Special Terms of Binomial Expansion MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Special Terms of Binomial Expansion - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

కనుగొనవలసింది:- \(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{\text{x}^{2} గుణకం}{\text{x}^{0} గుణకం}\)

మనకు తెలుసు, \({\left( a + b \right)}^{n}\) విస్తరణలోని సాధారణ పదం,

\({T}_{r + 1} = {^{n}{C}_{r}} {\left( a \right)}^{n - r} {\left( b \right)}^{r}\)

ఇప్పుడు,

\({\left( x + 10 \right)}^{50}\) యొక్క సాధారణ పదం-

ఇక్కడ,

\(a = x, b = 10\)

\({T}_{r + 1} = {^{50}{C}_{r}}{\left( x \right)}^{50 - r} {\left( 10 \right)}^{r}\)

\({x}^{2}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 2 \Rightarrow r = 48\)

\({T}_{48 + 1} = {^{50}{C}_{48}} {\left( x \right)}^{50 - 48} {\left( 10 \right)}^{48}\)

\({T}_{49} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} {x}^{2}\)

\({x}^{0}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 0 \Rightarrow r = 50\)

\({T}_{50 + 1} = {^{50}{C}_{50}} {\left( x \right)}^{50 - 50} {\left( 10 \right)}^{50}\)

\({T}_{51} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} {x}^{0}\)

ఇప్పుడు,

\({\left( x + \left( -10 \right) \right)}^{50}\) యొక్క సాధారణ పదం-

ఇక్కడ,

\(a = x, b = -10\)

\({T}_{r + 1} = {^{50}{C}_{r}}{\left( x \right)}^{50 - r} {\left( -10 \right)}^{r}\)

\({x}^{2}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 2 \Rightarrow r = 48\)

\({T}_{48 + 1} = {^{50}{C}_{48}} {\left( x \right)}^{50 - 48} {\left( -10 \right)}^{48}\)

\({T}_{49} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} {x}^{2}\)

\({x}^{0}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 0 \Rightarrow r = 50\)

\({T}_{50 + 1} = {^{50}{C}_{50}} {\left( x \right)}^{50 - 50} {\left( -10 \right)}^{50}\)

\({T}_{51} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} {x}^{0}\)

ఇప్పుడు ఇచ్చిన విస్తరణ నుండి,

\({a}_{2} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} + {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} = {^{50}{C}_{48}} \left( {\left( 10 \right)}^{48} + {\left( 10 \right)}^{48} \right)\)

\({a}_{0} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} + {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} = {^{50}{C}_{50}} \left( {\left( 10 \right)}^{50} + {\left( 10 \right)}^{50} \right)\)

ఇప్పుడు,

\(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{{^{50}{C}_{48}} \left( {\left( 10 \right)}^{48} + {\left( 10 \right)}^{48} \right)}{{^{50}{C}_{50}} \left( {\left( 10 \right)}^{50} + {\left( 10 \right)}^{50} \right)}\)

మనకు తెలుసు,

\({^{n}{C}_{r}} = \cfrac{n!}{r! \left( n - r \right)!}\)

కాబట్టి,

\(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{50 \times 49}{2} \times \left( \cfrac{{10}^{48}}{{10}^{50}}\right)\)

\(\Rightarrow \cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{49}{4}= 12.25\)

ఇచ్చినది:

(x + 11) (x - 11)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(x + y) (x - y) = x2 - y2

గణన:

(x + 11) (x - 11)

సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం

(x + 11) (x - 11) = x2 - 121 

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

భావన:

ద్విపద సిద్ధాంతం

(x + y)n = xn + nC1 xn-1y + nC2 xn-2y2 + .....+ nCn-1 xyn-1 + nCn yn

సాధారణ పదం =  nCr xn-ryr 

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ,\(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)

ఇచ్చిన సమాసంలో x నుండి స్వతంత్రంగా ఉండే పదం

= \(1\over 60\) × \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) -   \(1\over 81\) × గుణకం x ^-8 in \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)

ఇప్పుడు, \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) లో సాధారణ పదం   6Cr (2x2)6-r(-3/x2)r 

x తో సంబంధం లేని పదానికి, 2(6 - r) + (-2)r = 0 ⇒ r = 3

x ^-8 అనే పదానికి, 2(6 - r) + (-2)r = -8 ⇒ r = 5

⇒ \(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) = \(1\over 60\) ×6 C 3 (2)6-3 (-3)3 - \(1\over 81\) ×6 C5 (2)6-5 (-3)⁵ లో x నుండి స్వతంత్ర పదం

⇒ x నుండి స్వతంత్రమైన పదం\(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)>  = - 72 + 36 = -36

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (4).

