दो सदिशों

\(\bar{A} = 4\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) और \(\bar{B} = 4\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) के बीच का कोण कितना होगा? (दिया गया है, Cos^-1(\(\frac{1}{ \sqrt2501}\)) = 89°)

अवधारणा:

दो सदिशों का बिंदु-गुणनफल

• बिंदु-गुणनफल या अदिश गुणनफल संख्याओं के दो अनुक्रमों के संबंधित प्रविष्टियों के उत्पादों का योग है।
• ज्यामितीय रूप से, यह दो सदिशों के यूक्लिडियन परिमाण और उनके बीच के कोण के कोसाइन का गुणनफल है।
• माना दो सदिश A और B हैं तो दो सदिशों का बिंदु-गुणनफल:

⇒ A⋅B = |A||B| cos θ 

जहाँ |A| = सदिश A और |B| का परिमाण = सदिश B और θ का परिमाण A और B के बीच का कोण है।

उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

\(\Rightarrow \vec{A}.\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|cos θ \\ ⇒ cosθ =\frac{\vec{A}.\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}\\\)

• इकाई सदिश का बिंदु-गुणनफल

\(\hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\\ \hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)

​गणना:

दिया गया - दो सदिश \(\vec{A} = 4\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) और \(\vec{B} = 4\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) हैं

• दिए गए सदिशों का बिंदु-गुणनफल:

\(\Rightarrow \vec{A}.\vec{B}=(4\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}).(4\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})\\ \Rightarrow \vec{A}.\vec{B}=(4\times4)(\hat{i}.\hat{i})+(3\times3)(\hat{j}.\hat{j})+(-4\times6)(\hat{k}.\hat{k})\\ \Rightarrow \vec{A}.\vec{B}=16+9-24 =1\\ \)

• सदिश​ A का परिमाण:

\(|\vec{A}|=\sqrt{4^2+3^2+4^2}=\sqrt{41}\)

• सदिश​ B का परिमाण:

\(|\vec{B}|=\sqrt{4^2+3^2+6^2}=\sqrt{61}\)

• सदिश​ A और B के बीच का कोण:

\(\Rightarrow \theta=cos^{-1}{\frac{\vec{A}.\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}}\\ ⇒ \theta =cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{41}\times \sqrt{61}}\\ ⇒ \theta =88.8 ^o\approx89^{\circ}\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है।

Important Points

• इकाई सदिशों का अन्योन्य-गुणनफल

\(\hat{i}\times\hat{i}=\hat{j}\times\hat{j}=\hat{k}\times\hat{k}=0\\ \hat{i}\times\hat{j}=\hat{k} \\ \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i} \\ \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}\)​