Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

महत्तम पूर्णांक फलन:

• महत्तम पूर्णांक फलन, जिसे [x] द्वारा दर्शाया जाता है, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक देता है।
• इस फलन को फर्श फलन भी कहा जाता है। गणितीय रूप से, [x] को x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।
• महत्तम पूर्णांक फलन पूर्णांक बिंदुओं को छोड़कर हर जगह सतत होता है, जहाँ यह अवकलनीय नहीं होता है।
• अवकलनीयता के लिए, फलन में असंतता के बिंदुओं पर कोई "तीखा कोना" नहीं होना चाहिए।

गणना:

आइए सही विवरणों से मिलान करने के लिए विकल्पों में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करें।

• (A) |x − 1| + |x − 2|: यह निरपेक्ष मान फलनों का एक संयोजन है। ये निरंतर और हर जगह अवकलनीय होते हैं, सिवाय उन बिंदुओं के जहाँ निरपेक्ष मान बदलते हैं, जो x = 1 और x = 2 हैं। इसलिए, यह फलन x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है।
• (B) x − |x|: इस फलन में निरपेक्ष मान फलन शामिल है। महत्तम पूर्णांक फलन में पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है, और इस फलन में निरपेक्ष मान शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि यह हर जगह संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह हर जगह संतत है।
• (C) x − [x]: इस फलन में महत्तम पूर्णांक फलन (फर्श फलन) शामिल है, जो सतत है लेकिन पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि पूर्णांक बिंदुओं पर असांतत्य है।
• (D) |x|: यह फलन x = 0 सहित सभी बिंदुओं पर संतत और अवकलनीय है। इसलिए, यह x = 1 पर अवकलनीय है।

सूची-I का सूची-II से मिलान:

• A) |x − 1| + |x − 2|: यह x = 0 को छोड़कर हर जगह अवकलनीय है, जो सूची-II में (I) से सुमेलित है।
• B) x − |x|: यह फलन सभी स्थानों पर संतत है, जो सूची-II में (II) से सुमेलित है।
• C) x − [x]: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है, जो सूची-II में (III) से सुमेलित है।
• D) |x|: यह फलन x = 1 पर अवकलनीय है, जो सूची-II में (IV) से सुमेलित है।

∴ सही मिलान: A → I, B → II, C → III, D → IV है। 

स्पष्टीकरण:

f(x) = 3/((1-x)(1+2x)) = A/(1-x) + B/(1+2x)

A और B को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:

A = 1, B = 2

इसलिए, f(x) = 1/(1-x) + 2/(1+2x)

अब, हम गुणोत्तर श्रेणी प्रसार का उपयोग कर सकते हैं:

1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯

और 1/(1+2x) = 1 - 2x + 4x² - 8x³ + 16x⁴ + ⋯

दूसरी श्रेणी को 2 से गुणा करने पर:

2/(1+2x) = 2 - 4x + 8x² - 16x³ + 32x⁴ + ⋯

अब, हम f(x) का प्रसार प्राप्त करने के लिए दोनों श्रेणियों को जोड़ सकते हैं:

f(x) = (1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯ ) + (2 - 4x + 8x² - 16x³ + 32x⁴ + ⋯ )

x² का गुणांक ज्ञात करने के लिए:

पहली श्रृंखला से x2 + दूसरी श्रृंखला से x2 = +8 x 2

इसलिए, f(x) के प्रसार में x2 का गुणांक 9 है। 

अतः 9 सही उत्तर है।

व्याख्या:

यदि \(a_n = |\frac{f^n(0)}{n!}|^{\frac{1}{n}} \leq \frac{k^{\frac{1}{n}}}{(n!)^{1/n}} \)

अब \(k^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 \) और \((n!)^{1/n} \rightarrow \infty as n \rightarrow \infty \)

\( \frac{k^{\frac{1}{n}}}{(n!)^{1/n}} \rightarrow 0 \quad as \quad n \rightarrow \infty \)

इसलिए, (1) सत्य है और (2) असत्य है।

फलन पर विचार करते हैं:

\(f(x) = \begin{cases} x; & x \in (-\infty, 1) \\ x + 1; & x \in (1, \infty) \end{cases} \)

तब \(|f^n(0)| \leq 1 \forall n \in \mathbb{N} \) लेकिन x = 1 पर f'(x) का अस्तित्व नहीं है, इसलिए (3) असत्य है।

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^n(0)}{(n-1)!}\) पर विचार करते हैं।

अब \( |\frac{f^n(0)}{(n-1)!}| \leq |\frac{k}{(n-1)!}| \)

लेकिन \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{k}{(n-1)!} \) अभिसारी है, इसलिए तुलना परीक्षण द्वारा \(\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{f^n(0)}{(n-1)!}| \) अभिसारी है।