భావన:

ద్విపద సిద్ధాంతం

(1 + x)n = 1 + nC1 x + nC2 x2 + .....+ nCn-1 xn-1 + nCn xn

(1 - x)n = 1 - nC1 x + nC2 x2 + ..... nCn-1 xn-1 + (-1)n nCn xn

లెక్కింపు:

(1 + x)m (1 - x)n 

⇒ [1 + mx + m(m - 1)/2 x2 +.....+ xm].[1 - nx + n(n - 1)/2 x2 +.....+ xn​]
⇒ (1 + x)m (1 - x)n = [1 + (m - n)x + \({m(m-1)\over 2} +{n(n-1)\over2} -mn\) ]x2 +......{డిగ్రీ నిబంధనలు ≥ 3}

⇒ x = m - n = 3 యొక్క గుణకం -----(i)

మరియు x2 యొక్క గుణకం = \({m(m-1)\over 2} +{n(n-1)\over2} -mn\) = - 6 ----(ii)

⇒ m(m - 1) + n(n - 1) - 2 మిలియన్ = -12

⇒ m2 - m + n2 - n - 2mn = - 12

⇒ (m - n)2 - (m + n) = - 12

(i) నుండి,

⇒ 9 - (m + n) = -12

⇒ m + n = 21 ----(iii)

ఇప్పుడు (i) మరియు (iii) నుండి,

2మీ = 24 ⇒ మీ = 12

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).

ఇచ్చినది:

(x + 11) (x - 11)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(x + y) (x - y) = x2 - y2

గణన:

(x + 11) (x - 11)

సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం

(x + 11) (x - 11) = x2 - 121 

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

భావన:

ద్విపద సిద్ధాంతం

(x + y)n = xn + nC1 xn-1y + nC2 xn-2y2 + .....+ nCn-1 xyn-1 + nCn yn

సాధారణ పదం =  nCr xn-ryr 

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ,\(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)

ఇచ్చిన సమాసంలో x నుండి స్వతంత్రంగా ఉండే పదం

= \(1\over 60\) × \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) -   \(1\over 81\) × గుణకం x ^-8 in \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)

ఇప్పుడు, \({\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) లో సాధారణ పదం   6Cr (2x2)6-r(-3/x2)r 

x తో సంబంధం లేని పదానికి, 2(6 - r) + (-2)r = 0 ⇒ r = 3

x ^-8 అనే పదానికి, 2(6 - r) + (-2)r = -8 ⇒ r = 5

⇒ \(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) = \(1\over 60\) ×6 C 3 (2)6-3 (-3)3 - \(1\over 81\) ×6 C5 (2)6-5 (-3)⁵ లో x నుండి స్వతంత్ర పదం

⇒ x నుండి స్వతంత్రమైన పదం\(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right)\,.\,{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\)>  = - 72 + 36 = -36

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (4).

భావన:

ద్విపద సిద్ధాంతం

(1 + x)n = 1 + nC1 x + nC2 x2 + .....+ nCn-1 xn-1 + nCn xn

(1 - x)n = 1 - nC1 x + nC2 x2 + ..... nCn-1 xn-1 + (-1)n nCn xn

లెక్కింపు:

(1 + x)m (1 - x)n 

⇒ [1 + mx + m(m - 1)/2 x2 +.....+ xm].[1 - nx + n(n - 1)/2 x2 +.....+ xn​]
⇒ (1 + x)m (1 - x)n = [1 + (m - n)x + \({m(m-1)\over 2} +{n(n-1)\over2} -mn\) ]x2 +......{డిగ్రీ నిబంధనలు ≥ 3}

⇒ x = m - n = 3 యొక్క గుణకం -----(i)

మరియు x2 యొక్క గుణకం = \({m(m-1)\over 2} +{n(n-1)\over2} -mn\) = - 6 ----(ii)

⇒ m(m - 1) + n(n - 1) - 2 మిలియన్ = -12

⇒ m2 - m + n2 - n - 2mn = - 12

⇒ (m - n)2 - (m + n) = - 12

(i) నుండి,

⇒ 9 - (m + n) = -12

⇒ m + n = 21 ----(iii)

ఇప్పుడు (i) మరియు (iii) నుండి,

2మీ = 24 ⇒ మీ = 12

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).

