Statistical Thermodynamics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Statistical Thermodynamics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 24, 2025
Latest Statistical Thermodynamics MCQ Objective Questions
Statistical Thermodynamics Question 1:
एक दो-स्तरीय निकाय में एक द्वि-अपभ्रष्ट उत्तेजित अवस्था है जो निम्नतम अवस्था से e ऊर्जा ऊपर है। In(Pe /Pg) बनाम 1/T आरेख का y-अंतःखंड क्या है? (Pe और Pg क्रमशः उत्तेजित और निम्नतम अवस्थाओं से संबंधित प्रायिकताएँ हैं।)
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
बोल्ट्जमान वितरण और अपभ्रष्टता
- Ei ऊर्जा और gi अपभ्रष्टता वाली अवस्था i में एक निकाय के होने की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
Pi ∝ gi · e−Ei / kT
- इसलिए, दो अवस्थाओं के लिए:
- निम्नतम अवस्था: ऊर्जा = 0, अपभ्रष्टता = gg
- उत्तेजित अवस्था: ऊर्जा = ε, अपभ्रष्टता = ge
व्याख्या:
- gg = 1 (अनापभ्रष्ट निम्नतम अवस्था)
- ge = 2 (द्वि-अपभ्रष्ट उत्तेजित अवस्था)
- ऊर्जा अंतर = ε
- बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करते हुए:
\(\frac{P_e}{P_g} = \frac{g_e}{g_g} \cdot e^{-ε / kT} = 2 \cdot e^{-ε / kT}\)
- प्राकृतिक लघुगणक लेते हुए:
\(\ln\left(\frac{P_e}{P_g}\right) = \ln(2) - \frac{ε}{kT}\)
- अब इसे एक सरल रेखा के समीकरण से तुलना करते हुए: y = mx + c
- y = ln(Pe/Pg)
- x = 1/T
- अंतःखंड = ln(2)
इसलिए, y-अंतःखंड ln(2) है।
Statistical Thermodynamics Question 2:
100 cm³ आयतन में 25oC पर H2 (m = 2.016u) अणु का स्थानांतरीय विभाजन फलन x है। समान परिस्थितियों में, D2 अणु का स्थानांतरीय फलन H2 की तुलना में होगा:
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 2 Detailed Solution
सही उत्तर है 2(3/2) गुना बड़ा
व्याख्या:-
स्थानांतरीय विभाजन फलन की तुलना:
स्थानांतरीय विभाजन फलन (qtrans) को निम्न व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
qtrans = (2πmkT/h2)(3/2)V
जहाँ:
- m अणु का द्रव्यमान है
- k बोल्ट्जमान नियतांक है
- T तापमान है
- h प्लांक नियतांक है
- V पात्र का आयतन है
स्थानांतरीय विभाजन फलन अणु के द्रव्यमान के समानुपाती होता है:
qtrans ∝ m(3/2)
दिया गया है कि H2 (mH2) का द्रव्यमान 2.016u है और H2 (qH2) के लिए स्थानांतरीय विभाजन फलन x है। हमें इसे D2 (qD2) के स्थानांतरीय विभाजन फलन के साथ तुलना करने की आवश्यकता है।
D2 (mD2) का द्रव्यमान H2 के द्रव्यमान का लगभग दोगुना है, अर्थात्, 2mH2।
तापमान और आयतन की समान परिस्थितियों में qD2 की qH2 से तुलना करने के लिए, हम समानुपाती संबंध का उपयोग करते हैं:
qD2 / qH2 = (mD2 / mH2)(3/2)
चूँकि mD2 = 2mH2:
qD2 / qH2 = (2mH2 / mH2)(3/2)
qD2 / qH2 = 2(3/2)
निष्कर्ष:-
इस प्रकार, समान परिस्थितियों में D2 अणु का स्थानांतरीय विभाजन फलन H2 अणु की तुलना में 2(3/2) गुना बड़ा होगा, जिससे सही उत्तर विकल्प 3 बन जाता है।
Statistical Thermodynamics Question 3:
5000 K पर अभिक्रिया के लिए मानक साम्यावस्था स्थिरांक निर्धारित करें:
N2(g) ⇌ 2N(g)
दिया गया है: बंध लंबाई (req): N2 के लिए 110 pm, N2(g) के कंपन की शास्त्रीय आवृत्ति: 7.07 x 1013 s-1, N2(g) की वियोजन ऊर्जा: 940.3 kJ mol-1, आधार इलेक्ट्रॉनिक स्तर की अपभ्रंशता: N2: 1, N(g): 4
