समतलों 2x + y - 2z + 6 = 0 और 4x + 2y - 4z - 6 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिये।

अवधारणा:

दो समानांतर समतलों ax + by + cz +d1 = 0 और ax + by + cz +d2 = 0 के बीच की दूरी \(D= \left | \frac{d_{1}-d_{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right |\) द्वारा दी गई है

गणना:

दिया गया है कि: 2x + y - 2z + 6 = 0 और 4x + 2y - 4z - 6 = 0 दो समतल हैं।

यहां, हम समतल 2x + y - 2z + 6 = 0 के समीकरण को 2 के साथ 2x + y - 2z + 6 = 0 के दोनों पक्षों से गुणा द्वारा 4x + 2y - 4z + 12 = 0 के रूप में लिख सकते हैं।

जैसा कि हम देख सकते हैं कि, समतल 4x + 2y - 4z + 12 = 0 और 4x + 2y - 4z - 6 = 0 समांतर समतल हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है: \(D= \left | \frac{d_{1}-d_{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right |\)

यहां, a = 4, b = 2, c = - 4, d1 = 12 और d2 = - 6

⇒ \(D= \left | \frac{d_{1}-d_{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right |\)

⇒ \(D= \left | \frac{12-(-6)}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}} \right |\)

⇒ \(D= \left | \frac{18}{\sqrt{16+4+16}} \right |\)

⇒ \(D= \left | \frac{18}{6} \right |=3\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है।