इसलिए, \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^n(0)}{(n-1)!} \) निरपेक्षतः अभिसारी है \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^n(0)x^n}{n!} \) प्रत्येक \(x \in (-1, 1) \) के लिए f(x) में अभिसरित होता है।

\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^n(0)x^n}{n!} \)

f(0) = 0

इसके अलावा, f(x) = 0, \(\forall n \in \mathbb{N} \)

इसलिए विकल्प (1) और विकल्प (4) सही हैं।

संकल्पना:

(x, y) = (a, b) के लिए परिभाषित एक फलन f(x, y) को (x, y) = (a, b) पर निरंतर कहा जाता है यदि:

i) f(a, b) = (x, y) = (a, b) पर f(x, y) का मान परिमित है।

ii) फलन f(x, y) की सीमा मौजूद है जैसे (x, y) → (a, b) और (x, y) = (a, b) पर f(x, y) के मान के बराबर है

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\)

ध्यान दें:

किसी फलन को किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए, यह उस बिंदु पर भी निरंतर होना चाहिए।

गणना:

दिया हुआ:

\(f\left( {x,y} \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\;\;\;{x^2} + {y^2} \ne 0}\\ {0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = y = 0} \end{array}} \right.\)

फलन f(x, y) निरंतर होने के लिए:

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\) और परिमित।

f(a,b) = f(0,0) ⇒ 0 (दिया गया)

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {r,\theta } \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {r,\theta} \right) =\frac{ r^2cos\theta rsin\theta }{r} \)

fx(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {h,0 } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(h, 0) - f(0, 0)} / h = 0 

fy(0, 0) = \(\mathop {\lim }\limits_{\left( {0,k } \right) \to \left( {0,0} \right)}\){f(0, k) - f(0, 0)} / k = 0 

∵ the limit value is defined and function value is 0 at (x,y) = (0,0), ∴ the function f(x,y) is continuous.

Hence, Option 2, 3 & 4 all are correct 

Hence, Option 1 is not correct 

Hence, The Correct Answer is option 1.

अवधारणा:

लाइबनीज परीक्षण: \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)(-1)ⁿbn, जहाँ या तो सभी bn धनात्मक हैं या सभी bn ऋणात्मक हैं, अभिसारी होती है यदि

(i) |bn| एकसमान रूप से घटता है अर्थात, |bn+1| ≤ |bn|

(ii) \(\lim_{n\to\infty}b_n=0\)

व्याख्या:

an = (−1)n+1\(\rm (\sqrt{n+1}−\sqrt{n})\)

= (−1)n+1 \(\rm \frac{(\sqrt{n+1}−\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

= (−1)n+1\(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

इसलिए श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm \frac{(-1)^{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

इसलिए यहाँ b_n = \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\), bn+1 = \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}\)

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}<1\) इसलिए bn+1 < bn

इसके अलावा \(\lim_{n\to\infty}b_n\) = \(\lim_{n\to\infty}\) \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\) = 0

इसलिए लाइबनीज परीक्षण द्वारा \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) an अभिसारी है।

अब श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm |\frac{(-1)^{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}|\) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\rm \frac{1}{\sqrt n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}\)

इसलिए सीमा तुलना परीक्षण द्वारा, यह P - परीक्षण द्वारा अपसारी श्रेणी है।

इसलिए दी गई श्रेणी सशर्त अभिसारी है।

विकल्प (3) सही है।

आधिकारिक उत्तर कुंजी में - विकल्प (2) और (3) दोनों सही हैं।

अवधारणा-

(i) यदि अनुक्रम x_n अभिसारी है, तो limsupn En = liminfn En

गणना:

मान लीजिये {En} R का एक उपसमुच्चयों का अनुक्रम है

\(\limsup _n E_n=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n\) और

\(\liminf _n E_n=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} E_n\)

विकल्प 1 के लिए, यदि अभिसारी है तो limsupn En = liminfn En

विकल्प 1 गलत है।

x \(∈\) \(\ {\cap}\) A_i का अर्थ है x ∈ A_i

x \(∈\)\(\ {\cap}\)(\(\ {\cup}\)E_n )

x \(∈\)\(\ {\cup}\) E_n ( परिमित )

इसलिए विकल्प (2) और (4) गलत हैं।

इसलिए विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

प्रत्येक विषम घात बहुपद p(x) ∈ R(x) का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है

व्याख्या:

p(x) = x3 + 3x − 2023

p'(x) = 3x² + 3

चूँकि सभी x के लिए x2 ≥ 0 तो

3x2 + 3 > 0 ⇒ p'(x) > 0

इसलिए p'(x) का कोई वास्तविक मूल नहीं है

हम जानते हैं कि p(x) के दो अलग-अलग वास्तविक मूलों के बीच p'(x) का एक वास्तविक मूल होता है।