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
N(g) का विभाजन फलन
- एकपरमाण्विक स्पीशीज के लिए, विभाजन फलन दिया गया है:
q = qt qe
- अनुवादात्मक विभाजन फलन के लिए व्यंजक है:
qt = V (2πmkT / h2)3/2
- इस प्रकार,
qt / V = (2πmkT / h2)3/2
- qt / V = [(2 x 3.14) (14 x 1.66 x 10-27 kg) (1.38 x 10-23 J K-1) (5000 K)]3/2 / (6.626 x 10-34 J s)2
= 3.474 x 1033 m-3
- qe = g0 = 4
- qN = qt qe = [(3.474 x 1033 m-3) (4)] V = (1.390 x 1034) V
N2(g) का विभाजन फलन
- द्विपरमाण्विक स्पीशीज के लिए, हमारे पास है:
q = qt qv qe
- N2 के लिए, अनुवादात्मक विभाजन फलन है:
qt / V = (2πmkT / h2)3/2
- मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
qt / V = [(2 x 3.14) (28 x 1.66 x 10-27 kg) (1.38 x 10-23 J K-1) (5000 K)]3/2 / (6.626 x 10-34 J s)2
= 9.826 x 1033 m-3
संप्रत्यय:
N2 के लिए विभाजन फलन गणनाएँ
घूर्णन विभाजन फलन:
- अपचयित द्रव्यमान दिया गया है:
μ = m1m2 / (m1 + m2) = m2 / 2m = (14 x 1.66 x 10-27 kg) / 2 = 1.16 x 10-26 kg
- जड़त्व आघूर्ण:
I = μreq2 = (1.16 x 10-26 kg) (110 x 10-12 m)2 = 1.40 x 10-46 kg m2
- घूर्णन विभाजन फलन:
qr = (8π2IkT / h2σ)
= [8 (3.14)2 (1.40 x 10-46 kg m2) (1.38 x 10-23 J K-1) (5000 K)] / [(6.626 x 10-34 J s)2 x 2]
= 867.7
कंपन विभाजन फलन:
- कंपन तापमान:
θv = hv / k = [(6.626 x 10-34 J s) (7.07 x 1013 s-1)] / (1.38 x 10-23 J K-1) = 3395 K
- qv = 1 / (1 - e-θv/T)
= 1 / (1 - e-3395/5000) = 1 / (1 - 0.507) = 2.029
इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन:
- इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन है:
qe = ge = 1
N2 के लिए कुल विभाजन फलन:
- कुल विभाजन फलन है:
qN2 = qt qr qv qe
= [(9.826 x 1033 m-3) V] (867.7) (2.029) (1)
= (1.73 x 1037 m-3) V
अभिक्रिया का साम्यावस्था स्थिरांक:
- साम्यावस्था स्थिरांक दिया गया है:
Kpo = (kT / Po)∑νi e-ΔU/RT ∏i (qi / V)νi
- मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
Kpo = [(1.38 x 10-23 J K-1) (5000 K)] / (105 Pa)
x exp[-(940300 J mol-1) / (8.314 J K-1 mol-1 x 5000 K)]
x [(1.39 x 1034 m-3)2] / (1.73 x 1037 m-3)
= 0.00116
इसलिए, साम्यावस्था स्थिरांक Kpo = 0.00116 है।
Statistical Thermodynamics Question 4:
यद्यपि किसी निकाय के ऊर्जा स्तरों का एक स्थिर परिवर्तन विभाजन फलन को बदल देता है, लेकिन कौन-से गुण बदलते हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, विभाजन फलन (Z) निकाय के ऊष्मागतिक गुणों के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी को एन्कोड करता है। यदि किसी निकाय के ऊर्जा स्तरों को एक स्थिर मात्रा से स्थानांतरित किया जाता है, तो विभाजन फलन (Z) प्रभावित होता है, और यह परिवर्तन कुछ ऊष्मागतिक गुणों को प्रभावित कर सकता है।
आइए एक ऐसे निकाय पर विचार करें जहाँ प्रत्येक ऊर्जा स्तर (Ei) को एक स्थिर मात्रा (ΔE) से स्थानांतरित किया जाता है: [Ei' = Ei + ΔE]
नया विभाजन फलन बन जाता है: \( Z' = \sum_{i} e^{-β E_i'} = \sum_{i} e^{-β (E_i + Δ E)} = e^{-β Δ E} \sum_{i} e^{-β E_i} = e^{-β Δ E} Z \) जहाँ \(β = \frac{1}{k_B T}\).
