Basic Principles of Quantum Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Basic Principles of Quantum Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

विक्षोभ सिद्धांत - आधार अवस्था ऊर्जा संशोधन

• एक विक्षुब्ध निकाय की ऊर्जा एक घात श्रेणी प्रसार द्वारा दी जाती है:

  E = E⁰ + E¹ + E² + ...

• E⁰: शून्य-क्रम (अविक्षुब्ध) ऊर्जा
• E¹: प्रथम-क्रम संशोधन
• E²: द्वितीय-क्रम संशोधन

महत्वपूर्ण गुण (आधार अवस्था के लिए):

• E² हमेशा ≤ 0 होता है (द्वितीय-क्रम संशोधन आमतौर पर ऋणात्मक होता है)
• कुल संशोधित ऊर्जा (E⁰ + E¹) हमेशा सही आधार अवस्था ऊर्जा से अधिक या उसके बराबर होती है:

  E⁰ + E¹ ≥ E₀

1. E⁰ + E¹ + E² > E₀
   हमेशा सत्य नहीं, क्योंकि E² ऋणात्मक है और कुल को E₀ से कम कर सकता है।


2. E⁰ + E¹ > 0
   अप्रासंगिक — कुल ऊर्जा का 0 से अधिक होना एक गारंटीकृत गुण नहीं है।


3. E⁰ + E¹ ≥ E₀
   यह हमेशा सत्य है — विचरण सिद्धांत और विक्षोभ प्रसार के व्यवहार पर आधारित।


4. E² > 0
   गलत — E² आधार अवस्था में हमेशा ऋणात्मक या शून्य होता है।

सही उत्तर \(\rm E_0^0+E_0^1\ge0\) है।

अवधारणा:

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर - स्थिति और संवेग में अनिश्चितता

• एक-आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए, वर्ग स्थिति और संवेग के प्रत्याशा मान इस प्रकार दिए गए हैं:
  • = ℏ(n + 1/2) / (mω)
  • = mℏω(n + 1/2)
• स्थिति (Δx) और संवेग (Δp) में अनिश्चितताएं विचरणों के वर्गमूल हैं:
  • Δx = √
  • Δp = √
• अनिश्चितता गुणनफल है:

  Δx · Δp = √( · )

व्याख्या:

• क्वांटम संख्या n = 1 के लिए:
  • = ℏ(1 + 1/2) / (mω) = (3/2) ℏ / (mω)
  • = mℏω(3/2) = (3/2) mℏω
• अब अनिश्चितता गुणनफल की गणना करें:

  Δx · Δp = √( · )
  = √[(3/2) ℏ / (mω) × (3/2) mℏω]
  = √[(9/4) ℏ²] = (3/2) ℏ

इसलिए, n = 1 के लिए अनिश्चितता गुणनफल 3ℏ/2 है।

अवधारणा:

कोणीय तरंग फलन और वास्तविक d-कक्षक

• गोलीय निर्देशांकों में एक हाइड्रोजन जैसे परमाणु कक्षक के लिए तरंग फलन है:
  ψ_n,l,m(r, θ, φ) = N · R′(r) · r^l · Y_l^m(θ, φ)
• इस स्थिति में:
  • n = 3 (प्रमुख क्वांटम संख्या)
  • l = 2 (d-कक्षक)
  • m = ±2 (चुंबकीय क्वांटम संख्या)
• Y₂^±2(θ, φ) = sin²θ · e^±2iφ
• इसलिए, कक्षक का कोणीय भाग है:
  ψ_3,2,±2 ∝ r² · sin²θ · e^±2iφ

व्याख्या:

1. रैखिक संयोजन:

   
   \(\frac{1}{i}(\psi_{3,2,+2} - \psi_{3,2,-2}) = \frac{R_{32}}{i} [Y_2^{+2} - Y_2^{-2}] \)
   गोलीय हार्मोनिक्स प्रतिस्थापित करें:

2. \(Y_2^{±2} = \sin^2θ · e^{±2iφ} \\ \text{So the difference becomes}: \frac{R_{32}}{i} [\sin^2θ · (e^{2iφ} - e^{-2iφ})]\)

3. ऑयलर की पहचान का प्रयोग करें:

   \(e^{2iφ} - e^{-2iφ} = 2i·\sin(2φ) \\ Therefore: \frac{1}{i}(ψ_{3,2,2} - ψ_{3,2,-2}) = R_{32} · \sin^2θ · \sin(2φ)\)

4. अब त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके इसे और तोड़ें:

   \(\sin(2φ) = 2·\sinφ·\cosφ \\ So: ψ ∝ \sin^2θ · \sinφ · \cosφ \)
   कार्तीय के लिए कोणीय निर्देशांकों को संबंधित करें:

5. • sinθ·cosφ ∝ x
   • sinθ·sinφ ∝ y
   इसलिए:

   ψ ∝ (sinθ·cosφ) · (sinθ·sinφ) ∝ x·y

   यह स्पष्ट रूप से d_xy कक्षक के कोणीय भाग का प्रतिनिधित्व करता है।

निष्कर्ष:

• (1/i)(ψ_3,2,2 − ψ_3,2,−2) से बना कक्षक d_xy है।

अवधारणा:

कक्षीय कोणीय संवेग और उसकी दिशा

• क्वांटम यांत्रिकी में, कक्षीय कोणीय संवेग सदिश L का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

  |L| = √l(l + 1) ℏ

• z-अक्ष के अनुदिश कोणीय संवेग का घटक क्वांटित है और इस प्रकार दिया गया है:

  L_z = mℏ

• कक्षीय कोणीय संवेग सदिश और z-अक्ष के बीच के कोण θ को इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:

  cos(θ) = L_z / |L|

व्याख्या:

• दिया गया है: l = 1, m = 1
• तब:
  • |L| = √(1 x (1 + 1)) ℏ = √2 ℏ
  • L_z = 1 ℏ
• cos(θ) = L_z / |L| का उपयोग करके:
  • cos(θ) = ℏ / (√2 ℏ) = 1 / √2
  • θ = cos⁻¹(1 / √2) = 45°

इसलिए, कक्षीय कोणीय संवेग सदिश और z-अक्ष के बीच का कोण 45° है।

अवधारणा:

ब्यूटाडाइन के लिए ह्युकेल आणविक कक्षक (HMO) सिद्धांत

• ब्यूटाडाइन (CH₂=CH-CH=CH₂) में 4 π-इलेक्ट्रॉन और 4 संयुग्मित कार्बन परमाणु होते हैं।
• इसका π-तंत्र परमाणु p-कक्षकों के रैखिक संयोजन के कारण 4 आणविक कक्षक (MOs) बनाता है।
• ह्युकेल सिद्धांत में इन MOs के ऊर्जा स्तर इस प्रकार दिए गए हैं:

  E_k = α + 2βcos(πk / (n+1)) जहाँ n = 4 (परमाणुओं की संख्या), k = 1 से 4

व्याख्या:

• ब्यूटाडाइन (n = 4) के लिए, ऊर्जा स्तरों की गणना करें:
  • E₁ = α + 2βcos(π/5) ≈ α + 1.618β → सबसे कम ऊर्जा वाला π-MO
  • E₂ = α + 2βcos(2π/5) ≈ α + 0.618β
  • E₃ = α + 2βcos(3π/5) ≈ α - 0.618β
  • E₄ = α + 2βcos(4π/5) ≈ α - 1.618β
• α के सापेक्ष ऊर्जा व्यक्त की जाती है, और β (अनुनाद समाकल) आमतौर पर ऋणात्मक होता है, जिससे बंधनकारी MOs अधिक स्थिर होते हैं।

इसलिए, सबसे कम π-MO की ऊर्जा α + 1.618β है, अर्थात्, α से ऊपर 1.61804β

इसलिए, सही उत्तर 1.61804β है।

संकल्पना:

• 2D बॉक्स में एक कण के लिए, तरंग फलन दिया गया है

\(\Psi {n_x},{n_y} = N\sin \left( {{{{n_x}\pi x} \over L}} \right)\sin \left( {{{{n_y}\pi y} \over L}} \right)\), जहाँ N संधारण स्थिरांक है।

• l भुजा लम्बाई वाले 2D बॉक्स में एक कण की ऊर्जा दी गई है,

\(E = {{({n_x}^2 + {n_y}^2){h^2}} \over {8m{l^2}}}\), जहाँ n_x और n_y क्वांटम संख्याएँ हैं।

व्याख्या:

• तीन अन्यान्यक्रियाशील इलेक्ट्रॉनों को 2D वर्ग बॉक्स में इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है:

(1, 2) (2, 1) 1 - \(\rm E_1=1\times5\frac{h^2}{8ml^2}\)

(1, 1) \(\rm E_2=2\times\frac{2h^2}{8ml^2}\)

\(\rm E_T=\frac{9h^2}{8ml^2}=E_1+E_2\)

