किसी धनात्मक पूर्णांक p के लिए निम्न सममितीय (होलोमॉर्फिक) फलन पर विचार करें

\(f(z)=\frac{\sin z}{z^p}\) \(z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}\) के लिए

p के किन मानों के लिए ऐसा सममितीय (होलोमॉर्फिक) फलन g ∶ \(\mathbb{C}\) \{0} → \(\mathbb{C}\) है कि f(z) = g'(z) सभी z ∈ \(\mathbb{C}\) \{0} के लिए?

संप्रत्यय:

एक फलन f(z) को एक डोमेन D में होलोमोर्फिक कहा जाता है यदि f(z) में D में कोई विलक्षणता नहीं है।

व्याख्या:

g'(z) =\(f(z)=\frac{\sin z}{z^p}\) z ∈ \(\mathbb{C}\) \{0}

⇒ g'(z) = \(\frac{1}{z^p}(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-...)\)

⇒ g'(z) = \((\frac{z^{1-p}}{1!}-\frac{z^{3-p}}{3!}+\frac{z^{5-p}}{5!}-...)\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

g(z) = \((\frac{z^{2-p}}{1!(2-p)}-\frac{z^{4-p}}{3!(4-p)}+\frac{z^{6-p}}{5!(6-p)}-...)\)

इसलिए g(z) होलोमोर्फिक नहीं हो सकता है यदि p, 2, 3 और 4 का गुणज है।

∴ विकल्प (1), (3) और (4) सही नहीं हैं।

इसलिए विकल्प (2) सही है