व्याख्या:
हम विभिन्न ऊष्मागतिक गुणों पर इस स्थिर परिवर्तन के प्रभाव की जांच करते हैं:
1. औसत ऊर्जा 〈E〉:
औसत ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है: \(〈 E 〉 = \frac{\partial \ln Z}{\partial β} \)
\(( \ln Z' = \ln \left( e^{-β Δ E} Z \right) = \ln \left( e^{-β Δ E} \right) + \ln Z = -β Δ E + \ln Z ) \)
\( 〈 E' 〉 = -\frac{\partial \ln Z'}{\partial β} = -\frac{\partial}{\partial β} \left( -β Δ E + \ln Z \right) = -\frac{\partial}{\partial β} \left( -β Δ E\right) + \frac{\partial \ln Z}{\partial β} \)
\( 〈 E' 〉 = -(- Δ E) +〈 E 〉 = 〈 E 〉 +Δ E \)
इस प्रकार, ऊर्जा स्तरों में एक स्थिर परिवर्तन औसत ऊर्जा 〈E〉 को (ΔE) मात्रा से बदल देता है।
2. एन्ट्रापी (S):
एन्ट्रापी इस प्रकार दी जाती है: \( S = k_B \left( \ln Z + β 〈 E 〉 \right) \) चूँकि (\ln Z') में (βΔE) शामिल है लेकिन 〈E〉 को (ΔE) से स्थानांतरित किया जाता है, एन्ट्रापी में कोई शुद्ध परिवर्तन नहीं होता है:
\( \ln Z = a; \ln Z' = a- β Δ E ; \ln Z' +β 〈 E' 〉 = (a-β Δ E) +β 〈 E 〉 + β Δ E =a+β 〈 E 〉 \)
इसका अर्थ है, βΔE रद्द हो जाते हैं। इसलिए, चूँकि एन्ट्रापी (S) ऊर्जा स्तरों को स्थानांतरित करने से नहीं बदलती है।
3. ऊष्मा धारिता (CV):
ऊष्मा धारिता इस प्रकार दी जाती है:\( C_V = \frac{\partial 〈 E 〉}{\partial T} C_V =\frac{\partial }{\partial β(\frac{〈 E 〉 }{\partial T})} =\frac{\partial}{\partial β (\frac{〈 E 〉}{\partial T})} C_V =0 %\)
एक स्थिर परिवर्तन \(\frac{d 〈 E 〉}{dT}\) को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए ऊष्मा धारिता नहीं बदलती है। इसलिए, ऊर्जा स्तरों को स्थानांतरित करने से ऊष्मा धारिता (CV) नहीं बदलती है।
निष्कर्ष:
निकाय के वे गुण जो ऊर्जा स्तरों के एक स्थिर परिवर्तन के कारण बदलते हैं, वे औसत ऊर्जा हैं।
Statistical Thermodynamics Question 5:
1 लीटर आयतन में 300K पर सीमित हीलियम के लिए स्थानांतरीय विभाजन फलन, जिसकी तापीय तरंगदैर्ध्य 3.2 × 10-10 मीटर है, किसके निकटतम है?
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
आयतन (V) और तापीय तरंगदैर्ध्य (λth) वाले कण के लिए स्थानांतरीय विभाजन फलन (Ztrans) इस प्रकार दिया गया है:
\(Z_{trans} = \frac{V}{λ_{th}^3} \) जहाँ (V) आयतन है और λth तापीय तरंगदैर्ध्य है।
व्याख्या:
दिए गए प्राचल:
- (V = 1L = 1 लीटर = 1 × 10-3 m3)
- (λth = 3.2 × 10-10 m)
स्थानांतरीय विभाजन फलन के सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
\( Z_{trans} = \frac{V}{λ_{th}^3} = \frac{1 × 10^{-3} \text{m}^3}{(3.2 × 10^{-10} \text{m})^3} \)
सबसे पहले, 3.2 × 10-10 m3 की गणना करें:
\((3.2 × 10^{-10} \text{m})^3 = 3.2^3 × (10^{-10})^3 = 32.768 × 10^{-30} \text{m}^3 \)
अब, विभाजन फलन की गणना करें:
\( Z_{trans} = \frac{1 × 10^{-3} \text{m}^3}{32.768 × 10^{-30} \text{m}^3} = \frac{1}{32.768} × 10^{27} \)
संख्यात्मक मान की गणना करें:
\( \frac{1}{32.768} \approx 0.0305 \)
इसलिए:
\(Z_{trans} \approx 0.0305 × 10^{27} = 3.05 × 10^{-2} × 10^{27} = 3.05 × 10^{25} \)
निष्कर्ष:
1 लीटर आयतन में 300K पर सीमित हीलियम के लिए स्थानांतरीय विभाजन फलन, जिसकी तापीय तरंगदैर्ध्य 3.2 × 10-10 मीटर है, 3.05× 10-25 के निकटतम है।
Top Statistical Thermodynamics MCQ Objective Questions
एक आदर्श गैस के लिए, कैनोनिकल एन्सेंबल में आणविक विभाजन फलन, जो निकाय के आयतन (𝑉) के समानुपाती है, वह है
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:-
स्थानांतरण विभाजन फलन (qtrans): यह गैस अणुओं की स्थानांतरण गति से संबंधित विभाजन फलन है। तीन आयामों में N समान कणों की एक आदर्श गैस के लिए, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