चूँकि यहाँ p'(x) का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए p(x) का एक से अधिक वास्तविक मूल नहीं हो सकता है।

विकल्प (2) सही है।

संप्रत्यय:

फलनों के अनुक्रम की सीमा:

1. मान लीजिए \(\{f_n\}\) एक समुच्चय D पर परिभाषित फलनों का एक अनुक्रम है। हम कहते हैं कि \(f_n\) D पर एक फलन f की ओर बिंदुवार अभिसरित होता है यदि, प्रत्येक x \(\in\) D के लिए

\(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).\)

2. अभिसरण का एक प्रबल रूप एकसमान अभिसरण है। अनुक्रम \(\{f_n\}\) D पर एक फलन f की ओर एकसमान रूप से अभिसरित होता है यदि

\(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0.\)

व्याख्या: समस्या फलनों के एक अनुक्रम \( f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) देती है जिसे

\(f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}}\)

द्वारा परिभाषित किया गया है और \(n \to \infty \) के रूप में \(f_n(x) \) की सीमा के बारे में पूछती है, जिसे \( f(x)\) द्वारा दर्शाया गया है। हमें यह निर्धारित करने का कार्य दिया गया है कि f(x) के बारे में कौन सा कथन सत्य है।

हमें फलन की सीमा \(n \to \infty \) लेने के लिए कहा गया है:

\(f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}} \)

चूँकि \(n \to \infty \) है, पद \(\frac{1}{n} \to 0 \) है। इसलिए, बड़े n के लिए, फलन \(f_n(x) \) निम्न की ओर अग्रसर है

\(lim_{n \to \infty} f_n(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} = \frac{x^2}{|x|}\)

स्थिति 1: \(x \neq 0\)

\(x \neq 0\) के लिए हमारे पास है, \( f(x) = \frac{x^2}{|x|} = |x|\)

स्थिति 2: \(x =0\)
जब \(x =0\) , फलन \(f_n(0) = \frac{0^2}{\sqrt{0^2 + \frac{1}{n}}} = 0\) बन जाता है। 

इसलिए, चूँकि \(n \to \infty \) है, हमें f(0) = 0 प्राप्त होता है।

फलन f(x), \(n \to \infty \), इस प्रकार दिया गया है

\( f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{if } x \neq 0 \\ 0, & \text{if } x = 0 \end{cases} \)

यह फलन सभी \(x \in \mathbb{R} \) के लिए |x| के बराबर है। 

इसलिए, सही विकल्प 4) है।

अवधारणा​ -

वास्तविक संख्याओं का आर्किमिडीयन गुण:

माना a, b ∈ ℝ और a > 0 तो ऐसा कोई N ∈ ℕ है जिसके लिए na > b, ∀n ≥ N (स्थिर प्राकृतिक संख्या)

व्याख्या -

माना ε = a और b = |x - y|

⇒ ऐसा कोई N ∈ ℕ है जिसके लिए nε > b = |x - y| ∀n > N

→ 2n ε > nε > |x - y| ∀n ≥ N

⇒ 2n ε > |x - y| ∀n ≥ N

इसलिए, विकल्प (1) सत्य है

विकल्प (2) के लिए:

माना x = 0, y = 1 और ε = \(\frac{1}{2}\)

⇒ |x - y| = 1

यदि संभव हो तो माना 2n ε < |x - y|

अर्थात 2n \(\frac{1}{2}\) < 1, एक विरोधाभास

इसलिए, विकल्प (2) असत्य है।

विकल्प (3) और (4) के लिए:

माना ε = 1, x = 0 और y = 1

⇒ |x - y| = 1 लेकिन 2-n ε = \(\rm \frac{1}{2^n}\) < 1 ∀n ∈ ℕ

इसलिए, |x - y| < 2-n ε किसी भी n ∈ ℕ के लिए सत्य नहीं है।

इसलिए, विकल्प (3) और (4) असत्य हैं।

व्याख्या:

मान लीजिए f: ℝ² → ℝ, f(x, y) = cx, c ∈ ℝ\{0} द्वारा परिभाषित है, तो f एक संतत फलन है।

(1) और (2) असत्य हैं।

यदि संभव हो तो मान लीजिए अपरिमित रूप से अनेक संतत एकैकी प्रतिचित्र f: ℝ² → ℝ हैं।

तब यह एक संयोजी समुच्चय को एक संबद्ध समुच्चय में प्रतिचित्रित करेगा।

यदि हम f पर विचार करें जहाँ f(0) = c, c ∈ ℝ\{0}, तो

f(ℝ\{0}) = (-∞, c) ∪ (c, ∞), जो संबद्ध नहीं है। इसलिए, हमें एक विरोधाभास प्राप्त होता है।

