एक द्विघाती रूप f(x, y, z) ∈ ℝ[x, y, z] के लिए, हम कहते हैं कि (a, b, c) ∈ ℝ³ f का एक शून्यक है यदि f(a, b, c) = 0 है। निम्नलिखित में से किस द्विघाती रूप का कम से कम एक शून्यक (0, 0, 0) से भिन्न है?

संप्रत्यय:

द्विघाती रूप का शून्यक:

गणितीय रूप से, एक द्विघाती रूप इस रूप का एक व्यंजक है:

\(Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j\)
जहाँ \(a_{ij}\) अचर हैं और \(x_i,x_j\) चर हैं। द्विघाती रूप के शून्यक चरों के वे मान हैं

\((x_1,x_2,…,x_n) \) जो \(Q(x_1,x_2,…,x_n)= 0\) बनाते हैं।

व्याख्या:

विकल्प 1: \( x^2 + 2y^2 + 3z^2 \)

यह वर्गों का योग है। चूँकि \( x, y, z \) के किसी भी शून्येतर मान के लिए सभी पद धनात्मक हैं। 

यह द्विघाती रूप शून्यक नहीं हो सकता जब तक कि \(x = y = z = 0\) न हो। इसलिए, इस रूप का (0, 0, 0) के अलावा कोई शून्यक नहीं है।

विकल्प 2: \(x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy\)

इसमें \(-2xy \) गुणित पद शामिल है। हमें यह जाँचना होगा कि क्या इस रूप के शून्यक होने के कोई अतुच्छ हल हैं। हालाँकि, वर्ग पद प्रमुख हैं, और अकेला गुणित पद संपूर्ण व्यंजक को शून्यक तक कम करने की संभावना नहीं है जब तक कि \(x = y = z = 0\) न हो। इस प्रकार, किसी तुच्छ शून्यक का अस्तित्व नहीं है।

विकल्प 3: \( x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy - 2yz \) :

इसमें दो गुणित पद \(-2xy\) और \(-2yz \) हैं। गुणित पदों के साथ भी, वर्ग पद धनात्मक हैं, और व्यंजक को शून्य तक कम करने के लिए अभी भी \(x = y = z = 0\) की आवश्यकता होगी। इसलिए, कोई तुच्छ शून्यक अपेक्षित नहीं है।

विकल्प 4: \(x^2 + 2y^2 - 3z^2\)

यह अलग है क्योंकि इसमें धनात्मक और ऋणात्मक दोनों वर्ग पद हैं। विशेष रूप से, \(z^2\)

का एक ऋणात्मक गुणांक है, जो धनात्मक और ऋणात्मक पदों के बीच निरसन की अनुमति दे सकता है।

शून्येतर \(x, y, z\) मानों के कुछ संयोजन के लिए समीकरण \(x^2 + 2y^2 - 3z^2 = 0\) को संतुष्ट करना संभव है।

उदाहरण के लिए, \(x = 1 , y = 1\) और \(z = 1\) लें। तब, \(f(1, 1, 1) = 0\) नहीं है, लेकिन \(f(0, 0, 0) = 0\) है। \(x = 0, y = \sqrt{3}, z = 1\) भी एक हल है।

इस प्रकार, विकल्प 4) सही है।