qtrans = (2πmKT/h2)(3/2) * V
जहाँ m एक अणु का द्रव्यमान है, K बोल्ट्जमान स्थिरांक है, T केल्विन में तापमान है, h प्लांक स्थिरांक है, और V निकाय का आयतन है।
घूर्णन विभाजन फलन (qrot): रेखीय अणुओं के लिए, घूर्णन विभाजन फलन अणुओं की घूर्णन गति को ध्यान में रखता है। अभिलक्षणिक घूर्णन तापमान Θrot से काफी अधिक तापमान के लिए, यह दिया गया है:
qrot = T / Θrot
अरेखीय अणुओं के लिए, घूर्णन विभाजन फलन अधिक जटिल हो जाता है, जिसमें घूर्णन स्थिरांक और समरूपता संख्या शामिल होती है।
कंपन विभाजन फलन (qvib): यह फलन अणु की कंपन अवस्थाओं का वर्णन करता है। एकल कंपन मोड और v की कंपन क्वांटम संख्या वाले अणु के लिए, कंपन विभाजन फलन है:
qvib = 1 / (1 - exp(-hν/kT))
जहाँ h प्लांक स्थिरांक है, ν कंपन की आवृत्ति है, और k बोल्ट्जमान स्थिरांक है।
व्याख्या:-
यदि हम विभिन्न विभाजन कार्यों की गणना के सूत्र को देखें तो हम पाते हैं कि केवल स्थानांतरण विभाजन फलन ही सीधे निकाय के आयतन (V) से संबंधित है। किसी अन्य विभाजन फलन में (V) आयतन कारक इसकी गणना में शामिल नहीं है।
कंपन विभाजन फलन
qvib = 1/ (1-e-hv/KBT)
घूर्णन विभाजन फलन,
qrot = KB. T/ \(\sigma hB\)
इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन,
qelec. = \(\sum g_ie^{-BE_j}\)
स्थानांतरण विभाजन फलन,
qtrans = (2\(\pi\)mKT)3/2.V / h2
जहाँ, V = निकाय का आयतन।
इसलिए, केवल स्थानांतरण विभाजन फलन में एक आयतन तत्व है।
निष्कर्ष:-
इसलिए, कैनोनिकल एन्सेंबल में आणविक विभाजन फलन, जो निकाय के आयतन (𝑉) के समानुपाती है, वह स्थानांतरण विभाजन फलन है।
छः विभैद्य कण जिनकी ऊर्जा 0, ε तथा 2ε हैं, 3 अनपभ्रष्ट स्तरों में वितरित किये गये हैं कुल ऊर्जा का जो मान सर्वाधिक संभावित है, वह है
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकपना:
एक अनपभ्रष्ट तंत्र के लिए ऊर्जा स्तरों का प्रायिकता वितरण बोल्ट्जमान वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बोल्ट्जमान वितरण किसी विशेष ऊर्जा अवस्था E में एक तंत्र को खोजने की प्रायिकता, P(E), देता है जब वह तापमान T पर अपने परिवेश के साथ तापीय साम्य में होता है।
दिया गया है:
तीन अनपभ्रष्ट स्तरों की ऊर्जा 0, ε, 2ε है
व्याख्या:
तीन स्तर अनपभ्रष्ट हैं, इसलिए ऊर्जा की केवल एक अवस्था है।
3 ऊर्जा स्तरों पर अधिधारण करने वाले कणों की संख्या N1, N2, N3 हो
जहां, N1+N2+N3 = 6
चूँकि कण अलग-अलग हैं, इसलिए कणों को चुनने के तरीकों की संख्या अर्थात सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है
\(W = {6! \over N_1! N_2!N_3!}\)
जहां, W= उष्मागतिकी प्रायिकता
सबसे संभावित वितरण वह है जहां W अधिकतम है और N1! N2! N3! न्यूनतम है अर्थात
N1=N2=N3 = 2
तंत्र का ऊर्जा वितरण है-
0N1 + εN2+ 2εN3
= 0x2 +εx2 +2ε x 2
= 6ε
निष्कर्ष:
कुल ऊर्जा के लिए सबसे संभावित मान 6ε है।
ठोस OCS के लिए मोलर अवशिष्ट एन्ट्रापी का मान (J K−1 में) जिसके निकटतम होगा, वह है
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 8 Detailed Solution
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किसी ठोस का अवशिष्ट एन्ट्रॉपी वह एन्ट्रॉपी है जो परम शून्य पर भी ठोस में बनी रहती है। यह क्रिस्टल संरचना में अव्यवस्था के कारण होता है। क्रिस्टल संरचना जितनी अधिक अव्यवस्थित होगी, अवशिष्ट एन्ट्रॉपी उतनी ही अधिक होगी।
व्याख्या:
OCS अणु की संरचना मुड़ी हुई होती है, जो क्रिस्टल संरचना में एक निश्चित मात्रा में अव्यवस्था की अनुमति देती है। यह अव्यवस्था 5.8 J K−1 के अवशिष्ट एन्ट्रॉपी की ओर ले जाती है।
किसी ठोस का अवशिष्ट एन्ट्रॉपी निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
\(S_r = R \ln p\)
