Vorticity and Circulation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vorticity and Circulation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

भ्रमिलता(ξ):

यह संचलन का सीमित मान और एक बंद समोच्च क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक द्रव पार्सल के स्थानीय घूर्णन को मापता है।

\({\bf{vorticity}} = \frac{{{\bf{Circulation}}}}{{{\bf{Area}}}}\)

भ्रमिलता को घूर्णी घटक के दुगने के रूप में परिभाषित किया गया है।

ω = 2ω,

लेकिन, \(\vec{\omega }=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=2~\vec{\omega }=2.\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=\nabla \times \vec{V}\)

जहां \(\vec{V}\) वेग क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है

\(\vec{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\)

तो भ्रमिलता वेग कारक के कर्ल के बराबर है।

वर्णन:

• गति करते समय एक द्रव्य कण विस्थापनों के निम्नलिखित चार प्रकारों के किसी एक या संयोजन के तहत गुजर सकता है।

रैखिक स्थानांतरण:

• इसे द्रव्य तत्व की गतिविधि के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि यह पूर्ण रूप से एक स्थिति से दूसरी स्थिति तक गति करता है और दो अक्ष एक-दूसरे के समानांतर होते हैं।

रैखिक विरूपण:

• इसे तत्व के गति करने पर रैखिक दिशा में द्रव्य तत्व के विरूपण के रूप में परिभाषित किया जाता है। अक्ष विरूपित और अविरुपित स्थितियों में एक-दूसरे के समानांतर होते हैं लेकिन उनकी लम्बाई परिवर्तित होती है।

कोणीय विरूपण:

• यह दो सन्निकट भुजाओं द्वारा निहित कोण में औसत परिवर्तन होता है। इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
• \(Shear\;strain\;rate=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right]\)

घूर्णन:

• इसे द्रव्य तत्व की गतिविधि के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जिससे इसके दोनों अक्ष (क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर) समान दिशा में घूमते हैं।
• \(ω_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\)
• \(ω_x=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)\)
• \(ω_y=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)\)

भ्रमिलता:

• इसे घूर्णन के दोगुने मान के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसलिए यह 2ω दिया गया है।

संकल्पना:

यदि वेग सदिश को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\vec V = u\hat i + v\hat j + w\hat k\)

z - दिशा में आवर्त को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

\({{\rm{\Omega }}_{\rm{z}}} = \frac{{\partial {\rm{v}}}}{{\partial {\rm{x}}}} - \frac{{\partial {\rm{u}}}}{{\partial {\rm{y}}}}\)

गणना:

दिया गया है:

\(\vec V = K\left( {y\hat i + x\hat k} \right)\)

\(\vec u = Ky,\;\vec v = 0,\;\vec w = Kx\)

\({{\rm{\Omega }}_z} = \frac{{\partial v}}{{\partial x}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{K\partial \left( y \right)}}{{\partial y}} = - K\)

संकल्पना:

कोणीय वेग,

\({\omega _{xy}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{dv}}{{dx}} - \frac{{du}}{{dy}}} \right)\)

\({\omega _{xy}} = \frac{1}{2}\left( { - 6} \right)\) 

∴ ω­_xy = -3

अब,

अपरूपण विकृति की दर

\({\gamma _{xy}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{dv}}{{dx}} + \frac{{du}}{{dy}}} \right)\)

वेग क्षमता फलन:  इन फलन को एक प्रवाह में स्थान और समय के एक फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है इस प्रकार कि किसी भी दिशा के संबंध में इस फलन का ऋृणात्मक अवकलज उस दिशा में तरल का वेग प्रदान करता है।

यदि वेग क्षमता (ϕ) मौजूद है,तो वहाँ प्रवाह होगा।

\(u = - \frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}\)

\(v = - \frac{{\partial \phi }}{{\partial y}}\)

\(w = - \frac{{\partial \phi }}{{\partial z}}\)

अब, कोणीय वेग निम्न द्वारा दिया जाता है:

\({\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial x}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)\)