(3) असत्य है।

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

1. घात समुच्चय: किसी समुच्चय S का घात समुच्चय, जिसे \( \mathcal{P}(S) \) से दर्शाया जाता है, S के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है।

यदि S में \(n\) अवयव हैं, तो \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं।

2. गणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय गणनीय अनंत होता है यदि इसके अवयवों को प्राकृत संख्याओं के साथ एक-से-एक संगति में रखा जा सकता है (अर्थात, इसका गणनीयता \(\mathbb{N} \) के समान है)।

3. अगणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय अगणनीय होता है यदि वह गणनीय अनंत नहीं है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ \( \mathbb{R} \) )।

4. घात समुच्चय और गणनीयता: यदि घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) गणनीय अनंत है, तो S परिमित नहीं हो सकता।

यह इसलिए है क्योंकि किसी भी परिमित समुच्चय S के लिए, इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं, जहाँ \(n\), \(S\) में अवयवों की संख्या है, और \( 2^n \) हमेशा परिमित होता है। इसके अतिरिक्त, यदि \(S\) अगणनीय अनंत है, तो इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) अगणनीय अनंत होगा।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) परिमित है, तो इसका घात समुच्चय भी परिमित होगा, गणनीय अनंत नहीं।

विकल्प 2: यह असत्य विकल्प है क्योंकि यदि \(S\) कोई गणनीय अनंत समुच्चय है तो इसका घात समुच्चय अगणनीय होना चाहिए।

विकल्प 3: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) अगणनीय होता, तो इसका घात समुच्चय भी अगणनीय होता है।

विकल्प 4: यह सत्य है, क्योंकि कोई भी गणनीय अनंत समुच्चय नहीं है जिसका घात समुच्चय गणनीय अनंत हो, इसलिए C रिक्त है।

सही विकल्प 4) है।

स्पष्टीकरण:

सुझाव: < a _n > के लिए उपयुक्त विकल्प लेकर विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1). मान लें a _n = 1 तो \(\operatorname{\lim}_{n \rightarrow \infty}\) (-1) ⁿ . \(\frac{1}{2}\) ≠ 0

विकल्प (2). मान लीजिए a n = <1> और \(a_{n_k}\) = <1> तो

\(\sum_{k \geq 1}^{\infty} \frac{a_{n_k}}{1+\left|a_{n_k}\right|}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+1}=\sum \frac{1}{2}\)    अभिसारी नहीं.

विकल्प (3), विकल्प (4): (नोट: हो सकता है आपको अधिक प्रयास करना पड़े) फिर एक समुद्र,

मान लें a _n = (-1) ⁿ तो \(\sum\left|b-\frac{a_n}{1+| a_n \mid}\right|(-1)^n\)

\(=\sum\left|b-\frac{(-1)^n}{2}\right|(-1)^n\)

लेकिन यहाँ निश्चित 'b St ऊपर की श्रृंखला cgt बन जाती है। आप b = ½ या = -½ ले सकते हैं लेकिन दोनों नहीं, अन्यथा विशिष्टता खो जाएगी।

⇒ विकल्प (3) गलत है।

विकल्प (4): जैसा कि पहले चर्चा की गई है, b = ½ और \(a_{n_k}\) = <1> लें तो लगभग श्रृंखला अभिसारी हो जाती है। इसलिए विकल्प (4) सत्य है।

अवधारणा:

एक फलन f : A → B एकैकी होता है यदि |A| = |B| जहाँ |A| A की गणनीयता है।

व्याख्या:

S एक अनंत समुच्चय है

(1): यदि S वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है अर्थात, S = \(\mathbb R\) तो |S| = C

और परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता = |\(\mathbb Q\)| = \(\aleph_0\)

चूँकि |S| ≠ |\(\mathbb Q\)| इसलिए S परिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।

विकल्प (1) असत्य है

(2): यदि S पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\) और |\(\mathbb R\)| = C इसलिए |S| ≠ |\(\mathbb R\)|

इसलिए S वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।

विकल्प (2) असत्य है

(4): यदि S पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\)

इसलिए S के घात समुच्चय की गणनीयता = \(2^{\aleph_0}\) = C

अतः S, S के घात समुच्चय के साथ एकैकी नहीं है।

विकल्प (4) असत्य है

(3): यदि S = पूर्णांकों का समुच्चय है तो |S| = \(\aleph_0\) और S × S की गणनीयता = |S × S| = |\(\aleph_0\) x \(\aleph_0\)| = \(\aleph_0\)

इसी प्रकार किसी भी अनंत समुच्चय के लिए S की गणनीयता S × S की गणनीयता के समान होगी।

अतः S, S × S के साथ एकैकी है।

विकल्प (3) सही है।