Numerical Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Numerical Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

मान लीजिये y' = f(x, y) तब रुंगे-कुट्टा विधि का उपयोग करके

k₁ = hf(x₀, y₀) और

k₂ = h\(f\left(x_0+\frac h2, y_0+\frac {k_1}2\right)\)

व्याख्या:

दिया गया है

\({dy\over dx}={1\over x+y}\), x0 = 0, y(x0) = 1, h = 0.5.

k₁ = hf(x0, y0) = 0.5 x f(0, 1) = 0.5 x 1 = 0.5

k2 = h\(f\left(x_0+\frac h2, y_0+\frac {k_1}2\right)\)

= 0.5 \(f\left(0+0.25, 1+0.25\right)\)

= 0.5 x f(0.25, 1.25)

= 0.5 x \(1\over 1.50\) = 0.333

विकल्प (2) और (3) सही हैं।

व्याख्या:

h = x1 - x0 = \(\rm \frac{1}{2}=(x_2-x_1)=(x_3-x_2)\)

तब

f(x0, x1, x2, x3) = \(\triangle^3f(x_0)\over 3!h^3\)

= \(\triangle^3f(x_0)\over 6\times\frac18\) = \(\rm \frac{4}{3}\Delta^3f(x_0)\)

विकल्प (1) सही है।

संप्रत्यय:

पुनरावृत्ति विधि में समीकरण f(x) = 0, x = a पर अभिसारी होता है यदि |ϕ'(x)| < 1, x = a के प्रतिवेश में जहाँ x = ϕ(x), f(x) = 0 से प्राप्त होता है।

व्याख्या:

x2 - x - 1 = 0....(i)

(1): \(\rm x=1-\frac{1}{x}\)

⇒ x² = x - 1

⇒ x² - x + 1 = 0, (i) के समान नहीं है। 

विकल्प (1) गलत है।

(2): x = 2x - x2 + 1

⇒ - x2 - x + 1 = 0, (i) के समान नहीं है। 

विकल्प (2) गलत है।

(3): \(\rm x=\sqrt{x+1}\)

⇒ x2 = x + 1

⇒ x2 - x - 1 = 0, (i) के समान है

इसलिए, ϕ(x) = \(\sqrt{x+1}\)

तब ϕ'(x) = \(1\over2\sqrt{x+1}\)

इसलिए, x = -0.62 के प्रतिवेश में, |ϕ'(x)| < 1 

विकल्प (3) सही है।

(1): x = x2 - 1

⇒ x2 - x - 1 = 0, (i) के समान है

ϕ(x) = x2 - 1

तब ϕ'(x) = 2x

इसलिए, |ϕ'(-0.62)| = 1.24, 1 से कम नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

संप्रत्यय:

सिम्पसन के 3/8 नियम द्वारा

\(\int_a^bf(x)\left[f(a)+3f(a+h)+3f(a+2h)+f(b)\right]\)

जहाँ h = \(b-a\over3\) है

व्याख्या:

दिए गए डेटा से

a = 0, a + h = π / 6, a + 2h = π / 3, a + 4h = b = π / 2,

h = π / 6 - 0 = π / 6

\(\rm \int_0^{\frac{π}{2}}e^{\sin x}dx\) = \(\rm \int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx\)

= \(\frac38\)h[f(0) + 3f(π / 6) + 3f(π / 3) + f(π / 2)]

= \(\frac38× {\pi\over 6}\)[1+3 × 1.64872 + 3 × 2.3632 + 2.71828]

≈ 3.09329

विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

किसी फलन f का n वाँ अग्रांतर निम्न द्वारा परिभाषित है

\(\triangle^ny_i=\triangle^{n-1}y_{i+1}-\triangle^{n-1}y_{i}\)

Δ10 (1 - ax) (1 - bx2) (1 - cx3) (1 - dx4)

दी गई व्यंजक की कोटि 10 है, और हमें 10वाँ अग्रांतर ज्ञात करना है।

अवकलन के समान, 10वीं कोटि से कम पदों का 10वाँ अग्रांतर शून्य होता है।

इसलिए, दिया गया व्यंजक निम्न के समतुल्य है

Δ10 (abcd x¹⁰ + ....)