जहाँ: Sr अवशिष्ट एन्ट्रॉपी (J K−1 में) है, R गैस स्थिरांक (8.314 J K−1 mol−1) है और p क्रिस्टल में अणु के संभावित अभिविन्यासों की संख्या (जिसे अपभ्रंशता भी कहा जाता है) है।
OCS के मामले में, अणु के क्रिस्टल में दो संभावित अभिविन्यास होते हैं। इसका मतलब है कि अपभ्रंशता p=2 है। अवशिष्ट एन्ट्रॉपी के लिए समीकरण में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:
\(S_r = R \ln 2 = 5.8 \;J K^{-1}\)
इसलिए, ठोस OCS का मोलर अवशिष्ट एन्ट्रॉपी 5.8 J K−1 है।
किसी दिए गए तापमान पर, एक परमाणु का क्रमश:, 0 kBT, 0.5 kBT तथा 0.5 kBT, ऊर्जाओं के 2S1/2, 2P1/2 तथा 2P3/2 परमाणु अवस्थाओं तक पहुँच है। P अवस्थाओं में परमाणुओं का अंश है
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।
-
बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( \(e^{-\frac{E}{k_B T}} \)) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।
-
ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।
-
पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।
-
विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।
-
-
पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।
-
विभाजन फलन: विभाजन फलन ( \(Z = \sum g_i e^{-\frac{E_i}{k_B T}}\) ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।
व्याख्या:
-
परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: \(^2S_{1/2} \), \(^2P_{1/2}\) , और \(^2P_{3/2}\) जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 kBT, और 0.5 kBT हैं।
-
2S1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, 2P1/2 के लिए 2 है, और 2P3/2 के लिए 4 है।
-
बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:
-
\(Z = g_1 e^{-\frac{E_1}{k_B T}} + g_2 e^{-\frac{E_2}{k_B T}} + g_3 e^{-\frac{E_3}{k_B T}} = 2 + 2e^{-0.5} + 4e^{-0.5} \)
-
-
P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों 2P1/2 और 2P3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:
-
\(\frac{2e^{-0.5} + 4e^{-0.5}}{2 + 2e^{-0.5} + 4e^{-0.5}} = \frac{6e^{-0.5}}{2 + 6e^{-0.5}} = \frac{3e^{-0.5}}{1 + 3e^{-0.5}}\)
-
निष्कर्ष:
-
P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश \(\frac{3e^{-0.5}}{1 + 3e^{-0.5}}\) है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।
नीचे दिए गए विभिन्न एकल कण निकायों के ऊर्जा आरेखों में से, तापमान \(T=\frac{\varepsilon}{k_B}\) पर न्यूनतम हेल्महोल्त्स (Helmholtz) मुक्त ऊर्जा वाला निकाय है
\(\left[\frac{1}{e}=0.37\right]\)
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा ( F ) प्रणाली के विभाजन फलन ( Z ) पर निर्भर करती है और इसे निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा समीकरण: \(F = -k_B T \ln Z\)
कई ऊर्जा स्तरों ( Ei ) वाली प्रणाली के लिए विभाजन फलन ( Z ) की गणना इस प्रकार की जाती है:
विभाजन फलन समीकरण: \(Z = \sum g_i e^{-E_i/k_B T}\)
जहाँ:
- gi ऊर्जा स्तर की पतनता है
- Ei अवस्था की ऊर्जा है
प्रत्येक प्रणाली के लिए, विभाजन फलन की गणना आरेख में दी गई ऊर्जाओं और दिए गए तापमान ( \(T = \frac{\epsilon}{k_B}\) ) का उपयोग करके की जाती है।
व्याख्या:
-
प्रणाली 1: 0 और \(\epsilon\) ऊर्जा वाली दो अवस्थाएँ, दोनों की पतनता, q = 1 है।
-
विभाजन फलन है:
-
\(Z_1 = e^{-\beta \cdot 0} + e^{-\beta \cdot \epsilon}\)
-
\(Z_1 = 1 + e^{-\beta \epsilon}\)
-
-
प्रणाली 2: 1 और 2 पतनता वाली दो ऊर्जा स्तर, और 0
ϵ " id="MathJax-Element-18-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">ϵ " id="MathJax-Element-34-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">ϵ क्रमशः ऊर्जाएँ।-
विभाजन फलन है:
-
\(Z_2 = e^{-\beta \cdot 0} + 2e^{-\beta \cdot \epsilon} \)
-
\(Z_2 = 1 + 2e^{-\beta \epsilon}\)
-
-
प्रणाली 3: 2 और 1 पतनता वाली दो ऊर्जा स्तर, और 0 क्रमशः ऊर्जाएँ।
-
विभाजन फलन है:
-
\(Z_3 = 2e^{-\beta \cdot 0} + e^{-\beta \cdot \epsilon} \)
-
\(Z_3 = 2 + e^{-\beta \epsilon}\)
-
-
प्रणाली 4: 0 ऊर्जा वाली दो ऊर्जा स्तर, दोनों की पतनता 2 है।
-
विभाजन फलन है:
-
\(Z_4 = 2e^{-\beta \cdot 0} + 2e^{-\beta \cdot \epsilon}\)
-
\(Z_4 = 2 + 2e^{-\beta \epsilon}\)
-
चूँकि Z4 सबसे बड़ा है, इसलिए हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा (F) प्रणाली 4 के लिए सबसे कम है।
निष्कर्ष:
सबसे कम हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा वाली प्रणाली प्रणाली 4 है।
एक गैस का विभाजन फलन दिया गया है:
Q(N, V, T) = \(\frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta}\right)^{3N/2}\) (v - Nb)Ne \(\frac{\beta aN^2}{V}\)
गैस की आंतरिक ऊर्जा है
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण समान लेकिन अलग-अलग कणों के बीच ऊर्जा की मात्रा के वितरण से संबंधित है।
- यह विभिन्न ऊर्जाओं वाले निकाय में अवस्थाओं के वितरण की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है। एक विशेष स्थिति तथाकथित आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण नियम है।
- ऊर्जा के बोल्ट्जमैन वितरण का पालन करने वाले निकाय की आंतरिक ऊर्जा U के लिए अंतिम व्यंजक है:
U = \(\rm k_BT^2\left(\frac{\partial ln Q}{\partial T}\right)_{V} \).......(1)
व्याख्या:-
- गैस के लिए विभाजन फलन दिया गया है
Q(N, V, T) = \(\frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta}\right)^{3N/2}\) (v - Nb)Ne \(\frac{\beta aN^2}{V}\).........(2)
- समीकरण (2) के दोनों ओर ln लेने पर, हमें प्राप्त होता है,
\(lnQ(N,V,T)=ln\left ( \frac{1}{N!} \right )+\frac{3N}{2}ln\left ( \frac{2\pi m}{h^2} \right )+\frac{3N}{2}ln(\frac{1}{\beta})\)
\(+ Nln\left ( V-Nb \right )+\frac{\beta \alpha N^2}{V}\)
या,
\(lnQ(N,V,T)=ln\left ( \frac{1}{N!} \right )+\frac{3N}{2}ln\left ( \frac{2\pi m}{h^2} \right )+\frac{3N}{2}ln({k_BT}{})\)
\(+ Nln\left ( V-Nb \right )+\frac{ \alpha N^2}{k_BTV}\)
या, \(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )=\frac{\partial }{\partial T}\left [ ln\left ( \frac{1}{N!} \right )+\frac{3N}{2}ln\left ( \frac{2\pi m}{h^2} \right )+\frac{3N}{2}ln({KT}{})+ Nln\left ( V-Nb \right )+\frac{ \alpha N^2}{k_BTV} \right ]\)
या,
\(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )=\left [0+0+\frac{3N}{2}\times \frac{1}{k_BT}\times k_B+ 0+\frac{ \alpha N^2}{k_BV}\frac{\partial }{\partial T} \left ( \frac{1}{T} \right )\right ]\)
या,
\(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )=\left [\frac{3N}{2}\times \frac{1}{T}+\frac{ \alpha N^2}{k_BV}\left ( \frac{-1}{T^2} \right )\right ]\)
या,
\(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )=\left [ \frac{3N}{2T}-\frac{ \alpha N^2}{k_BVT^2}\right ]\)
- अब, समीकरण (1) में \(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )\) का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है,
U = \(\rm k_BT^2\left [ \frac{3N}{2T}-\frac{ \alpha N^2}{k_BVT^2}\right ]\)
या, U = kBT2 x \(\frac{3N}{2T}\) - kBT2 x \(\frac{ \alpha N^2}{k_BVT^2}\)
या, U = \(\frac{3}{2}Nk_BT-\frac{aN^2}{V}\)
निष्कर्ष:-
इसलिए, गैस की आंतरिक ऊर्जा \(\frac{3}{2}Nk_BT-\frac{aN^2}{V}\) है1 मोल 16O2 तथा 1 मोल 18O2 की दो समान आयतन के भिन्न पात्रों में एन्ट्रॉपी समान है। एन्ट्रॉपी में घूर्णन तथा कंपन योगदान को न मानते हुए, यदि 16O2 का तापमान 300K है, तो 18O2 का K में तापमान क्या है,
