Complex Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

मान लीजिए z = x + iy

हम जानते हैं कि

sin z = \({e^{iz}-e^{-iz}\over 2i}\) और cos z = \({e^{iz}+e^{-iz}\over 2}\), ∀ z ∈ ℂ....(i)

विकल्प (3) और (4) सत्य हैं।

मान लीजिए z = iy तब

|sin z| = |sin iy| = |\({e^{-y}-e^{y}\over 2i}\)| = |\(i{e^{y}-e^{-y}\over 2}\)| = |\({e^{y}-e^{-y}\over 2}\)| = sinh y जो y → ∞ के रूप में ∞ की ओर अग्रसर होता है।

इसलिए, सभी z ∈ ℂ के लिए, |sin z| ≤ 1 सत्य नहीं है।

(1) असत्य है।

sin z और cos z के मानों को sin²z + cos²z में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

सभी z ∈ ℂ के लिए, sin2z + cos2z = 1  

(2) सत्य है।

संप्रत्यय:

तत्समक प्रमेय: माना कि f(z) और g(z) एक प्रांत D में वैश्लेषिक फलन हैं और S, D का कोई उपसमुच्चय है जिसका एक सीमा बिंदु D में है। यदि सभी z ∈ S के लिए f(z) = g(z) है, तो सभी z ∈ D के लिए f(z) = g(z) है। 

व्याख्या:

(1): f:ℂ → ℂ एक वैश्लेषिक फलन है

z = (1 + k/n) + i

सीमा बिंदु i है जो ℂ के अंदर स्थित है।

इसलिए, तत्समक प्रमेय से, सभी z ∈ ℂ के लिए f(z) = i है।

(1) असत्य है।

(2): यदि S पर कहीं भी f(z) ≠ 0, तो f अचर नहीं हो सकता क्योंकि एक अचर फलन g(z) = c में सभी z के लिए g'(z) = 0 होता है।

चूँकि Im(f'(z)) > 0 है, इसलिए f'(z) ≠ 0 है, इसलिए f अचर नहीं है।

(2) सत्य है।

(3): पूर्णांक ℤ, ℂ का एक गणनीय उपसमुच्चय बनाते हैं और ℂ में सघन नहीं हैं।

तत्समता प्रमेय से, ℂ के एक असघन उपसमुच्चय पर अचर एक विश्लेषणात्मक फलन सर्वत्र अचर होना आवश्यक नहीं है।

(3) और (4) सत्य हैं।

अवधारणा:

सर्वसमिका प्रमेय: माना f और g एक प्रांत D में दो विश्लेषणात्मक फलन हैं और माना S = {z ∈ D: f(z) = g(z)} का D में एक सीमांत बिंदु है। तब, f(z) = g(z) ∀ z ∈ D

व्याख्या:

दिया गया है: f ∶ ℂ → ℂ सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है, जहाँ सभी n ∈ ℕ के लिए, 

\(f\left(\frac{1}{n} \right)=\frac{1}{n^4}\) है।  

इसलिए, माना \(\frac1n\) = z

इसलिए, f(z) = z⁴ = g(z)

अतः सभी n ∈ ℕ के लिए, \(f\left(\frac{1}{n} \right)=g\left(\frac{1}{n}\right)\) 

अब, {\(\frac1n\)} का सीमा बिंदु 0 है जोकि ℂ में हैं। 

इसलिए सर्वसमिका प्रमेय से, सभी z ∈ ℂ के लिए, f(z) = z4  

अतः सही उत्तर विकल्प (3) है। 

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में \(\frac1z\) के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp\(\rm\left(z-\frac{1}{z}\right)\)

= \(e^z.e^{\frac{-1}{z}}\)

= \((1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)\)\(.(1+\frac1zz+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+...)\)

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में \(\frac1z\) का गुणांक

= \(-\frac11+\frac1{2!.1!}-\frac1{3!.2!}+\frac1{4!.3!}-...\)

= \(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-1)^{l+1}}{l !(l+1) !}\)

इसलिए विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

\(f(z) = (1+z) e^{\left(\frac{z^2}{2}\right)}\)

= \((1+z) \left(1+\frac{z^2}{2}+\frac{z^2}{8}+...\right)\)

f(z) = \(1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{2}+\frac{z^4}{8}+\frac{z^5}{8}+...\)..(i)