ఇచ్చినది:

(x + 11) (x - 11)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(x + y) (x - y) = x2 - y2

గణన:

(x + 11) (x - 11)

సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం

(x + 11) (x - 11) = x2 - 121 

∴ ఎంపిక 2 సరైన సమాధానం.

కనుగొనవలసింది:- \(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{\text{x}^{2} గుణకం}{\text{x}^{0} గుణకం}\)

మనకు తెలుసు, \({\left( a + b \right)}^{n}\) విస్తరణలోని సాధారణ పదం,

\({T}_{r + 1} = {^{n}{C}_{r}} {\left( a \right)}^{n - r} {\left( b \right)}^{r}\)

ఇప్పుడు,

\({\left( x + 10 \right)}^{50}\) యొక్క సాధారణ పదం-

ఇక్కడ,

\(a = x, b = 10\)

\({T}_{r + 1} = {^{50}{C}_{r}}{\left( x \right)}^{50 - r} {\left( 10 \right)}^{r}\)

\({x}^{2}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 2 \Rightarrow r = 48\)

\({T}_{48 + 1} = {^{50}{C}_{48}} {\left( x \right)}^{50 - 48} {\left( 10 \right)}^{48}\)

\({T}_{49} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} {x}^{2}\)

\({x}^{0}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 0 \Rightarrow r = 50\)

\({T}_{50 + 1} = {^{50}{C}_{50}} {\left( x \right)}^{50 - 50} {\left( 10 \right)}^{50}\)

\({T}_{51} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} {x}^{0}\)

ఇప్పుడు,

\({\left( x + \left( -10 \right) \right)}^{50}\) యొక్క సాధారణ పదం-

ఇక్కడ,

\(a = x, b = -10\)

\({T}_{r + 1} = {^{50}{C}_{r}}{\left( x \right)}^{50 - r} {\left( -10 \right)}^{r}\)

\({x}^{2}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 2 \Rightarrow r = 48\)

\({T}_{48 + 1} = {^{50}{C}_{48}} {\left( x \right)}^{50 - 48} {\left( -10 \right)}^{48}\)

\({T}_{49} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} {x}^{2}\)

\({x}^{0}\) గుణకం కోసం-

\(50 - r = 0 \Rightarrow r = 50\)

\({T}_{50 + 1} = {^{50}{C}_{50}} {\left( x \right)}^{50 - 50} {\left( -10 \right)}^{50}\)

\({T}_{51} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} {x}^{0}\)

ఇప్పుడు ఇచ్చిన విస్తరణ నుండి,

\({a}_{2} = {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} + {^{50}{C}_{48}} {\left( 10 \right)}^{48} = {^{50}{C}_{48}} \left( {\left( 10 \right)}^{48} + {\left( 10 \right)}^{48} \right)\)

\({a}_{0} = {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} + {^{50}{C}_{50}} {\left( 10 \right)}^{50} = {^{50}{C}_{50}} \left( {\left( 10 \right)}^{50} + {\left( 10 \right)}^{50} \right)\)

ఇప్పుడు,

\(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{{^{50}{C}_{48}} \left( {\left( 10 \right)}^{48} + {\left( 10 \right)}^{48} \right)}{{^{50}{C}_{50}} \left( {\left( 10 \right)}^{50} + {\left( 10 \right)}^{50} \right)}\)

మనకు తెలుసు,

\({^{n}{C}_{r}} = \cfrac{n!}{r! \left( n - r \right)!}\)

కాబట్టి,

\(\cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{50 \times 49}{2} \times \left( \cfrac{{10}^{48}}{{10}^{50}}\right)\)

\(\Rightarrow \cfrac{{a}_{2}}{{a}_{0}} = \cfrac{49}{4}= 12.25\)