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एन्ट्राॅपी (S) ऊष्मागतिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो किसी निकाय में अव्यवस्था या यादृच्छिकता की मात्रा को मापती है। यह एक अवस्था फलन है, जिसका अर्थ है कि यह केवल निकाय की वर्तमान अवस्था पर निर्भर करता है और उस पथ पर नहीं जिसके द्वारा निकाय उस अवस्था तक पहुँचा।
व्याख्या:
दो समस्थानिक गैसें 16O2 और 18O2 में समान एन्ट्राॅपी और आयतन है, जिसमें कम द्रव्यमान वाला होगा, उसका तापमान अधिक होगा, जबकि उच्च द्रव्यमान वाला होगा, उसका तापमान कम होगा। आप 18O2 के तापमान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं:
\({T_1\over T_2}={m_2\over m_1}\)
जहाँ,
T1 = 16O2 का तापमान = 300K
T2 = 18O2 का तापमान
m1 = 16O2 का मोलर द्रव्यमान = 32 g/mol
m2 = 18O2 का मोलर द्रव्यमान = 36 g/mol
उपरोक्त समीकरण में मान रखने पर
\({300K\over T_2}={36 g/mol\over 32g/mol}\)
\(T_2 = {300K×32g/mol \over 36g/mol}\)
∴ T2 = 266.66 K
निष्कर्ष:
18O2 का तापमान 266.66K होगा।
दो फर्मीऑन कणों के निकाय के लिए जो प्रत्येक तीन संभावित क्वांटम अवस्थाओं में से किसी एक में हो सकता है, प्रायकिता का अनुपात क्या होगा जब दो कण एक ही अवस्था में हैं और जब दो कण अलग-अलग अवस्थाओं में हैं
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:-
- दो फर्मियोनिक कणों की प्रणाली के लिए, पाउली अपवर्जन सिद्धांत लागू होता है, जो कहता है कि दो फर्मियोनिक कण एक ही समय में एक ही क्वांटम अवस्था में नहीं रह सकते हैं।
- इसका अर्थ है कि दो फर्मियोनिक कणों को एक ही क्वांटम अवस्था में ज्ञात करने की प्रायिकता शून्य है।
- इसलिए, दो फर्मियोनिक कणों के एक ही अवस्था में होने की प्रायिकता का अनुपात, उनके अलग-अलग अवस्थाओं में होने की प्रायिकता से 0 है।
- चूँकि फर्मियोनिक कण एक ही अवस्था में नहीं रह सकते हैं, इसलिए इस स्थिति में अनुपात का कोई परिभाषित मान नहीं है।
- दो फर्मियोनिक कणों को एक ही अवस्था में खोजने की प्रायिकता शून्य है, जिससे इस मामले में अनुपात अपरिभाषित हो जाता है।
निष्कर्ष:-
इसलिए, दो कणों के एक ही अवस्था में होने की प्रायिकता का अनुपात, दो कणों के अलग-अलग अवस्थाओं में होने की प्रायिकता से 0 है।
एक द्वित: अपभ्रष्ट द्विस्तरीय निकाय जिसमें उत्तेजित अवस्था का मूल अवस्था से पृथकन ε ऊर्जा का है, पर विचार कीजिए। उत्तेजित अवस्था में, अणुओं का अंश जब T → ∞, है
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
→ दो-स्तरीय निकाय के लिए, जिसका उत्तेजित अवस्था द्विगुणित है, विभाजन फलन दिया गया है:
\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{g_{i}e^{-E_{a}/KT}}{\Sigma g_{i}e^{-E_{a}/KT}}\)
\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{g_{i}e^{-E_{a}/KT}}{g_{0}e^{-E_{a}/KT}+g_{1}e^{-E_{a}/KT}}\)
जहाँ k बोल्ट्ज़मान नियतांक है और T तापमान है।
उत्तेजित अवस्था में अणुओं का अंश दिया गया है:
\(f_{excited}=\frac{(2e^{(-\varepsilon /KT)})}{(1+2e)e^{(-\varepsilon /KT)}}\)
व्याख्या:
→ T → ∞ पर, हमारे पास \(\frac{1}{T}→ o\) है, जिसका अर्थ है कि हर, अंश से बहुत बड़ा हो जाता है। इसलिए,
\(e^{\frac{-1}{T}}= e^{0} = 1\), जिसके कारण घातीय पद 0 हो जाएगा।
\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{2e^{-E/KT}}{1e^{0}+2e^{-Z/KT}}\)
जब T → ∞
\(\frac{n_{i}}{N}=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}\)
→ gउत्तेजित = 2. मूल अवस्था अनिर्गुणित है, इसलिए gकुल = 2 (उत्तेजित अवस्था की अनिर्गुणता) + 1 (मूल अवस्था की अनिर्गुणता) = 3.