• आधार अवस्था (g.s) में, दो इलेक्ट्रॉनों को एकल अवनत ऊर्जा अवस्था (1,1) में रखा जा सकता है। ऊर्जा दी गई है,

\({E_1} = 2 \times {{(1 + 1){h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

\( = {{4{h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

• ​प्रथम उत्तेजित अवस्था में, एक इलेक्ट्रॉन को द्विगुणित अवनत ऊर्जा स्तर (2,1) और (1,2) में रखा जा सकता है। ऊर्जा दी गई है,

​\({E_2} = {{({2^2} + 1){h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

\( = {{5{h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

इस प्रकार, निकाय की ऊर्जा है,

\( = {{4{h^2}} \over {8m{l^2}}} + {{5{h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

\( = {{9{h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

निष्कर्ष:

इसलिए, आधार अवस्था ऊर्जा की इकाइयाँ \(\left( {\frac{h^2}{{8mL^2}}}\right)\) में 9 हैं

संप्रत्यय:

• किसी इलेक्ट्रॉन की औसत ऊर्जा/ऊर्जा का प्रत्याशा मान, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के प्रत्याशा मानों के योग के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

\(=+ \)

\(where,\\= Total\;energy\)

\(= Avg.\;kinetic \;energy\)

\(= Avg.\;potential\;energy\)

• इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा का प्रत्याशा मान, इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान (m_e) और वेग (v) से संबंधित है, इस प्रकार:

\(=\frac{1}{2}m_e\)

व्याख्या:

प्रश्न के अनुसार, कूप के अंदर कण/इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा 0 है। इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि दी गई ऊर्जा का मान इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है।

\(=\frac{1}{2}m_e+0\)

\(=\frac{1}{2}m_e\)

वेग के वर्ग के प्रत्याशा मान को प्राप्त करने के लिए उपरोक्त संबंध को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, इस प्रकार:

\(=\frac{2}{m_e}\;\) ......संबंध(1)

दिया गया है,

\(=13.6eV=13.6\times1.6\times10^{-19}J \)

\(m_e=9.1\times10^{-31}Kg \)

संबंध (1) में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होगा:

\(= 2\times\frac{13.6\times1.6\times10^{-19}J}{9.1\times10^{-31}Kg}\;\)

\(=4.7\times10^{12}m^2s^{-2} \)

निष्कर्ष:

इसलिए, अनंत विभव कूप में सीमित इलेक्ट्रॉन के वेग के वर्ग का प्रत्याशा मान \(4.7\times10^{12}m^2s^{-2} \) है।

अवधारणा:

रैखिक और स्थिति संवेग के लिए:

[x̂, p̂_x] = iℏ   ....(1)

[p̂_x, x̂] = -iℏ   ...(2)

[x̂ⁿ, p̂_x] = nx^n-1 [x, p̂_x]   ....(3)

[p̂_xⁿ, x̂] = np_x^n-1[p̂_x, x̂] .....(4)

व्याख्या:

दिया गया है → [x, p_x²]

→ अब समीकरण (4) और (1) का प्रयोग करके,

[x, p_x²] = 2 \(p_x^{2-1}\) [x, p_x]

= 2 p_x iℏ

∴ विकल्प '2' सही है।

[x, px2] = 2iℏp_x

संकल्पना:-

एक दिशीय (1D) बॉक्स, जिसे एक आयामी बॉक्स में कण या बॉक्स में कण के रूप में भी जाना जाता है, एक सरल क्वांटम यांत्रिक मॉडल है जो आमतौर पर दो दीवारों या बाधाओं के बीच एक आयामी क्षेत्र में स्थानांतरित होने के लिए सीमित कण के व्यवहार का वर्णन करता है।

दिया गया है:

\({h^2 \over 8m} = k\)

C-C की औसत बंधन लंबाई = 1.5 Å

व्याख्या:-

10 बंधों वाले पूरे संयुग्मित तंत्र के लिए बंध लंबाई है

= 1.5 x10

=15 Å

हम जानते हैं कि,

\(∆E=hν={(∆n)^2}{h^2 \over 8ma^2}\)

\(∆E={(∆n)^2}{k \over 15^2}\)

दिए गए संयुग्मित तंत्र में 10π इलेक्ट्रॉन निम्नलिखित तरीके से व्यवस्थित होते हैं -

10 π इलेक्ट्रॉन आद्य अवस्था बनाते हैं और पहला संक्रमण अवस्था n= 6 पर न्यूनतम संक्रमण स्तर पर होता है।

\(∆E={(6^2 -5^2)}{k \over 225}\)