इसके अलावा, \(f(z) = (1+z) e^{\left(\frac{z^2}{2}\right)}\) = \(1+\sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n\) = \(1+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+...\)

तुलना करने पर, हमें मिलता है

a₁ = 1, a₂ = 1/2

a1 ≠ a2

विकल्प (2) गलत है।

अब, f'(z) = \(e^{z^2\over2}\) + (1 + z).z \(e^{z^2\over2}\) = (1 + z + z2)\(e^{z^2\over2}\)

विकल्प (1) सही है।

समीकरण (i) से, हम देख सकते हैं कि सभी n ≥ 1 के लिए an ≥ 0 है।

विकल्प (3) सही है।

इसके अलावा हम देख सकते हैं कि n ≥ 3 के लिए, a_n तेज़ी से घटता है।

इसलिए योग अभिसारित होता है और 2 से कम होता है।

विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

व्याख्या:

C मूल के केंद्र पर 3 त्रिज्या का सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त हो।

\(\rm\displaystyle\int_C \frac{d z}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) के विलक्षणताएँ निम्न द्वारा दी गई हैं

z² = 0 ⇒ z = 0 और

e^z - e^-z = 0 ⇒ ez = e-z ⇒ z = 0

अब,

\(\frac{1}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) = \(\frac{1}{z^2}(e^z-e^{-z})^{-1}\)

= \(\frac{1}{z^2}(2z+\frac{2z^3}{3!}+\frac{2z^5}{5!}+...)^{-1}\) (ez - e-z का विस्तार)

= \(\frac{1}{z^2}.\frac{1}{2z}(1+(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}+...))^{-1}\)

= \(\frac{1}{2z^3}(1-(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)+(\frac{z^2}{3!}+\frac{z^5}{5!}+...)^2+...)\) ((1 + x)^-1 का विस्तार)

इसलिए \(\frac{1}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) का अवशेष = 1/z का गुणांक = \(\frac12.(-\frac{1}{3!})=-\frac1{12}\)

अतः \(\rm\displaystyle\int_C \frac{d z}{z^2\left(e^z−e^{−z}\right)}\) = 2πi(अवशेषों का योग) = \(-\frac{2\pi i}{12}\) = −iπ/6

विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

एक फलन f(z) को एक डोमेन D में होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि f(z) में D में कोई विलक्षणता नहीं है।

व्याख्या:

g'(z) =\(f(z)=\frac{\sin z}{z^p}\) z ∈ \(\mathbb{C}\) \{0}

⇒ g'(z) = \(\frac{1}{z^p}(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-...)\)

⇒ g'(z) = \((\frac{z^{1-p}}{1!}-\frac{z^{3-p}}{3!}+\frac{z^{5-p}}{5!}-...)\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

g(z) = \((\frac{z^{2-p}}{1!(2-p)}-\frac{z^{4-p}}{3!(4-p)}+\frac{z^{6-p}}{5!(6-p)}-...)\)

इसलिए g(z) होलोमोर्फिक नहीं हो सकता है यदि p, 2, 3 और 4 का गुणज है।

∴ विकल्प (1), (3) और (4) सही नहीं हैं।

इसलिए विकल्प (2) सही है

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में \(\frac1z\) के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp\(\rm\left(z+\frac{1}{z}\right)\)

= \(e^z.e^{\frac1z}\)

= \((1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)\)\(.(1+\frac1zz+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+...)\)

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में \(\frac1z\) का गुणांक

= \(\frac11+\frac1{2!.1!}+\frac1{3!.2!}+\frac1{4!.3!}+...\)

= \(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l !(l+1) !}\)

इसलिए विकल्प (3) सही है।

संप्रत्यय:

ल्यूवेल प्रमेय द्वारा, कोई भी सर्वत्र फलन (एक ऐसा फलन जो पूरे सम्मिश्र समतल पर होलोमोर्फिक है) जो परिबद्ध है, वह अचर होना चाहिए।

व्याख्या:

विकल्प 1:

यदि \( f\) के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग परिबद्ध हैं, तो सर्वत्र फलन \( f\) स्वयं परिबद्ध है।

ल्यूवेल के प्रमेय द्वारा, \( f\) अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 2:

यदि \( e^{|\text{Re}(f)| + |\text{Im}(f)|}\) परिबद्ध है, तो f अचर है।

चरघातांकी फलन बहुत तेज़ी से बढ़ता है। यदि वास्तविक और काल्पनिक भागों के निरपेक्ष मानों के योग का चरघातांक परिबद्ध है, तो \( f\) के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग बहुत ही प्रतिबंधित (वास्तव में, अचर) होने चाहिए। इसलिए, \( f\) अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 3:

यदि योग \(\text{Re}(f) + \text{Im}(f)\) और गुणनफल \(\text{Re}(f)\text{Im}(f) \) परिबद्ध हैं, तो f अचर है।

\(\text{Re}(f) \) और \(\text{Im}(f) \) के योग और गुणनफल दोनों के परिबद्ध होने से \(f\) के व्यवहार पर महत्वपूर्ण प्रतिबंध लगाते हैं। यदि ये दोनों राशियाँ परिबद्ध हैं, तो \( f\) अचर होना चाहिए।

यह कथन सत्य है।

विकल्प 4:

यदि \( \sin(\text{Re}(f) + \text{Im}(f)) \) परिबद्ध है, तो f अचर है।

ज्या फलन स्वाभाविक रूप से परिबद्ध है (चूँकि \(\sin(x)\) \(\in \) [-1, 1] किसी भी वास्तविक \(x \) के लिए, इसलिए \(\sin(\text{Re}(f) + \text{Im}(f))\) की परिबद्धता यह आवश्यक रूप से निहित नहीं करता है कि \(f\) अचर है। यह प्रतिबंध का उल्लंघन किए बिना फलन \(f\) अभी भी परिवर्तित हो सकता है।

यह कथन असत्य है।

इसलिए, हमारा उत्तर विकल्प 4) है।

अवधारणा:

एक संपूर्ण फ़ंक्शन एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक जटिल समन्वय स्थान में एक डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक जटिल अंतर है

स्पष्टीकरण:

f(z) = \(\rm\frac{1}{1−z−z^2}\) z ∈ ℂ के लिए

f(z) की विलक्षणताएँ द्वारा दी गई हैं

1 - z - z ² = 0 ⇒ z = \({-1 \pm \sqrt{1+4} \over 2}\) = \({-1 \pm \sqrt{5} \over 2}\)

तो f(z) में z = \({-1 \pm \sqrt{5} \over 2}\) पर एक ध्रुव है

अतः विकल्प (1) और (2) दोनों गलत हैं

f के पास टेलर श्रृंखला का विस्तार है

f(z) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\)   a n z n = f(0) + \(\frac{f'(0)}{1!}\) z + ....

तो a 0 = f(0) = 1

और a 1 = \(\frac{f'(0)}{1!}\)

अब, f'(z) = - \(\rm\frac{1}{(1−z−z^2)^2}\) (-1 - 2z)

तो f'(0) = 1

अतः विकल्प (4) सही है और (3) गलत है

व्याख्या:

f एक पूर्ण फलन हो जो |f(z)| ≤ ey को सभी z = x + iy ∈ ℂ के लिए संतुष्ट करता है

(1): f(z) = ce−iz

इसलिए |f(z)| = |ce−iz| = |ce^{-i(x + iy)}| = |ce-ix ey| ≤ |c|ey ≤ ey कुछ c ∈ ℂ के लिए जहाँ |c| ≤ 1 (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (1) सही है।

(2): f(z) = ceiz

इसलिए |f(z)| = |ceiz| = |cei(x + iy)| = |ceix e-y| ≤ e-y कुछ c ∈ ℂ के लिए जहाँ |c| ≤ 1 (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (2) गलत है।

(3): f(z) = e−ciz

इसलिए |f(z)| = |e−ciz | = |e-ci(x + iy)| = |e-cix ecy| ≤ ecy ≤ ey केवल c = 1 के लिए (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (3) गलत है।

(4): f(z) = eciz

इसलिए |f(z)| = |eciz | = |eci(x + iy)| = |ecix e-cy| ≤ e-cy ≤ ey केवल c = - 1 के लिए (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (4) गलत है।

संप्रत्यय:

कौशी अवशेष प्रमेय:

मान लीजिए \( f(z) \) एक फलन है जो एक सरल बंद वक्र C के अंदर और पर वैश्लेषिक है, सिवाय C के अंदर परिमित संख्या में पृथक विचित्रताओं (अनंतकों) को छोड़कर। यदि \( f(z)\) में C के अंदर \(z_1, z_2, \dots, z_n \) पर पृथक विचित्रताएँ हैं, तो C के चारों ओर \( f(z) \) का समाकल इस प्रकार दिया गया है:

\(\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k) \)

व्याख्या:

\(\int_{\gamma} \frac{dx}{z(z - 2)}\), जहाँ वक्र \(\gamma(\theta) \) इस प्रकार खंडशः परिभाषित है:

\(\gamma(\theta) = \begin{cases} e^{2i\theta} & \text{जब } \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \\ 1 + 2e^{2i\theta} & \text{जब } \theta \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \\ e^{2i\theta} & \text{जब } \theta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \end{cases}\)

हम इस समाकल को हल करने के लिए कौशी अवशेष प्रमेय लागू करेंगे। समाकल्य है

\(f(z) = \frac{1}{z(z - 2)}\)

इस फलन में \( z = 0 \) और \(z = 2 \) पर दो विचित्रताएँ हैं। यदि वक्र \(\gamma\) इन विचित्रताओं को परिबद्ध करता है, तो समाकल का मान इन बिंदुओं पर फलन के अवशेषों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यहाँ z = 0 की घुमाव संख्या 2 है और z = 2 की घुमाव संख्या 1 है।

\( z = 0 \) पर अवशेष:

\( z = 0 \) पर अवशेष \(f(z) \) को \(z\) से गुणा करके और \(z \to 0 \) के रूप में सीमा लेकर ज्ञात किया जाता है:

\(\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z - 2)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\)

\( z = 2 \) पर अवशेष:

\( z = 2 \) पर अवशेष इसी प्रकार ज्ञात किया जाता है,

\(\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} (z - 2) \cdot \frac{1}{z(z - 2)} = \frac{1}{2}\)

अवशेष प्रमेय लागू करने पर:

चूँकि वक्र \( \gamma \) \( z = 0 \) और \( z = 2 \) पर दोनों विचित्रताओं को परिबद्ध करता है, समाकल का मान है

I = \(2\pi i \times (\text{sum of residues}) \)

= \( 2\pi i \times \left(-\frac{1}{2}\times 2 + \frac{1}{2}\times1\right)\)

= \(2\pi i(-\frac12)\) = -πi

इसलिए, सही विकल्प (3) है।

संप्रत्यय:

कॉशी समाकल प्रमेय:

यदि एक सम्मिश्र फलन f(z) एक सरलतः संयोजित डोमेन के अंदर एक बंद कंटूर C के अंदर और उस पर विश्लेषणात्मक है, और यदि a, C के मध्य में कोई बिंदु है, तो

f(a) = \(\frac{1}{2 π i} \int_C \frac{f(z)}{z-a}\)

व्याख्या:

एकवचन बिंदु दिए गए हैं

z² - 1 = 0 ⇒ z = 1, z = -1

केवल एकवचन बिंदु जो γ के अंदर स्थित है, वह z = 1 है।

मान लीजिये f(z) = \(\frac{ze^{1/z}}{z+1}\)

इसलिए कॉशी के समाकल परीक्षण का उपयोग करते हुए

\(\int_\gamma \frac{z e^{1 / z}}{z^2-1} d z\) = 2πi f(1) = 2πi x (e/2) = iπe

विकल्प (1) सही है।

संप्रत्यय:

कॉची समाकल प्रमेय:

यदि एक सम्मिश्र फलन f(z) एक सरल-संबद्ध डोमेन के अंदर एक बंद कंटूर C के अंदर और उस पर विश्लेषणात्मक है, और यदि a, C के मध्य में कोई बिंदु है, तो

f(a) = \(\frac{1}{2 π i} \int_C \frac{f(z)}{z-a}\)

व्याख्या:

\(\int_γ \frac{d z}{z^3-1}\) = \(\int_γ \frac{d z}{(z-1)(z^2+z+1)}\)

इसलिए ध्रुव दिए गए हैं

(z - 1)(z² + z +1) = 0 ⇒ z = 1, z = \(\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}\) = \(\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)

