) + \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\left( {\frac{{15}}{{17}}} \right)\)

\(= \frac{{23\sqrt 2}}{{34}}\)      ----(2)

cos (120 – θ) = cos 120 cos θ + sin 120 sin θ

\(= \left( { - \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{8}{{17}}} \right) + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\left( {\frac{{15}}{{17}}} \right)\)      

\(= \frac{{15\sqrt 3 - 8}}{{34}}\) ----(3)

(1), (2) और (3) को जोड़कर

\(\frac{{8\sqrt 3 - 15}}{{34}} + \frac{{23\sqrt 2 }}{{34}} + \frac{{15\sqrt 3 - 8}}{{34}}\)

\(\Rightarrow \frac{{23\sqrt 3 + 23\sqrt 2 - 23}}{{34}}\)

दिया गया है

(cosec x + cot x)/(cosec x – cot x) = 7

प्रयुक्त सूत्र

Cos²x = 1 - sin²x

गणना

(cosec x + cot x)/(cosec x - cot x) = 7

⇒ (cosec x + cot x = 7(cosec x - cot x)

⇒ 8cot x = 6 cosec x

⇒ (8cos x)/sin x = 6/sin x

⇒ Cos x = 3/4

⇒ Cos² x = 9/16

⇒ Sin² x = 1 - 9/16

⇒ Sin² x = 7/16

⇒ (4sin2x + 1)/(4sin2x – 1) = (4 × 7/16 + 1)/(4 × 7/16 – 1)

⇒ (7/4 + 1)/(7/4 –1)

⇒ (11/4)/(3/4)

⇒ 11/3

∴ (4sin2x + 1)/(4sin2x – 1) का मान 11/3 है।

\(\sin \theta = \frac{{{p^2} - 1}}{{{p^2} + 1}}\)

∴ sin² θ + cos² θ = 1

\(\Rightarrow {\cos ^2}\theta = 1 - \frac{{{{\left( {{p^2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{p^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {{p^2} + 1} \right)}^2} - {{\left( {{p^2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{p^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(\Rightarrow {\cos ^2}\theta = \frac{{4{p^2}}}{{{{\left( {{p^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(\Rightarrow \cos \theta = \frac{{2p}}{{\left( {{p^2} + 1} \right)}}\)

धारणा:

sec^-1 x = cos^-1 (1/x)

cosec^-1 (x) + sec^-1 (x) = π / 2

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि, 

sec-1 x = cos-1 (1/x)

\({\rm{co}}{{\rm{s}}^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = {\rm{\theta }} \)

\(\Rightarrow {\rm{se}}{{\rm{c}}^{ - 1}}\left( {\sqrt 5 } \right) = {\rm{\theta }}\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, 

cosec-1 (x) + sec-1 (x) = π / 2

\(\Rightarrow \frac{{\rm{\pi }}}{2} - {\rm{cose}}{{\rm{c}}^{ - 1}}\left( {\sqrt 5 } \right) = {\rm{\theta }}\)

\(\therefore {\rm{cose}}{{\rm{c}}^{ - 1}}\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{\rm{\pi }}}{2} - {\rm{\theta }}\)

दिया गया है:

tan \(A=\frac{{1.1}}{{6}}\)

⇒ tan A = 11/60

प्रयुक्त सूत्र:

tan A = लंब/आधार, जहाँ A एक न्यून कोण है,

पाइथागोरस प्रमेय 

xyz त्रिभुज में, xz = कर्ण

(xz)² = (xy)² + (yz)²

गणना:

(xz)² = 11² + 60² 

⇒ xz = √3721 = 61 

अब,  (4cos A - 7sin A) 

⇒ 4 × B/H - 7 × P/H 

⇒ 4 × 60/61 - 7 × 11/61 

⇒ 240/61 - 77/61 = 163/61 

⇒ \(2\frac{{41}}{{61}}\)

∴ (4cos A - 7sin A) = \(2\frac{{41}}{{61}}\) 

संकल्पना:

• sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

• cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

गणना:

चूँकि, sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

⇒ sin (A + B) = sin 60° 

⇒ A + B = 60°      ----(1)

साथ ही, cos (A - B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

⇒ cos (A - B) = cos 30° 

⇒ A - B = 30°      ----(2)

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

A = 45° और B = 15°

अत: A और B के न्यून कोण क्रमशः 45° और 15° हैं।

दिया गया:

हमें 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° का मान ज्ञात करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

tan45° = 1 

Cos30° = √3/2

Sin60° = √3/2

गणना:

2 tan² 45° + cos² 30° - sin² 60°

⇒ 2 × 1² + (√3/2)² – (√3/2)²

⇒ 2 + 3/4 – 3/4

⇒ 2

∴ 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° का मान 2 है।