Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

H, G का एक आबेली अतुच्छ उचित उपसमूह है जिसमे यह गुण है कि सभी g / ∉ H के लिए H ∩ gHg−1 = {e}

K = \(\{g \in G: g h=h g \text { सभी } h \in H \text{ के लिए }\}\),

H, K में प्रसामान्य है, क्योंकि K, H को केन्द्रीकृत करता है

विकल्प (1): K, H का उचित उपसमूह है

चूँकि \(H \subseteq K \) परिभाषा के अनुसार, K, H का उचित उपसमूह नहीं हो सकता है

इसके बजाय, K या तो H के बराबर है या इससे कड़ा बड़ा है।

विकल्प (1) सही नहीं है

विकल्प (2): H, K का उचित उपसमूह है

K, H के बराबर हो सकता है क्योंकि H का केन्द्रीकृत करने वाला केवल स्वयं H ही हो सकता है, समूह संरचना पर निर्भर करता है

विकल्प (3): K = H

चूँकि \(H \cap gHg^{-1} = \{e\} सभी g \notin H \text{ के लिए }\)

H के बाहर कोई भी अवयव H के सभी अवयवों के साथ क्रमविनिमेय नहीं हो सकता है

इसलिए, G में H का केन्द्रीकृत करने वाला ठीक H है, जिसका अर्थ है K = H

विकल्प (4): कोई ऐसा आबेली उपसमूह \(L \subseteq G \) नहीं है जिसके लिए K, L का उचित उपसमूह हो

चूँकि K = H, और H आबेली और पृथक है (H के बाहर कोई भी अवयव H के सभी अवयवों के साथ क्रमविनिमेय नहीं है),

ऐसा कोई बड़ा आबेली उपसमूह L मौजूद नहीं हो सकता है जिसमें K एक उचित उपसमूह के रूप में हो।

इसलिए विकल्प (3) और विकल्प (4) सही हैं

अवधारणा:

एक समाकलन डोमेन एक इकाई युक्त क्रमविनिमेय वलय है जिसका कोई शून्य विभाजक नहीं होता।

स्पष्टीकरण:

(1): ℝ[x] एकता 1 के साथ एक विनिमेय वलय है।

मान लीजिए f(x), g(x) ∈ ℝ[x], यदि f(x)g(x) = 0 तो या तो f(x) = 0 या g(x) = 0.

अतः ℝ[x] एक पूर्णांकीय डोमेन है।

(1) सत्य है.

(2): मान लीजिए f(x), g(x) ∈ C ¹ [0, 1] द्वारा परिभाषित

f(x) = \(\begin{cases}\frac12-x, x∈ [0, \frac12)\\0, x∈ [\frac12, 1]\end{cases}\)

और g(x) = \(\begin{cases}0, x∈ [0, \frac12)\\2x-1, x∈ [\frac12, 1]\end{cases}\)

तब f(x) ⋅ g(x) = 0 यद्यपि f(x) ≠ 0, g(x) ≠ 0

इसलिए, C 1 [0, 1] का कोई शून्य विभाजक नहीं है और इसलिए यह पूर्णांक डोमेन नहीं है।

(2) गलत है.

(3): मान लीजिए A, B ∈ M n (ℝ) तो सामान्यतः AB ≠ BA.

अतः यह परिवर्तनीय नहीं है।

इसलिए M n (ℝ) पूर्णांक डोमेन नहीं है।

(3) गलत है.

संप्रत्यय:

अभाज्य आदर्श: एक आदर्श I ⊆ R अभाज्य होता है यदि R/I एक पूर्णांकीय प्रांत (शून्य भाजक नहीं है)। अर्थात्, किसी भी f(x), g(x) ∈ R के लिए, यदि f(x)g(x) ∈ I, तो या तो f(x) ∈ I या g(x) ∈ I।

अधिकतम आदर्श: एक आदर्श I ⊆ R अधिकतम होता है यदि R/I एक क्षेत्र (प्रत्येक शून्येतर अवयव का एक गुणात्मक प्रतिलोम है) है। एक अधिकतम आदर्श हमेशा अभाज्य होता है, लेकिन इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है।

अकार्यक्षमता: ℚ[x] में एक बहुपद f(x) अकार्यक्षम है यदि इसे ℚ में गुणांकों वाले अचर बहुपदों में गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या:

x² + 5 का ℚ में कोई मूल नहीं है क्योंकि x² + 5 = 0 ⇒ x = ± √5i ∉ ℚ।

इसलिए x² + 5, ℚ[x] में अकार्यक्षम है।

ℚ[x] में, एक अकार्यक्षम बहुपद द्वारा जनित एक आदर्श हमेशा अभाज्य होता है क्योंकि ℚ[x]/(x² + 5) में कोई शून्य भाजक नहीं है।

