हैमिल्टनी H की आइगन अवस्थाओं के पदों में विस्तारित, एक स्वेच्छ अप्रसामान्यीकृत तरंग फलन ψ पर विचार कीजिए, जहां

सही विकल्प जो, an के किसी भी समुच्चय के लिए निश्चित रूप से मान्य है, वह है

संकल्पना:

क्वांटम यांत्रिकी में, किसी भी तरंग फलन को हैमिल्टनी प्रचालक के आइगेन अवस्था के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ये आइगेन अवस्था ऊर्जा आइगेन मान के अनुरूप होते हैं, जहाँ हैमिल्टोनियन एक आइगेन अवस्था पर लागू होने पर संबंधित ऊर्जा देता है। तरंग फलन असामान्यीकृत है और आइगेन अवस्था से गुणा किए गए गुणांकों के योग के रूप में व्यक्त किया गया है। ऊर्जा के अपेक्षा मान के लिए सामान्य सूत्र है:

• हैमिल्टनी प्रचालक दिया गया है: H |φ_n⟩ = ε_n |φ_n⟩, जहाँ ε_n ऊर्जा आइगेन मान हैं और φ_n आइगेन अवस्था हैं।

• तरंग फलन ψ का विस्तार इस प्रकार है: ψ = Σ a_n |φ_n⟩ जहाँ a_n विस्तार के गुणांक हैं।

• n-वें आइगेन अवस्था में होने की प्रायिकता p_n = |a_n|² है, और ऊर्जा का अपेक्षा मान है:

• यह सुनिश्चित करता है कि ऊर्जा हमेशा संबंधित आइगेन अवस्था की संभावनाओं द्वारा भारित हो।

व्याख्या:

• ऊर्जाओं द्वारा भारित संभावनाओं का योग ε₀ से कम नहीं हो सकता क्योंकि ε₀ प्रणाली के लिए सबसे कम संभव ऊर्जा है।

  • इस प्रकार, ऊर्जा का अपेक्षा मान:

    • , हमेशा ε₀ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।

निष्कर्ष:

इस प्रकार, सही विकल्प विकल्प 2 है: ≥ ε₀