\({\omega _z} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( { - \frac{{\partial \phi }}{{\partial y}}} \right) - \frac{\partial }{{\partial y}}\left( { - \frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}} \right)} \right]\)

इस प्रकार,

ω_z = 0

अर्थात् प्रवाह अघूर्णी है।

इसलिए तरल प्रवाह में वेग क्षमता फलन के अस्तित्व के लिए, प्रवाह अघूर्णी होना चाहिए।

भ्रमिलता कोणीय वेग की दोगुनी होती है, इसलिए यह शून्य भी है।

अवधारणा:

भ्रमिलता(ξ):

यह संचलन का सीमित मान और एक बंद समोच्च क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक द्रव पार्सल के स्थानीय रोटेशन को मापता है।

\({\bf{vorticity}} = \frac{{{\bf{Circulation}}}}{{{\bf{Area}}}}\)

भ्रमिलता को घूर्णी घटक के दुगने के रूप में परिभाषित किया गया है।

ω = 2ω,

लेकिन, \(\vec{\omega }=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=2~\vec{\omega }=2.\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=\nabla \times \vec{V}\)

जहां \(\vec{V}\) वेग क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है

\(\vec{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\)

तो भ्रमिलता वेग कारक के कर्ल के बराबर है।

संकल्पना:

परिसंचरण = भ्रमिलता × क्षेत्रफल

जहाँ,

भ्रमिलता को घूर्णन के दुगने मान के रूप में परिभाषित किया गया है।

ζ = 2ω

घूर्णन (ω) = \({\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{∂ v}}{{∂ x}} - \frac{{∂ u}}{{∂ y}}} \right)\)

अब,

भ्रमिलता = \(\zeta = \frac{{∂ v}}{{∂ x}} - \frac{{∂ u}}{{∂ y}} \)

गणना:

दिया गया,

वेग क्षेत्र, u = x, v = x + y

u/∂y = 0, v/∂x = 1

आयताकार क्षेत्र x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 (अर्थात आयताकार का आयाम 1 × 1 है)

आयत का क्षेत्रफल = 1 × 1 = 1

परिसंचरण = भ्रमिलता × क्षेत्रफल

\(Circulation= \left( {\frac{{∂ v}}{{∂ x}} - \frac{{∂ u}}{{∂ y}}} \right) × Area\)

परिसंचरण = (1 - 0) × 1

∴ परिसंचरण = 1 इकाई

संकल्पना:

यदि वेग सदिश को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\vec V = u\hat i + v\hat j + w\hat k\)

z - दिशा में आवर्त को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

\({{\rm{\Omega }}_{\rm{z}}} = \frac{{\partial {\rm{v}}}}{{\partial {\rm{x}}}} - \frac{{\partial {\rm{u}}}}{{\partial {\rm{y}}}}\)

गणना:

दिया गया है:

\(\vec V = K\left( {y\hat i + x\hat k} \right)\)

\(\vec u = Ky,\;\vec v = 0,\;\vec w = Kx\)

\({{\rm{\Omega }}_z} = \frac{{\partial v}}{{\partial x}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{K\partial \left( y \right)}}{{\partial y}} = - K\)

अवधारणा:

भ्रमिलता(ξ):

यह संचलन का सीमित मान और एक बंद समोच्च क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक द्रव पार्सल के स्थानीय घूर्णन को मापता है।

\({\bf{vorticity}} = \frac{{{\bf{Circulation}}}}{{{\bf{Area}}}}\)

भ्रमिलता को घूर्णी घटक के दुगने के रूप में परिभाषित किया गया है।

ω = 2ω,

लेकिन, \(\vec{\omega }=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=2~\vec{\omega }=2.\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=\nabla \times \vec{V}\)

जहां \(\vec{V}\) वेग क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है

\(\vec{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\)

तो भ्रमिलता वेग कारक के कर्ल के बराबर है।

भ्रमिलता घूर्णन सदिश के दोगुने के बराबर होती है।

i.e. \(\vec{\xi }=2~\vec{\omega }\)