इसलिए, आदर्श x² + 5 एक अभाज्य आदर्श है।

अब, चूँकि x2 + 5, ℚ[x] में अकार्यक्षम है, इसलिए ℚ[x]/(x2 + 5) एक क्षेत्र बनाता है।

इसलिए, आदर्श x2 + 5 एक अधिकतम आदर्श है।

(3) सत्य है।

व्याख्या:

G की कोटि:

\(|G| = 660 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 . \)

विकल्प 1:

सिलो 5-उपसमूह के लिए,

\(n_5 \equiv 1 \pmod{5} \) और \(n_5 \mid \frac{660}{5} = 132 \)

\(n_5 \) के संभावित मान 1, 6, 11, 22, 33, 66, 132 हैं।

एक अद्वितीय सिलो 5-उपसमूह की गारंटी नहीं है, इसलिए यह प्रसामान्य नहीं हो सकता है।

विकल्प (1) गलत है।

विकल्प 2:

सिलो 11-उपसमूह के लिए,

\(n_{11} \equiv 1 \pmod{11} \) और \(1+11k|660 \text{ k=0,1,2...}\)

⇒ \(n_{11} =1 ,12 \)

सिलो की प्रमेयों द्वारा, \(n_{11} \) हमेशा इन मानों में से एक होता है,

इसलिए विकल्प (2) सही है।

विकल्प 3:

कोटि 110 का एक उपसमूह मौजूद होगा यदि सिलो 5-उपसमूह और सिलो 11-उपसमूह हैं जो संयोजित होते हैं।

हालांकि, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि ऐसा उपसमूह मौजूद है, क्योंकि यह समूह संरचना और सिलो उपसमूहों की प्रसामान्यता पर निर्भर करता है।

विकल्प (3) गलत है।

विकल्प 4:

कोटि 660 के सभी समूह चक्रीय नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, G एक अन्बेली समूह हो सकता है जैसे \(\mathbb{Z}_3 \times S_5 \) (एक अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल)।

इस प्रकार, G आवश्यक रूप से \(\mathbb{Z}_{660} \) के तुल्यकारी नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।

व्याख्या:

o(G) = 660 = 2² × 3 × 5 × 11.

11-सिलो उपसमूहों की संख्या है

n₁₁ = (1 + 11k) / (22 × 3 × 5), k = 0, 1, 2, ...

= (1 + 11k)/60, k = 0, 1, 2, ...

= 1, 12

चूँकि G सरल है, इसलिए सिलो 11-उपसमूह अद्वितीय नहीं हो सकते है।

इसलिए, n₁₁ ≠ 1

अतः 11-सिलो उपसमूहों की संख्या 12 है।

(4) सही है।

संकल्पना:

यदि xⁿ = 1 है तो o(x), n को विभाजित करता है। 

स्पष्टीकरण:

ℤ/105ℤ ≅ ℤ₁₀₅

105 = 3 × 5 × 7

So \(U_{ℤ_{105}}\) ≅ U(3) × U(5) × U(7) ≅ ℤ₂ × ℤ₄ × ℤ₆

दिया गया है कि x2 = 1 अतः o(x), 2 को विभाजित करता है। अतःo(x) = 1 या 2 

क्रम 1 और 2 के ℤ2 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ4 का तत्व 2 है। 

क्रम 1 और 2 के ℤ6 का तत्व 2 है। 

अतः ऐसे तत्वों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8

विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

(i) सिलो का पहला प्रमेय: मान लीजिए G एक परिमित समूह है और मान लीजिए कि p एक अभाज्य समूह है। यदि pk |G| को विभाजित करता है, तो G के पास क्रम pk का कम से कम एक उपसमूह है।

(ii) यदि f o(G) = pn है तो सभी 0 ≤ r ≤ n के लिए क्रम pr का कम से कम n - 1 सामान्य उपसमूह मौजूद है

स्पष्टीकरण:

(1): दिया गया है |G| = p6 इसलिए p4, p⁶ को विभाजित करता है। फिर सिलो के पहले प्रमेय के अनुसार, एक उपसमूह H ⊂ G मौजूद है जिससे |H| = p4

