मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जिसका संचयी बंटन फलन (CDF) निम्न द्वारा दिया गया है: तब \(\rm P\left(\frac{1}{3}<X<\frac{3}{4}\right)+P(X=0) \) का मान किसके बराबर है?

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c⁺) - F(c^-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) =

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

इस स्थिति में, हमें की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि और , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, प्रायिकता है:

=

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0⁺) - F(0^-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0⁺) = F(0) =

⇒ F(0^-) = 0

इस प्रकार,

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।