लेकिन, \(\vec{\omega }=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=2~\vec{\omega }=2.\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=\nabla \times \vec{V}\)

जहाँ, \(\vec{V}\) वेग क्षेत्र को दर्शाता है।

वर्णन:

• गति करते समय एक द्रव्य कण विस्थापनों के निम्नलिखित चार प्रकारों के किसी एक या संयोजन के तहत गुजर सकता है।

रैखिक स्थानांतरण:

• इसे द्रव्य तत्व की गतिविधि के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि यह पूर्ण रूप से एक स्थिति से दूसरी स्थिति तक गति करता है और दो अक्ष एक-दूसरे के समानांतर होते हैं।

रैखिक विरूपण:

• इसे तत्व के गति करने पर रैखिक दिशा में द्रव्य तत्व के विरूपण के रूप में परिभाषित किया जाता है। अक्ष विरूपित और अविरुपित स्थितियों में एक-दूसरे के समानांतर होते हैं लेकिन उनकी लम्बाई परिवर्तित होती है।

कोणीय विरूपण:

• यह दो सन्निकट भुजाओं द्वारा निहित कोण में औसत परिवर्तन होता है। इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
• \(Shear\;strain\;rate=\frac{1}{2}\left[\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right]\)

घूर्णन:

• इसे द्रव्य तत्व की गतिविधि के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जिससे इसके दोनों अक्ष (क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर) समान दिशा में घूमते हैं।
• \(ω_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\)
• \(ω_x=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)\)
• \(ω_y=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)\)

भ्रमिलता:

• इसे घूर्णन के दोगुने मान के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसलिए यह 2ω दिया गया है।

संकल्पना:

कोणीय वेग,

\({\omega _{xy}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{dv}}{{dx}} - \frac{{du}}{{dy}}} \right)\)

\({\omega _{xy}} = \frac{1}{2}\left( { - 6} \right)\) 

∴ ω­_xy = -3

अब,

अपरूपण विकृति की दर

\({\gamma _{xy}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{dv}}{{dx}} + \frac{{du}}{{dy}}} \right)\)

संकल्पना:

परिसंचरण = भ्रमिलता × क्षेत्र

जहाँ,

भ्रमिलता को रोटेशन के दुगने मान के रूप में परिभाषित किया गया है।

ζ = 2ω

रोटेशन (ω) = \({\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial x}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)\)

अभी,

∴ भ्रमिलता = \(\zeta = \frac{{\partial v}}{{\partial x}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \)

गणना:

परिसंचरण = भ्रमिलता × क्षेत्र

\(Circulation= \left( {\frac{{\partial v}}{{\partial x}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right) \times Area\)

परिसंचरण= (0 – 3) × π × (2)2

∴ परिसंचरण= -12π इकाई

अवधारणा:

भ्रमिलता(ξ):

यह संचलन का सीमित मान और एक बंद समोच्च क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक द्रव पार्सल के स्थानीय रोटेशन को मापता है।

\({\bf{vorticity}} = \frac{{{\bf{Circulation}}}}{{{\bf{Area}}}}\)

भ्रमिलता को घूर्णी घटक के दुगने के रूप में परिभाषित किया गया है।

ω = 2ω,

लेकिन, \(\vec{\omega }=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=2~\vec{\omega }=2.\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=\nabla \times \vec{V}\)

जहां \(\vec{V}\) वेग क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है

\(\vec{V}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\)

तो भ्रमिलता वेग कारक के कर्ल के बराबर है।

व्याख्या:

भ्रमिलता घूर्णन सदिश के दोगुने के बराबर होती है।

i.e. \(\vec{\xi }=2~\vec{\omega }\)

लेकिन, \(\vec{\omega }=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=2~\vec{\omega }=2.\frac{1}{2}\left( \nabla \times \vec{V} \right)\)

\(\Rightarrow \vec{\xi }=\nabla \times \vec{V}\)

जहाँ, \(\vec{V}\) वेग क्षेत्र को दर्शाता है।