निम्न आव्यूह से सहचारी द्विघात रूप (quadratic form) Q(x, y, z) पर विचार करें

B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\)

मानें कि

S = \(\left\{\left[\begin{array}{l} \rm a \\\rm b \\\rm c\end{array}\right] \in \rm ℝ^3 \mid Q(a, b, c)=0\right\}\)

निम्न वक्तव्यों में से कौन-सा असत्य है?

अवधारणा:

एक द्विघात रूप अपभ्रष्ट होता है यदि कम से कम एक आइगेन मान 0 है।

व्याख्या:

B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\) और S = \(\left\{\left[\begin{array}{l} \rm a \\\rm b \\\rm c\end{array}\right] \in \rm ℝ^3 \mid Q(a, b, c)=0\right\}\).

इसलिए द्विघात रूप Q(x, y, z) = x² + y² -2z² + 2xy है

अब, Q(a, b, c) = 0

⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0....(i)

(1): xy-तल पर, z = 0 इसलिए c = 0

इसलिए (i) का तात्पर्य है

a 2 + b2 + 2ab = 0 ⇒ (a + b)² = 0 ⇒ a + b = 0

अर्थात, x + y = 0, जो एक रेखा है

इसलिए विकल्प (1) सत्य है

(2) xz-तल पर, y = 0 इसलिए b = 0

इसलिए (i) का तात्पर्य है

a2 - 2c2 = 0 ⇒ x2 - 2z2 = 0 जो दीर्घवृत्त का समीकरण नहीं है

इसलिए विकल्प (2) असत्य है

(3): (i) ⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0

⇒ (a + b)² = 2c²

⇒ a + b = ± √2c

इसलिए S दो समतलों का संघ है।

विकल्प (3) सत्य है

(4): B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\)

B के आइगेन मान -2, 2, 0 हैं

इसलिए Q एक अपभ्रष्ट द्विघात रूप है।

विकल्प (4) सत्य है।