Question
Download Solution PDFमाना कि X1, X2, ... i.i.d. यादृच्छिक चर हैं जिनका χ2-बंटन है तथा स्वतंत्रता की कोटि 5 है। माना कि a ∈ \(\mathbb{R}\)अचर है। तब \(a\left(\frac{X_1+\cdots+X_n-5 n}{\sqrt{n}}\right)\)का सीमांत बंटन है:
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:-
X1, X2, ... स्वतंत्र और समान रूप से बंटित यादृच्छिक चर हैं जिनका χ2-बंटन 5 स्वातंत्र्य कोटि के साथ है।
प्रयुक्त अवधारणा:-
केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग करके दिए गए व्यंजक का सीमांत बंटन ज्ञात किया जा सकता है।
केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि कई स्वतंत्र और समान रूप से बंटित यादृच्छिक चरों का योग, उचित रूप से प्रसामान्यीकृत, बंटन में एक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है।
व्याख्या:-
यहाँ, हमारे पास n स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका χ2-बंटन 5 स्वातंत्र्य कोटियों के साथ है।
प्रत्येक χ2-बंटित चर का माध्य 5 है और प्रसरण है,
2 x 5 = 10
इसलिए, ऐसे n चरों के योग का माध्य n5 है, और प्रसरण है,
⇒ प्रसरण = (n × 10)
हम माध्य को घटाकर और मानक विचलन से विभाजित करके व्यंजक को प्रसामान्यीकृत कर सकते हैं। अर्थात्,
\(⇒a[\dfrac{(X_1 + X_ 2 + ... + X_ n - 5n)}{\sqrt{n×10}}] \)
\(=(\dfrac{a}{\sqrt{10}}) [\dfrac{(X_ 1 + X_ 2 + ... + X_ n - 5n)}{n}] \sqrt{n} \)
दाहिने पक्ष की ओर कोष्ठक में पद 0 के माध्य और 1/2 के प्रसरण के साथ n, स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चरों का योग है।
इसलिए, CLT द्वारा, यह पद बंटन में एक मानक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है क्योंकि n अनंत तक जाता है।
समग्र व्यंजक बंटन में एक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है जिसका माध्य शून्य और प्रसरण a2/10 है।
इसलिए, \(a\left(\frac{X_1+\cdots+X_n-5 n}{\sqrt{n}}\right)\) का सीमांत बंटन a के उपयुक्त मान के लिए मानक प्रसामान्य बंटन है।
अतः सही विकल्प 3 है।
Last updated on Jun 23, 2025
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