\(∆E={11k \over 225}\)

• अब, तंत्र की आद्य अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करने के लिए आवश्यक आवृत्ति है,

\(∆E=hν={11k \over 225}\)

\(ν={11k \over 225 h}\)

निष्कर्ष:-

इसलिए, तंत्र की आद्य अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करने के लिए आवश्यक विकिरण की आवृत्ति \(\frac{11\,k}{225\,h}\) है।

अवधारणा:

• क्वांटम यांत्रिकी में औसत मान एक ही अवस्था में समान प्रणालियों या प्रणालियों पर बड़ी संख्या में माप किए जाने पर प्राप्त औसत परिणाम है।
• एक अवलोकनीय मात्रा A के लिए, औसत मान या अपेक्षा मान द्वारा दिया जाता है,

\(\left\langle {\rm{A}} \right\rangle {\rm{ = }}\int {{{\rm{\Psi }}^{\rm{*}}}{\rm{A\Psi d\tau }}} \)

व्याख्या:

• H परमाणु (He ⁺ ) जैसे एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली के लिए सामान्यीकृत ग्राउंड स्टेट वेव फंक्शन है:

\({\Psi _{1s}} = N{e^{ - {r \over {Z{a_ \circ }}}}}\) , N सामान्यीकरण स्थिरांक है और Z नाभिक की परमाणु संख्या है ।

• r का औसत मान या अपेक्षा मान  निम्न द्वारा दिया गया है,

\(\left\langle r \right\rangle = \int {{\Psi ^ * }_nr{\Psi _n}} d\tau \)

• अब, f या He + के 1s कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन, r का औसत मान, (r) द्वारा दिया गया है,

\(\left\langle r \right\rangle = \int {{\Psi ^ * }_{1s}r{\Psi _{1s}}} d\tau \) \(d\tau = {r^2}dr\sin \theta d\theta d\phi \)

\( = N\int_0^ \propto {r3{e^{ - {{2r} \over {Z{a_ \circ }}}}}} dr\int_0^\pi {sin\theta d\theta } \int_0^{2\pi } {d\phi } \)

\( = {{3{a_ \circ }} \over {2Z}}\)

• अब, He + आयन के लिए परमाणु क्रमांक

(Z) = 2.

• इस प्रकार, हे He+ आयन के लिए r, \(\left\langle r \right\rangle \) का औसत मान है

\( = {3 \over 4}{a_ \circ }\) .

निष्कर्ष:

• इसलिए, f या एक इलेक्ट्रॉन He + के 1s कक्षीय में , r, (r) का औसत मान \({3 \over 2}{a_ \circ }\) है

संकल्पना:

कुल कोणीय संवेग और संफुल्लन /निम्नन संकारकों के बीच दिक्परिवर्तक संबंध

• क्वांटम यांत्रिकी में, ऊपर (\(L_+\)) और नीचे (\(L_-\)) संकारक चुंबकीय क्वांटम संख्या m को परिवर्तित करते हैं, लेकिन वे कुल कोणीय संवेग \(L^2\) को प्रभावित नहीं करते हैं।
• संफुल्लन संकारक \(L_+\) चुंबकीय क्वांटम संख्या M को 1 से बढ़ाता है, और निम्नन संकारक \(L_-\) इसे 1 से कम कर देता है।
• कुल कोणीय संवेग \(L^2\) और इन संफुल्लन और निम्नन संकारकों के बीच दिक्परिवर्तक शून्य होता है क्योंकि इन संकारकों को लागू करने से कुल कोणीय संवेग परिमाण \(L^2\) नहीं बदलता है।

व्याख्या:

• कुल कोणीय संवेग संकारक \(L^2\) कोणीय संवेग सदिश के परिमाण का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि संफुल्लन और निम्नन संकारकों केवल z-अक्ष के साथ प्रक्षेपण को प्रभावित करते हैं (अर्थात, \( L_z\)).
• संफुल्लन और निम्नन संकारक के साथ \(L^2\) का दिक्परिवर्तक शून्य होता है क्योंकि वे कुल कोणीय संवेग के परिमाण को प्रभावित नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे केवल \(L_z\) घटक को संशोधित करते हैं:
  • \([L^2, L_+] = 0\) \([L^2, L_-] = 0\)

गणना:

