समान त्रिज्या लेकिन विभिन्न द्रव्यमान की एक डिस्क और एक गोला समान ऊंचाई और लंबाई के दो आनत समतलों पर निचे वेल्लन कर रहें हैं। दोनों में से कौन सा निकाय सबसे पहले सबसे नीचे पहुंचेगा?

अवधारणा:

• जब भी कोई खंड सतह पर वेल्लन करता है तो सतह के संबंध में निकाय के संपर्क बिंदु के सापेक्ष कोई गति नहीं होती है। फिर इस प्रकार की गति को शुद्ध वेल्लन गति या वेल्लन गति कहते हैं।

• वेल्लन एक प्रकार की गति है जो सतह के संबंध में उस वस्तु की शुद्ध घूर्णन गति और स्थानांतरण गति को जोड़ती है।
• वेल्लन गति में एक साथ दो गतियाँ होती हैं:
  • शुद्ध स्थानांतरण गति
  • शुद्ध घूर्णी गति

• निकाय को नीचे तक पहुँचने में लगने वाला समय जब वह फिसलने की बजाय वेल्लन करता है।

T = \(\frac{2l (1 + \frac{k^2}{r^2})}{gsin θ}\)

जहाँ k परिभ्रमण की त्रिज्या है और r घूर्णन निकाय की त्रिज्या है, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, l लंबाई है

व्याख्या:

• समान ऊंचाई और लंबाई के दो आनत समतल के विभिन्न द्रव्यमान M और समान त्रिज्या R के एक डिस्क और एक गोले पर विचार करें।

T = \(\frac{2l (1 + \frac{k^2}{r^2})}{gsin θ}\)

\(\frac{T_d}{T_s}=\sqrt{1+\frac{K_d^2}{R^2}} /\sqrt{1+\frac{K_s^2}{R^2}}\) .................(i) ( डिस्क के परिभ्रमण की kd त्रिज्या), (गोले  के परिभ्रमण की ks त्रिज्या)

(डिस्क के लिए  k2/ R2 का अनुपात 1/2 है, गोले के लिए k2/ R2 का अनुपात 2/5 है) समीकरण (ii) में रखते हुए 

\(\frac{T_d}{T_s}=\sqrt{1+\frac{R^2}{2R^2}} / \sqrt{1+\frac{2R^2}{5R^2}}\) .................(ii) k2/ R2 का मान रखने पर जहाँ (k परिभ्रमण की त्रिज्या है और r परिभ्रमण निकाय की त्रिज्या है)

हल करने पर हमें मिलता है Td/Ts = \(\sqrt\frac{3}{2} × \sqrt{\frac{5}{7}} =\sqrt{\frac{15}{14}}\)

• एक ही ऊंचाई और लंबाई के दो आनत समतल पर डिस्क के वेल्लन में लगने वाला समय गोले से अधिक है।