γ के अंदर ध्रुव z = 1 है

अतः f(z) = \(\frac{1}{(z^2+z+1)}\) γ के अंदर विश्लेषणात्मक है

इसलिए कॉची समाकल प्रमेय द्वारा,

\(\frac{1}{2 π i} \int_γ \frac{d z}{z^3-1}\) = f(1) = \(\frac{1}{1+1+1}\) = 1/3

विकल्प (2) सही है

संप्रत्यय:

 " id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-187-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> \(a\)से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-188-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> का कोणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, क्योंकि यह उस कोण को दर्शाता है जो मूल बिंदु को  " id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-189-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> \(a\)से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0"> " id="MathJax-Element-190-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">  बिंदु से जोड़ने वाली रेखा धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-178-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">
से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-191-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">

से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-192-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है। से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है। व्याख्या:

दिया गया है, \(0 < |a| < 1 \) और \(z\) एक सम्मिश्र संख्या है।

हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।

विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या \(z\) के लिए, यदि \(|z| \) 1 से कम है, तो \(1 - \bar{a}z\) का मापांक \(|z-a|\) से कम है। सत्यापित करने के लिए

यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| < 1 और \(0 < |a| < 1 \).

मान लीजिए \(z = \frac{1}{2}\) और \(a = \frac{1}{3} \) सबसे पहले, मापांकों की जाँच करें:

\(|z| = \frac{1}{2} < 1 , |a| = \frac{1}{3} < 1 .\)

यह शर्त \(0 < |a| < 1 \) और |z| < 1 को संतुष्ट करता है।

\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{6}| = \frac{5}{6} .\)

\(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6} .\)

\(|1 - \bar{a}z| = \frac{5}{6} \quad \text{और} \quad |z - a| = \frac{1}{6}.\)

स्पष्ट रूप से, \(|1 - \bar{a}z| > |z - a|\) , इसलिए यह असमानता इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है।

कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ |\(1 - \bar{a}z\)| |z - a| से कम नहीं है।

विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि \( z - a\) का मापांक 1 - \(\bar{a}z \) के बराबर है, तो \(|z| \) = 1 है। यह सममितीय प्रतिबंध सम्मिश्र समतल में दूरियों से संबंधित प्रतीत होता है। इकाई वृत्त पर बिंदुओं के लिए (अर्थात, |z| = 1),

यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।

विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 - \(\bar{a}z \) | से कम है।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और \(0 < |a| < 1 \)।

मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और \(a = \frac{1}{2} \)

\(|z - a| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\)

चूँकि z = 1 और \(\bar{a} = \frac{1}{2}\) (क्योंकि a वास्तविक है), \(a = \frac{1}{2} .\)

\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{2} \times 1| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}.\)

\(|z - a| = \frac{1}{2} \quad \text{और} \quad |1 - \bar{a}z| = \frac{1}{2}.\)

इसलिए, असमिका \(|z - a| < |1 - \bar{a}z| \) इस उदाहरण में मान्य नहीं है क्योंकि दोनों पक्ष बराबर हैं।

इसलिए, कथन सत्य नहीं है।

विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 - \(\bar{a}z \) का मापांक \(z-a\) से कम है, तो z इकाई वृत्त के अंदर है।

\(\text{If } |1 - \bar{a}z| < |z - a|, \text{ then } |z| < 1.\)

माना कि \( z = \frac{1}{2}\) और \(a = \frac{1}{3} \) है।

चूँकि \(a = \frac{1}{3} \) है, हमारे पास \(\bar{a} = \frac{1}{3} \) है (क्योंकि \(a\) वास्तविक है)।

\(|1 - \bar{a}z| = |1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| = |1 - \frac{1}{6}| = \frac{5}{6}.\)

\(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6}.\)

इस स्थिति में, \(|1 - \bar{a}z| = \frac{5}{6}\) और \(|z - a| = \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right| = \left|\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right| = \frac{1}{6}\)

स्पष्ट रूप से, \(|1 - \bar{a}z| > |z - a| \) है, इसलिए शर्त \(|1 - \bar{a}z| < |z - a| \) इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है,

और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।

कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।

विकल्प 2) सही है।