• कुल कोणीय संवेग संकारक \(L^2\) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
  • \(L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2\)
• संफुल्लन और निम्नन संकारक को कोणीय संवेग घटकों \(L_x\) और \(L_y\) के संदर्भ में परिभाषित किया गया है:
  • \(L_+ = L_x + iL_y\) \(L_- = L_x - iL_y\)
• अब, हम दिक्परिवर्तक \([L^2, L_+]\) की गणना इसे विस्तारित करके करते हैं:
  • \([L^2, L_+] = [L_x^2 + L_y^2 + L_z^2, L_x + iL_y]\)
• इसे तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है:
  • \([L_x^2, L_+] = 0\) \([L_y^2, L_+] = 0\) \([L_z^2, L_+] = 0\)
• इसलिए, कुल दिक्परिवर्तक \([L^2, L_+]\) के परिणामस्वरूप होता है:
  • \([L^2, L_+] = 0\)
• इसी तरह, निम्नन संचालक \(L_-\) के लिए, हम समान चरणों का पालन करते हैं:
  • इसे भागों में तोड़ने से प्रत्येक दिक्परिवर्तक के लिए शून्य भी मिलता है: \([L^2, L_-] = [L_x^2 + L_y^2 + L_z^2, L_x - iL_y]\)
    • \([L_x^2, L_-] = 0\) \([L_y^2, L_-] = 0\) \([L_z^2, L_-] = 0\)
• इस प्रकार, अंतिम दिक्परिवर्तक है:
  • \([L^2, L_-] = 0\)

निष्कर्ष:

सही दिक्परिवर्तक संबंध है: \( [L^2, L_+] = [L^2, L_-] = 0\).

संकल्पना:

क्वांटम यांत्रिकी में, संचालकों के बीच क्रमविनिमयक संबंध भौतिक प्रणालियों का वर्णन करने में महत्वपूर्ण होते हैं। स्थिति संचालक (x) और संवेग संचालक (p_x) के लिए, मूल क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) है। यह कई अन्य क्रमविनिमयक संबंधों का आधार बनाता है। क्रमविनिमयक संबंधों के गुण:

• संचालकों (A) और (B) के लिए, क्रमविनिमयक संबंध को (A, B = AB - BA) के रूप में परिभाषित किया गया है।
• स्थिति और संवेग की शक्तियों से जुड़े क्रमविनिमयक संबंधों को क्रमविनिमयक संबंधों के श्रृंखला नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
• क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक है।

व्याख्या:

• क्रमविनिमयक संबंधों के लिए श्रृंखला नियम देता है:

  • (\([x^2, p_x^2] = x[x, p_x^2] + [x, p_x^2]x\)).

• ज्ञात क्रमविनिमयक संबंध (x, p_x = iħ) का उपयोग करके, हम (\([x, p_x^2]\)) के क्रमविनिमयक संबंध को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:

  • \([x, p_x^2] = [x, p_x]p_x + p_x[x, p_x] = iħp_x + p_xiħ = 2iħp_x\)

• इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए:

  • \([x^2, p_x^2] = x(2iħp_x) + (2iħp_x)x = 2iħ(xp_x + p_xx)\)

निष्कर्ष:

क्रमविनिमयक संबंध (\([x^2, p_x^2]\)) \(2iħ(xp_x + p_xx)\) है, जो विकल्प 4 से मेल खाता है।

सिद्धांत:

हाइड्रोजनिक तरंग फलन हाइड्रोजन परमाणु (या हाइड्रोजन जैसे आयनों) के लिए श्रोडिंगर समीकरण के हल हैं और तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा चिह्नित किए जाते हैं: n (प्रमुख क्वांटम संख्या), l (कोणीय संवेग क्वांटम संख्या), और m_l (चुंबकीय क्वांटम संख्या)।

तरंग फलन का विशिष्ट रूप इन क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करता है, और क्वांटम संख्याओं के प्रत्येक अनुमत समुच्चय के लिए तरंग फलन के मूलक और कोणीय भागों की गणना करने के लिए गणितीय व्यंजक हैं।

दिया गया है:

Lz = ℏ

व्याख्या:

विभिन्नता प्रमेय के अनुसार, L_z के लिए आइगेन मान है

L_z = mℏ

∴ m =1

⇒ m=1 अर्थात Y₁₁ के लिए प्रायिकता की गणना करना

\(P(m=1)={P(Y_{11}) \over कुल प्रायिकता}\)

\(P(m=1)= {(1/\sqrt{2})^2 \over (1/\sqrt{2})^2 + 1^2}\)

\(P(m=1)={1\over3}\)

निष्कर्ष:

L_z के लिए प्रायिकता जो h का आइगेन मान देगा वह \({1\over 3}\) है।