इसलिए H का सूचकांक  = p6/ p4 = p2
विकल्प (1) सत्य है। 

(2):  |G| = p6तो परिणाम के अनुसार (ii) G में कम से कम पाँच सामान्य उपसमूह हैं। 

विकल्प (2) सत्य है और विकल्प (4) असत्य है। 

(3): यदि हम (P\((\mathbb N), \triangle\)) और p = 2 पर विचार करें तो G का केंद्र अनंत है।
  विकल्प (3) सत्य है। 

अवधारणा:

यदि G इस प्रकार का समूह है कि o(G) = 2p है जहाँ p विषम अभाज्य है, तो G ≅ \(\mathbb Z_{2p}\) or G ≅ \(\mathbb D_p\)

(ii) यदि o(G) = n है, जहाँ G एबेलियन समूह है तो G का वर्ग समीकरण n = 1 + 1 + ... + 1 (n बार) है।

व्याख्या:

दिया गया है: o(G) = 10 = 2.5

इसलिए यहाँ p = 5 जो विषम अभाज्य है।

यहाँ G ≅ \(\mathbb Z_{10}\) या G ≅ \(\mathbb D_5\)

यदि G ≅ \(\mathbb Z_{10}\) है, तब यह चक्रीय है इसलिए एबेलियन है। इसलिए कोटि 10 के समूह का वर्ग समीकरण 10 = 1 + 1 + … + 1 (10 बार) है।

यदि G ≅ \(\mathbb D_5\) है इसमें 5 घूर्णन और 5 परावर्तन होंगे।

इसलिए इस स्थिति में कोटि 10 के समूह का वर्ग समीकरण निम्नलिखित है:

10 = 1 + 2 + 2 + 5

अतः विकल्प (1) सही है।

हल - Sn, n प्रतीकों पर सभी क्रमचयों के समूह को दर्शाता है।  

\(S_3\) में संभावित क्रम लघुतम समापवर्त्य (3,1) है इसलिए अधिकतम संभावना 3 है

इसलिए, विकल्प 1 गलत है

\(S_4 \) में, अधिकतम संभावना 4 है 

इसलिए, विकल्प 2) और विकल्प 3) भी गलत है 

\(S_5\) में, लघुतम समापवर्त्य (3,2) =6 होने की अधिकतम संभावना है

इसलिए, सही विकल्प (विकल्प 4) है।

व्याख्या:

मान लीजिये संक्रिया, Δ अर्थात, A, B ∈ P(X) ⇒ A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) इसके लिए,

(i) संवृत: माना A, B ∈ P(x) तब A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ∈ P(X)
इसलिए, P(x) Δ के अंतर्गत संवृत है।

(ii) साहचर्यता: माना A, B, C ∈ P(x), तब (A Δ B) ΔC = ([(A ∪ B) \ (A ∩ B))] ∪ C) \[([A ∪ B) \ ((A ∩ B))] ∩ C)

A Δ (B Δ C) = (A ∪[(B ∪ C) | (B∩C)]) \ (A∩[(B∪C) | (B∩C)])

आकृतियों से आप देख सकते हैं,

(A Δ B) ΔC = A Δ (B Δ C)

(iii) तत्समक:

AΔϕ = (A ∪ ϕ) \ (A ∩ ϕ) = A \ ϕ = A

इसलिए, ϕ ∈ P(x) ऐसा है कि A Δ ϕ = A

(iv) प्रतिलोम:

A Δ A = (A ∪ A) \ (A ∩ A) = A \ A = ϕ

इसलिए, A ∈ P(x) के लिए, A-1 = A.

∴ P(x) Δ के अंतर्गत समूह है।

अब * संक्रिया के लिए, A * B = A ∩ B, A, B ∈ P(x)

मान लीजिये x = {1, 2, 3} तब P(x) = {ϕ, x, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

यहाँ, यदि हम लेते हैं, e = x

(∵ x ∩ A = A, A ∈ P(x))

लेकिन e = x के लिए, किसी भी A का प्रतिलोम, A ∈ P(x)

∵ A ∩ B ≠ x (किसी भी A, B ∈ P(x)A, B ≠ x के लिए)

इसलिए, P(x) (*) के अंतर्गत समूह नहीं है।

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

इस प्रकार की समस्याओं के लिए, उपयुक्त प्रति-उदाहरण लेकर दिए गए विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1) के लिए, मान लीजिए n = 16 तब

(n - 1)! + 3 = 15! + 3 = सम + विषम = विषम

⇒ कोई भी सम पूर्णांक इसे अर्थात (n - 1)! + 3 को विभाजित करता है। 

⇒ विकल्प (1) असत्य है। (क्योंकि सभी के लिए सत्य नहीं है)

