रेखा \(\rm \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{1}\) और x + y + z + 1 = 0 = 2x - y + z + 3 के बीच की सबसे छोटी दूरी क्या है?

संकल्पना:

रेखा \(\rm \dfrac{x-x_1}{l_1}=\dfrac{y-y_1}{m_1}=\dfrac{z-z_1}{n_1}\) और\(\rm \dfrac{x-x_2}{l_2}=\dfrac{y-y_2}{m_2}=\dfrac{z-z_2}{n_2}\) के बीच की सबसे छोटी दूरी (D) को निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm D=\frac{\left| \begin{matrix} \rm x_1-x_2 &\rm y_1-y_2 &\rm z_1-z_2 \\\rm l_1 &\rm m_1 &\rm n_1 \\\rm l_2 &\rm m_2 &\rm n_2 \\ \end{matrix} \right|}{\left| \left| \begin{matrix} \rm \hat i & \rm\hat j &\rm \hat k \\ \rm l_1 & \rm m_1 & \rm n_1 \\\rm l_2 & \rm m_2 & \rm n_2 \end{matrix} \right| \right|}\)

= \(\rm \frac{(x_1-x_2)(m_1n_2-m_2n_1)+(y_1-y_2)(n_1l_2-n_2l_1)+(z_1-z_2)(l_1m_2-l_2m_1)}{\sqrt{(m_1n_2-m_2n_1)^2+(n_1l_2-n_2l_1)^2+(l_1m_2-l_2m_1)^2}}\).

रेखा के दो-तल रूप A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 = A₂x + B₂y + C₂z + D₂ को कुछ चर k के संदर्भ में x, y और z ज्ञात करने के लिए सममित रूप \(\rm \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}\) में परिवर्तित कीजिए और फिर दूरी ज्ञात करने के लिए उपरोक्त सूत्र का प्रयोग कीजिए। 

गणना:

माना कि सर्वप्रथम हम रेखा के दो-तल रूप को सममित रूप में परिवर्तित करते हैं। 

x + y + z + 1 = 0 = 2x - y + z + 3

⇒ x = 2y - 2 = k (अर्थात्)

इसलिए, x = k और \(\rm y=\dfrac{k+2}{2}\).

x + y + z + 1 = 0 में x और y के इन मानों को रखने पर, हमें निम्न प्राप्त  होता है:

\(\rm k+\dfrac{k+2}{2}+z+1=0\)

हमें z के संदर्भ में k का मान ज्ञात करना है, इसलिए, हम पक्ष पर k वाले सभी पदों और '=' चिन्ह के दूसरे पक्ष पर अन्य सभी पदों को हटाते हैं। 

⇒ \(\rm \dfrac{3k+2}{2}=-z-1\)

⇒ 3k + 2 = -2z - 2

⇒ 3k = -2z - 4

⇒ \(\rm k=\dfrac{-2z-4}{3}\)

अब हमारे पास x, y और z के संदर्भ में k है, इसलिए हम कह सकते हैं कि:

\(\rm x=2y-2=\dfrac{-2z-4}{3}\)

उनमें से सभी को -2 से विभाजित करने पर, हमें निम्न प्राप्त  होता है:

\(\rm \dfrac{x}{-2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{3}\)

जिसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm \dfrac{x-0}{-2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-(-2) }{3}\)

अब, दिए गए दो रेखा के समीकरण निम्न हैं: \(\rm \frac{x-1}{2}=\frac{y-(-1)}{-1}=\frac{z-0}{1}\) और \(\rm \frac{x-0}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-(-2) }{3}\).

हम जानते हैं कि सबसे छोटी दूरी D = \(\rm \frac{(x_1-x_2)(m_1n_2-m_2n_1)+(y_1-y_2)(n_1l_2-n_2l_1)+(z_1-z_2)(l_1m_2-l_2m_1)}{\sqrt{(m_1n_2-m_2n_1)^2+(n_1l_2-n_2l_1)^2+(l_1m_2-l_2m_1)^2}}\).

अंश और हल की गणना अलग-अलग करते हैं। 

अंश = [1 - 0][(-1)(3) - (-1)(1)] + [-1 - 1][(1)(-2) - (3)(2)] + [0 + 2][(2)(-1) - (-2)(-1)]

= (1)(-3 + 1) + (-2)(-2 - 6) + (2)(-2 - 2)

= -2 + 16 - 8

= 6

अंश से समीकरणों के मानों का प्रयोग करने पर:

हर = \(\rm \sqrt{(-3+1)^2+(-2-6)^2+(-2-2)^2}\)

= \(\rm \sqrt{4+64+16}\)

= \(\rm \sqrt{84}\)

∴ सबसे छोटी दूरी = \(\dfrac{6}{\sqrt{84}}=\dfrac{2\times\sqrt3\times\sqrt3}{\sqrt{4\times3\times7}}=\sqrt{\dfrac{3}{7}}\).

Additional Information

यदि दो रेखाएं \(\rm \dfrac{x-x_1}{l_1}=\dfrac{y-y_1}{m_1}=\dfrac{z-z_1}{n_1}\) और \(\rm \dfrac{x-x_2}{l_2}=\dfrac{y-y_2}{m_2}=\dfrac{z-z_2}{n_2}\) एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं, (अर्थात् समतलीय) तो हमारे पास निम्न है:

\(\rm \left| \begin{matrix} \rm x_1-x_2 &\rm y_1-y_2 &\rm z_1-z_2 \\\rm l_1 &\rm m_1 &\rm n_1 \\\rm l_2 &\rm m_2 &\rm n_2 \\ \end{matrix}\right|=0\)

दो रेखाओं को समतलीय तब कहा जाता है यदि वे समान तल में होते हैं। यदि दो रेखाएं या तो समानांतर या प्रतिच्छेदी हैं, तो वे समतलीय होते हैं। 

किसी स्थान में दो रेखाओं को विषम रेखा तब कहा जाता है यदि वे ना तो समानांतर और ना ही एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं। इस स्थिति में उनके बीच सबसे छोटी दूरी होती है।