= 10!(abcd)

अतः विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है

\(\displaystyle\int_{−1}^1\) f(x) dx ≈ af(−1) + bf(1) + cf'(−1) + df'(1)....(i)

मान लीजिए f(x) = 1 तो (i) से

\(\displaystyle\int_{−1}^1\)dx = a + b

⇒ 2 = a + b...(ii)

f(x) = x के लिए ⇒ f'(x) = 1 तो (i) से

\(\displaystyle\int_{−1}^1\)x dx = -a + b + c + d

0 = -a + b + c + d....(iii)

f(x) = x² के लिए ⇒ f'(x) = 2x तो (i) से

\(\displaystyle\int_{−1}^1\)x² dx = a + b - 2c + 2d

\(\frac23\) = a + b - 2c + 2d....(iv)

और f(x) = x³ के लिए ⇒ f'(x) = 3x² तो (i) से

\(\displaystyle\int_{−1}^1\)x3 dx = -a + b + 3c + 3d

0 = -a + b + 3c + 3d....(v)

(iii) को 3 से गुणा करने पर हमें मिलता है

-3a +3b + 3c + 3d = 0...(vi)

(v) और (vi) को घटाने पर हमें मिलता है

2a - 2b = 0 ⇒ a = b...(vii)

a = b को (ii) में रखने पर

2a = 2 ⇒ a = 1

इसलिए a = b = 1

a और b के इन मानों को (iii) और (iv) में रखने पर हमें मिलता है

c + d = 0 ...(viii) और

2 - 2c + 2d = \(\frac23\)

2c - 2d = \(\frac43\) ⇒ c - d = \(\frac23\) ...(ix)

(viii) और (ix) को जोड़ने पर हमें मिलता है

2c = \(\frac23\) तो c = \(\frac13\)

इसलिए d = - \(\frac13\)

इसलिए हमें मिलता है a = 1, b = 1, c = \(\frac{1}{3}\), d = \(−\frac{1}{3}\)

विकल्प (1) सही है।

राशि

\(\sup _{x \in 1}\left|p_{2 n-1}(x)-q_{2 n-1}(x)\right|\) 0 की ओर अभिसरित होती है। 

विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

एक वर्ग आव्यूह (a_ij) को विकर्ण रूप से प्रभावी आव्यूह कहा जाता है यदि सभी i के लिए |a_ii | ≥ \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) 

स्पष्टीकरण:

P के लिए,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

मान लें M = LU, जहाँ 𝐿 और U निम्न त्रिभुजीय वर्ग आव्यूह और उच्च त्रिभुजीय वर्ग आव्यूह हैं

𝐿 के मुख्य विकर्ण का प्रत्येक अवयव 1 है। 

मान लीजिए, L = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) और U = \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

तब

\(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}b&c\\ab&ac+d\end{bmatrix}\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,

b = 2, c = -1, ab = -4 और ac + d = 3

ab = -4 में b = 2 प्रतिस्थापित करने पर हमें a = -2 प्राप्त होता है

पुनः ac + d = 3 में a = -2 और c = -1 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

(-2)(-1) + d = 3 ⇒  2 + d = 3 ⇒ d = 1

तो U = \(\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}\)

अतः trace(U) = 1 + 2 = 3

P सत्य है। 

Q के लिए,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

M एक विकर्ण रूप से प्रभावी आव्यूह नहीं है क्योंकि 3 \(\ngeq\) |-4| है। 

तब HJacobi = D-1(L + U) जहाँ

D विकर्ण आव्यूह है अर्थात, \(\begin{bmatrix}2&0\\\ 0&3\end{bmatrix}\) और L + U = \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\)

तो, D ^-1 = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)

तो HJacobi = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&-\frac12\\\ -\frac43&0\end{bmatrix}\)