विकल्प (2) के लिए, n = 17 लीजिए, तब

∵ (n - 1)! = 16! , यहाँ n = 17 अभाज्य है इसलिए यह कभी भी 16! को विभाजित नहीं करेगा।

⇒ विकल्प (2) असत्य है।

विकल्प (4) के लिए, n = 16 लीजिए, तब n² = 16² + n! + 1 = 16 ! + 1 यहाँ 16² सम है जबकि 16! + 1 विषम पूर्णांक है इसलिए 16² + 16! + 1 है। 

⇒ विकल्प (4) असत्य है।

विकल्प (3) सत्य है [किसी भी n ≥ 16 सम पर विचार करें]

नोट: इस विकल्प के लिए प्रमाण बहुत लंबा है, इसलिए केवल उदाहरण से समझने का प्रयास करें।

\(=\frac{p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}}{p_1^{r_1-1} \cdot\left(p_1-1\right) \cdot p_2^{r_2-1}\left(p_2-1\right) \ldots p_n^{r_{n-1}}\left(p_{n-1}\right)}\)

\(=\frac{p_1 p_2 \cdots p_n}{\left(p_1-1\right)\left(p_2-1\right) \cdots\left(p_n-1\right)}\) = पूर्णांक (दिया गया) = p/n¹/n

∵ (p₁ - 1) x p₁ ⇒ ∃ कोई अन्य अभाज्य p₂ ऐसा है कि (p₁ - 1)|p₂

लेकिन ∵ p₂ भी एक अभाज्य है, इसलिए 1 को छोड़कर किसी भी पूर्णांक से विभाज्य नहीं है।

(एक अभाज्य गुणनखंड 2 है, तो n अधिकतम दो अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों के रूप में है अन्यथा एक।)

इस प्रकार, विकल्प (3) सत्य है। 

संप्रत्यय:

उच्चिष्ठ गुणजावली : वलय R में एक उच्चिष्ठ गुणजावली I एक ऐसी गुणजावली है जिसके लिए भागफल वलय R/I एक क्षेत्र है।

अभाज्य गुणजावली : वलय R में एक अभाज्य गुणजावली P एक ऐसी गुणजावली है कि यदि दो अवयवों का गुणनफल P में है, तो कम से कम एक अवयव P में होना चाहिए।

व्याख्या:

\(R = \left\{ \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \mid a_n \in \mathbb{Z}, \text{ and } a_n \neq 0 \text{ for finitely many } n \in \mathbb{Z} \right\}\)

वलय में योग और गुणन इस प्रकार परिभाषित हैं:

\(\left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \right) + \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n X^n \right) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (a_n + b_n) X^n \)

\(\left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n X^n \right) \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_m X^m \right) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left( \sum_{n+m=k} a_n b_m \right) X^k\)

विकल्प 1:

इस वलय में योग स्पष्ट रूप से क्रमविनिमेय है क्योंकि किसी भी वलय में बहुपदों का योग क्रमविनिमेय होता है।

अब गुणन पर विचार करें। मानक बहुपद वलयों में, गुणन तब तक क्रमविनिमेय होता है जब तक कि

गुणांक एक क्रमविनिमेय वलय (इस मामले में, पूर्णांक \( \mathbb{Z} \) ) से आते हैं।

चूँकि \( \mathbb{Z} \) गुणन के अंतर्गत क्रमविनिमेय है, और घातांक \(X^n\) क्रमविनिमेय गुणन नियमों का पालन करते हैं

(अर्थात, \(X^n X^m = X^{n+m} \)), वलय R भी गुणन के अंतर्गत क्रमविनिमेय है।

इसलिए, कथन R क्रमविनिमेय नहीं है असत्य है।

विकल्प 2:

गुणजावली \(X-1 \) उच्चिष्ठ होगी यदि R/\(X-1 \) एक क्षेत्र है।

हालाँकि, यह वर्णित R वलय में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है, क्योंकि R/\(X-1 \) के एक क्षेत्र होने की संभावना नहीं है। 

(यह एक सरल वलय में कम हो सकता है, लेकिन क्षेत्र नहीं)।

विकल्प 3:

(X - 1, 2) कुछ बहुपद वलयों में, विशेष रूप से पूर्णांकों पर, एक मानक प्रकार की गुणजावली है। एक अभाज्य गुणजावली के लिए, यह शर्त होनी चाहिए कि अवयवों का गुणन गुणजावली के भीतर ही रहे।

विकल्प 4:

\( (X, 5)\) एक उच्चिष्ठ गुणजावली के रूप में: यदि \( (X, 5)\) उच्चिष्ठ है, तो भागफल R/\( (X, 5)\) एक क्षेत्र होना चाहिए।

जबकि कुछ वलयों में यह एक क्षेत्र हो सकता है, इसे अधिक सत्यापन की आवश्यकता है।

इसलिए, विकल्प 3) सही है।

अवधारणा:

ϕ: \(\mathbb N\) → \(\mathbb N\) द्वारा परिभाषित एक प्रतिचित्रण जहाँ ϕ(n) = {x ∈ \(\mathbb N\) | 1 ≤ x < n और gcd(x, n) = 1} को ऑयलर का ϕ - फलन कहा जाता है।

ϕ (pⁿ) = pⁿ - p^n-1

यदि gcd(m, n) = 1 है, तो ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) है। 
व्याख्या:

ϕ(n) तालिका:

ϕ(n) की तालिका से हम देख सकते हैं कि यदि हम n को 3 से बड़ी अभाज्य संख्या मानते हैं, तो ϕ(n) > ϕ(n+1) और यदि हम n + 1 को 3 से बड़ी अभाज्य संख्या मानते हैं, तो ϕ(n) < ϕ(n+1) है। 

∴ विकल्प (1) और (2) सही हैं।

ϕ(n) तालिका:

इसलिए, यदि हम N = 6 लेते हैं, तो ∀ n > 6, हमारे पास ϕ(N) < ϕ(n) है। 

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

इसलिए, गलत विकल्प (4) है।

संकल्पना​:

यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है तो,

ab = ba ∀ a,b ∈ R. 

M, जो R की एक गुणजावली है, R की अधिकतम गुणजावली कहलाएगी,

1) यदि M ⊂ R, M ≠ R (R में कम से कम एक ऐसा तत्व है जो M से संबंधित नहीं है)

2) कोई गुणजावली 'N' नहीं होनी चाहिए, जैसे M ⊂ N ⊂ R. (M और R के बीच कोई गुणजावली नहीं है) 

विश्लेषण​:

R/M एक क्षेत्र है [∵ प्रत्येक परिमित अभिन्न डोमेन एक क्षेत्र है]

∴ R/M एकल के साथ एक वलय है

∴ 1 + M ≠ M

अर्थात, 1 ∉ M

अब, एक R से संबंधित है, लेकिन यह R से संबंधित नहीं है।

∴ M ≠ R.

मान लीजिए I, R की एक गुणजावली है​

ऐसा है कि M ⊆  I ⊆  R

माना, M ≠ I

∃ a ∈ I, ऐसा है कि a ∉ M

∴ a + M ∉ M

अब, R/M एक क्षेत्र है।

∴ प्रत्येक, गैर-शून्य R/M प्रतिवर्ती है

∴ a + M व्युत्क्रमणीय है

∴ ∃ b + M ∈ R/M दिया गया है कि

(a + M) (b + M) = 1 + M

ab + M = 1 + M

ab – 1 ∈ M ⊆  I      ---(1)

a ∈ I, b ∈ R

∴ ab ∈ I          ---(2)  (∵ I एक गुणजावली है​)

(1) और (2) से हम लिख सकते हैं

ab – (ab – 1) ∈ I

∴ 1 ∈ I

अब, जैसे एकता गुणजावली से संबंधित है, इसलिए गुणजावली वलय बन जाता है

∴ I = R

∴ M, R का अधिकतम गुणजावली है

यदि R एकल के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है तो प्रत्येक अधिकतम गुणजावली एक अभाज्य गुणजावली है।

संप्रत्यय:

यदि \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) और \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \) चक्रीय समूह हैं, तो \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) से \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या इस प्रकार दी जाती है:

\(\text{Number of homomorphisms} = \gcd(n, m),\) जहाँ \( \gcd(n, m) \) n और m का महत्तम समापवर्तक है।

व्याख्या:

\(\mathbb{Z}/150\mathbb{Z}\) से \(\mathbb{Z}/90\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या दो समूहों के क्रमों के महत्तम समापवर्तक (gcd) द्वारा दी जाती है। अर्थात् \(\text{Number of homomorphisms} = \gcd(150, 90)\)

150 का अभाज्य गुणनखंडन: \(150 = 2 \times 3 \times 5^2\)

90 का अभाज्य गुणनखंडन: \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)

अब, 150 और 90 का gcd उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल है:

\( \gcd(150, 90) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)

\(\mathbb{Z}/150\mathbb{Z}\) से \(\mathbb{Z}/90\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या 30 है।

इस प्रकार, विकल्प 1) सही है।