वृत्तों के परिवार के समीकरण का पता लगाएं जो बिंदु (3, 7) और (6, 5) से गुजर रहे हैं।

अवधारणा :

दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है: \(\left( {x - {x_1}} \right) ⋅ \left( {x - {x_2}} \right) + \left( {y - {y_1}} \right) ⋅ \left( {y - {y_2}} \right) + λ ⋅ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&1\\ {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1 \end{array}} \right| = 0\) जहां λ ≠ - 1।

गणना:

यहां, हमें उन वृत्तों के परिवार के समीकरण का पता लगाना होगा जो बिंदुओं (3, 7) और (6, 5) से होकर गुजर रहे हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण इनके द्वारा दिया गया है: \(\left( {x - {x_1}} \right) ⋅ \left( {x - {x_2}} \right) + \left( {y - {y_1}} \right) ⋅ \left( {y - {y_2}} \right) + λ ⋅ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&1\\ {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1 \end{array}} \right| = 0\)

यहां,x1 = 3, y1 = 7, x2 = 6 और y2 = 5।

तो, आवश्यक समीकरण है: \(\left( {x - {3}} \right) ⋅ \left( {x - {6}} \right) + \left( {y - {7}} \right) ⋅ \left( {y - {5}} \right) + λ ⋅ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&1\\ {{3}}&{{7}}&1\\ {{6}}&{{5}}&1 \end{array}} \right| = 0\)

⇒ (x2 - 9x + 18) + (y2 - 12y + 35) + λ ⋅ (2x + 3y - 27) = 0

⇒ x2 + y2 + (2λ - 9) x + (3λ - 12)y + (53 - 27λ) = 0

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।