अतः आइगेन मान इस प्रकार दिए गए हैं

λ ² - 0 λ - 2/3 = 0

⇒ λ = \(\pm\sqrt{\frac23}\)

चूँकि |λ| < 1

इसलिए प्रारंभिक सदिश 𝑥(0) के किसी भी विकल्प के लिए, जैकोबी 𝑥 (𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … को दोहराता है और रैखिक निकाय 𝑀𝑥 = 𝑏 के अद्वितीय हल पर अभिसरित होता है।

Q सत्य है। 

𝑃 और 𝑄 दोनों सत्य हैं। 

(1) सही है। 

अवधारणा:

\(y' = f(x, y), y(x_0 ) = y_0\) को चरण आकार h के साथ हल करने के लिए यूलर विधि है

y _n+1 = y _n + h.[f(x _n , y _n )]

स्पष्टीकरण:

\(\frac{d y}{d x}=\sqrt{3 x+2 y+1}, \quad y(1)=1 \text {, }\) \(h = 0.05,\)

\(x_0 = 1, y_0 = 1, h = 0.05\)

\(x_1 = x_0 + h = 1 + 0.05 = 1.05\)

\(x_2 = x_0 + 2h = 1 + 2(0.05) = 1 + 0.1 = 1.1 \)

इसलिए हमें \(y(x_2 ) = y_2\) ज्ञात करना है

\(y_1 = y_0 + h. f(x_0, y_0) = 1 + 0.05 × f(1, 1) = 1.12247\)

 \(y_2 = y_1 + h. f(x_1, y_1) = 1.12247 + 0.05 × f(1.05, 1.12247) = 1.248\)  ≈ दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 1.25 है। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

व्याख्या

स्मरण: NR-विधि के लिए पुनरावृति सूत्र

\(x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)}\) --- (i)

मान लीजिए x = √α ⇒ x2 - α = 0

इसलिए मान लें कि f(x) = x2 - α

⇒ f'(x) = 2x

और दिया गया है enn = xnn - √α ⇒xnn = enn + √α

इसलिए, (i) से

\(e_{n+1}+√{α} =\left(e_{n+1}+√{α}\right)-\frac{\left(e_n+√{α}\right)^2-α}{2\left(e_n+√{α}\right)}\)

\(\Rightarrow e_{n+1}+√{α} =\frac{2\left[e_n^2+α+2 e_n √{α}\right]-\left(e_n+√{α}\right)^2+α}{2\left(e_{n+}+√{α}\right)}\)

\(e_{n+1} =\frac{e_n^2+α+2 e_n \sqrtα+α}{2\left(e_n+√{α}\right)}-√{α}\)

\(=\frac{e_n^2+α+2 e_n \sqrt{α}+α-2 e_n \sqrt{α}-2 α}{2\left(e_n+\sqrt{α}\right)}\)

\(=e_n^2 / 2\left(e_n+\sqrt{α}\right)\)

(3) सही है। 

अवधारणा:

बहुपद के मूल विचार।

गणना:

दिया गया है

\(\int_{ - 1}^1 f(x)dx\) = af(-1) + bf'(0) + cf'(1) . . . . . . (i)

2 से कम या उसके बराबर घात के सभी बहुपदों के लिए सटीक है

मान लीजिए f(x) = 1

इसलिए समीकरण (i) से, हमें मिलता है

\(\int_{ - 1}^1 1 dx \) = a + 0 + 0

2 = a . . . . . . . (ii)

मान लीजिए f(x) = x

अब समीकरण (i) से, हमें मिलता है

\(\int_{ - 1}^1 xdx\) = -a + b + c

b + c = 0 . . . . . . (iii)

अब समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर, हमें मिलता है

a + b + c = 2 + 0

a + b + c = 2

अतः विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

मान लीजिये y' = f(x, y) तब रुंगे-कुट्टा विधि का उपयोग करके

k₁ = hf(x₀, y₀) और

k₂ = h\(f\left(x_0+\frac h2, y_0+\frac {k_1}2\right)\)

