Question
Download Solution PDFमान लीजिए f एक सर्वत्र फलन है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
ल्यूवेल प्रमेय द्वारा, कोई भी सर्वत्र फलन (एक ऐसा फलन जो पूरे सम्मिश्र समतल पर होलोमोर्फिक है) जो परिबद्ध है, वह अचर होना चाहिए।
व्याख्या:
विकल्प 1:
यदि \( f\) के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग परिबद्ध हैं, तो सर्वत्र फलन \( f\) स्वयं परिबद्ध है।
ल्यूवेल के प्रमेय द्वारा, \( f\) अचर होना चाहिए।
यह कथन सत्य है।
विकल्प 2:
यदि \( e^{|\text{Re}(f)| + |\text{Im}(f)|}\) परिबद्ध है, तो f अचर है।
चरघातांकी फलन बहुत तेज़ी से बढ़ता है। यदि वास्तविक और काल्पनिक भागों के निरपेक्ष मानों के योग का चरघातांक परिबद्ध है, तो \( f\) के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग बहुत ही प्रतिबंधित (वास्तव में, अचर) होने चाहिए। इसलिए, \( f\) अचर होना चाहिए।
यह कथन सत्य है।
विकल्प 3:
यदि योग \(\text{Re}(f) + \text{Im}(f)\) और गुणनफल \(\text{Re}(f)\text{Im}(f) \) परिबद्ध हैं, तो f अचर है।
\(\text{Re}(f) \) और \(\text{Im}(f) \) के योग और गुणनफल दोनों के परिबद्ध होने से \(f\) के व्यवहार पर महत्वपूर्ण प्रतिबंध लगाते हैं। यदि ये दोनों राशियाँ परिबद्ध हैं, तो \( f\) अचर होना चाहिए।
यह कथन सत्य है।
विकल्प 4:
यदि \( \sin(\text{Re}(f) + \text{Im}(f)) \) परिबद्ध है, तो f अचर है।
ज्या फलन स्वाभाविक रूप से परिबद्ध है (चूँकि \(\sin(x)\) \(\in \) [-1, 1] किसी भी वास्तविक \(x \) के लिए, इसलिए \(\sin(\text{Re}(f) + \text{Im}(f))\) की परिबद्धता यह आवश्यक रूप से निहित नहीं करता है कि \(f\) अचर है। यह प्रतिबंध का उल्लंघन किए बिना फलन \(f\) अभी भी परिवर्तित हो सकता है।
यह कथन असत्य है।
इसलिए, हमारा उत्तर विकल्प 4) है।
Last updated on Jun 23, 2025
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