निष्कर्ष:
इसलिए, जैसे ही T → ∞, उत्तेजित अवस्था में अणुओं का अंश 2/3 के करीब पहुँच जाता है।
एक निकाय में उपस्थित N कण समान, विभेद्य और अन्योन्यक्रियाहीन हैं। इनमें से प्रत्येक के केवल दो ऊर्जा स्तर 0 तथा ϵ हैं। स्थिर आयतन (Cv) पर ताप धारिता की अभिव्यक्ति (β = 1/kBT) ______ द्वारा दी जाती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Statistical Thermodynamics Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- ऊष्मा धारिता किसी निकाय का स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में तापमान के सापेक्ष परिवर्तन है। \(C_V=\left (\frac{\partial U}{\partial T} \right )_V \)
- सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, आंतरिक ऊर्जा दी जाती है: \(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d} lnq}{\mathrm{d} T} \),
जहाँ, q विभाजन फलन है
KB बोल्ट्ज़मान नियतांक है, T तापमान है और N कणों की संख्या है।
- विभाजन फलन किसी निकाय के ऊष्मागतिक गुणों का सांख्यिकीय संबंध देता है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग सुलभ ऊर्जा अवस्थाओं का माप देने के लिए करता है।
- विभाजन फलन किसी भी निकाय की गणना इस प्रकार की जाती है;
\(q=\sum g_ie^{-\beta\epsilon _i}\)
व्याख्या:
- सबसे पहले हमें दिए गए निकाय के लिए विभाजन फलन ज्ञात करना होगा। प्रश्न के अनुसार, दिए गए अविभेद्य कणों की केवल दो संभावित ऊर्जा अवस्थाएँ 0 और \(\epsilon\) हैं।
- इस प्रकार, विभाजन फलन (q) दी गई दो ऊर्जा अवस्थाओं में कणों के वितरण का योग होगा और इस प्रकार q को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(q= g_0e^{-\beta 0 }+ g_1e^{-\beta \epsilon }\)
चूँकि, ऊर्जा अवस्थाएँ एकल अवनत हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है:
\(q= 1+ e^{-\beta \epsilon }\)
अब, इसे आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर, हमारे पास होगा:
\(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d}ln(1+e^{-\beta \epsilon }) }{\mathrm{d} T}\)
व्यंजक को हल करने पर मिलता है:
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\beta\epsilon)}{\mathrm{d} T}\)
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\epsilon/K_BT)}{\mathrm{d} T}\) (\(\because \beta=\frac{1}{K_BT}\))
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\epsilon}{K_BT^2}\)
\(U=\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)
अब, अंत में प्राप्त U मान का उपयोग स्थिर आयतन पर आंशिक रूप से तापमान के सापेक्ष विभेदित करके ऊष्मा धारिता ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
अर्थात,
\(C_V=\frac{\partial }{\partial T}\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)
\(=N\epsilon\left [ (1+e^{-\epsilon \beta}) \frac{\partial e^{-\epsilon \beta} }{\partial T}-(e^{-\epsilon \beta})\frac{\partial (1+ e^{-\epsilon \beta} )}{\partial x}\right ](1+ e^{-\epsilon\beta})^{-2}\)
\(=\frac{N\epsilon^2}{K_BT^2}\times\frac{ e^{- \epsilon\beta } }{(1+ e^{-\epsilon\beta})^2}\)
\(K_B\; e^{2\epsilon\beta}\) से गुणा और भाग देने पर मिलता है
\(=\frac{N\epsilon^2}{K_B^2T^2}\times\frac{e^{ \epsilon\beta }}{(1+ e^{\epsilon\beta})^2}\)
यह देता है,
\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)
निष्कर्ष:
N सर्वसम अविभेद्य कणों के दिए गए निकाय के लिए स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता है:
\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)