व्याख्या:

दिया गया है

\({dy\over dx}={1\over x+y}\), x0 = 0, y(x0) = 1, h = 0.5.

k₁ = hf(x0, y0) = 0.5 x f(0, 1) = 0.5 x 1 = 0.5

k2 = h\(f\left(x_0+\frac h2, y_0+\frac {k_1}2\right)\)

= 0.5 \(f\left(0+0.25, 1+0.25\right)\)

= 0.5 x f(0.25, 1.25)

= 0.5 x \(1\over 1.50\) = 0.333

विकल्प (2) और (3) सही हैं।

व्याख्या:

दिया गया है

\(\displaystyle\int_{−1}^1\) f(x) dx ≈ af(−1) + bf(1) + cf'(−1) + df'(1)....(i)

मान लीजिए f(x) = 1 तो (i) से

\(\displaystyle\int_{−1}^1\)dx = a + b

⇒ 2 = a + b...(ii)

f(x) = x के लिए ⇒ f'(x) = 1 तो (i) से

\(\displaystyle\int_{−1}^1\)x dx = -a + b + c + d

0 = -a + b + c + d....(iii)

f(x) = x² के लिए ⇒ f'(x) = 2x तो (i) से

\(\displaystyle\int_{−1}^1\)x² dx = a + b - 2c + 2d

\(\frac23\) = a + b - 2c + 2d....(iv)

और f(x) = x³ के लिए ⇒ f'(x) = 3x² तो (i) से

\(\displaystyle\int_{−1}^1\)x3 dx = -a + b + 3c + 3d

0 = -a + b + 3c + 3d....(v)

(iii) को 3 से गुणा करने पर हमें मिलता है

-3a +3b + 3c + 3d = 0...(vi)

(v) और (vi) को घटाने पर हमें मिलता है

2a - 2b = 0 ⇒ a = b...(vii)

a = b को (ii) में रखने पर

2a = 2 ⇒ a = 1

इसलिए a = b = 1

a और b के इन मानों को (iii) और (iv) में रखने पर हमें मिलता है

c + d = 0 ...(viii) और

2 - 2c + 2d = \(\frac23\)

2c - 2d = \(\frac43\) ⇒ c - d = \(\frac23\) ...(ix)

(viii) और (ix) को जोड़ने पर हमें मिलता है

2c = \(\frac23\) तो c = \(\frac13\)

इसलिए d = - \(\frac13\)

इसलिए हमें मिलता है a = 1, b = 1, c = \(\frac{1}{3}\), d = \(−\frac{1}{3}\)

विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

x = ξ, x4 - 3x2 + x - 10 = 0 का एक हल है, इसलिए ξ4 - 3ξ2 + ξ - 10 = 0...(i)

अब, \(\rm x_{n+1}=10-x^4_n+3x^2_n\)

x_n+1 = ξ+ϵ_n+1, xn = ξ+ϵn रखने पर हमें प्राप्त होता है

ξ+ϵn+1 = 10 - (ξ + ϵn)⁴ + 3(ξ + ϵn)²

ξ+ϵn+1 = 10 - (ξ⁴ - 4ξ³ϵn - 6ξ²ϵn² + 4ξϵn³ - ϵn⁴) + 3ξ² + 6ξϵn + 3ϵn²

ξ+ϵn+1 = (10 - ξ4 + 3ξ2) + (6ξ - 4ξ3)ϵn + (- 6ξ2 + 3)ϵn2 - 4ξϵn3 - ϵn4

ξ+ϵ n+1 = ξ + (6ξ - 4ξ3)ϵn + (- 6ξ2 + 3)ϵn2 - 4ξϵn3 - ϵn4

ϵn + 1 = (6ξ - 4ξ3)ϵn + (- 6ξ2 + 3)ϵn2 - 4ξϵn3 - ϵn4

यहाँ (6ξ - 4ξ3) ≠ 0 इसलिए अभिसरण की दर 1 है।

विकल्प (1) सही है।